1 Teknik Pengintegralan v2013 student



Aturan dasar pengintegralan



I ntegral fungsi rasional



I ntegral parsial



I ntegral trigonometri



Substitusi yang merasionalkan



Strategi pengintegralan

Kemampuan yang diinginkan:
kejelian melihat bentuk soal
sehingga faktor latihan sangat penting
untuk memperoleh hasil yang memuaskan.

Jadi BANYAK BERLATI H dengan soal-soal,
maka anda akan sukses.

Fungsi Pangkat:

∫ k du= ku + C

 u r +1
+C

r
∫ u du =  r + 1

 ln u + C


∫e

Eskponensial:
u

du
= e +C
u

a
+ C,
du
∫a =
ln a
a ≠ 1, a > 0
u

u

Misal g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan
F adalah suatu fungsi antiturunan dari f.
Maka jika u = g(x),

∫ f ( g ( x)) g '( x)dx = ∫ f (u )du

= F (u ) + C= F ( g ( x)) + C

Ubah integran menjadi bentuk yang lebih mudah untuk
disubstitusikan atau diintegrasikan langsung.

cos x
∫ x dx

Tentukan

Substitusi

u=

x

dengan

du =

1
2 x

dx

yang termuat dalam integran, maka:

cos x
2
∫ x dx = ∫ cos x 2 x dx

= 2 ∫ cos udu

= 2 sin u =
+ c 2 sin x + c

Ingat : variabel awal harus habis
(tidak ada x lagi)

Tentukan

2x2 + x
∫ x + 1 dx

Ubah penyebut menjadi fungsi rasional sejati:

2 x 2 + x 2( x + 1) 2 − ( x + 1)
=
=
x +1
x +1
Jadi:

2(+x 1)
−

2x2 + x
1
∫ x + 1 dx= ∫ 2( x + 1) − x + 1 dx
= x 2 + 2 x − ln( x + 1) + c

1
x +1

Fungsi Rasional: pembagian dua polinomial
Fungsi Rasional Sejati: derajat/ pangkat polinom pembilang lebih
rendah daripada derajat polinom penyebut.
Akan ditunjukkan proses dekomposisi fungsi rasional menjadi
rasional sejati yang merupakan bentuk-bentuk yang mudah
untuk diintegrasikan. ( Metode pecahan parsial)

Contoh:

∫

1
dx = ??
3
2
x − 8 x + 16 x

Langkah-langkah:





Faktorisasi penyebut menjadi bentuk linier dan kuadrat yang tidak
dapat diuraikan lagi. Contoh:

x 3 − 8 x 2 + 16 x = x( x − 4) 2

Apabila pada penyebut ada faktor yang berlainan, misal (x-a)(x-b)

didekomposisi menjadi:

1
A1
A2
=
+
( x − a )( x − b) ( x − a ) ( x − b)

Koefisien diperoleh dari penyamaan penyebut .
Prosesnya nanti akan diterangkan dengan contoh.

Beberapa cara dekomposisi:


Untuk tiap faktor yang berbentuk

(ax + b)

k

dekomposisi menjadi bentuk

Bk
B1
B2
+
+

+
(ax + b) (ax + b) 2
(ax + b) k



Untuk tiap faktor yang berbentuk

(ax 2 + bx + c) m

Dm x + Em

D1 x + E1
D2 x + E2
+
+

+
(ax 2 + bx + c) (ax 2 + bx + c) 2
( ax 2 + bx + c) m

dekomposisi menjadi bentuk

Tentukan
Faktorisasi penyebut:

x 3 − 8 x 2 + 16 x = x( x 2 − 8 x + 16) = x( x − 4) 2

Lakukan dekomposisi berikut:

A1 , A2 , A3

∫

1
dx
3
2
x − 8 x + 16 x

1
A1
A2
=
+
+
2
x( x − 4)
x ( x − 4)

A3
( x − 4) 2

diperoleh dari proses penyamaan penyebut

A1 ( x − 4) 2 + A2 x( x − 4) + A3 x
1
=
2
x( x − 4)
x( x − 4) 2

1= A1 ( x − 4) 2 + A2 x( x − 4) + A3 x= ( A1 + A2 ) x 2 + ( −8 A1 − 4 A2 + A3 ) x + 16 A1
maka

1
A1 =
16

1
A2 = −
16

1
A3 =
4

Integran menjadi:

∫

1
1
dx =
− dx
3
2
∫
x − 8 x + 16 x
16 x

1
∫ 16( x − +4)dx

1
∫ 4( x − 4)2 dx

Gunakan substitusi u = x – 4 untuk integral terakhir jadi

1
1
1
1
∫ ( x − 4)2 dx =∫ u 2 du =− u + c =− x − 4 + c
Jadi hasil integralnya adalah

∫

1
1
1
1
=
dx
ln x − ln x − 4 −
+c
3
2
x − 8 x + 16 x
16
16
4( x − 4)

Fungsi Trogonometri:

1.∫ sin=
u du − cos u + C

5.∫ sec u tan u=
du sec u + C

3.∫ sec u=
du tan u + C

7.∫ tan−u du =
l+n cos u

2.∫ cos u=
du sin u + C
2

4.∫ csc 2=
u du − cot u + C

6.∫ csc u cot u du = − csc u + C

C

8.∫ cot
=
u du ln sin u + C

Fungsi Aljabar:

1.∫

a −u
2

u
du = sin   + C
a
−1

1

2

1
1
−1  u 
2.∫ 2
du = tan   + C
2
a
a +u
a

3.∫

1

u u2 − a2

 a
1
1
−1  u 
−1
du = sec   + C = cos   + C
a
a
 a
u 

Fungsi Hiperbolik:

u du
∫ sinh=

u du
∫ cosh =

cosh u + C

sinh u + C

Phytagoras:

Setengah sudut:

sin x + cos x =
1
2

2

1 + tan x =
sec x
2

2

2

2

1 + cot x =
csc x

1
sin =
x
(1 − cos 2 x)
2
2

1
(1 + cos 2 x)
cos =
x
2
2

Hasil Kali Sudut

1
=
sin mx cos nx + ( sin(m + n) x sin(m − n) x )
2
1
sin mx sin nx =
( cos(m + n)−x cos(m − n) x ) −
2
1
cos mx cos nx = ( cos( m + n) x + cos( m − n) x )
2

∫

Tentukan

7
dx
2
x − 6 x + 25

Ubah penyebut menjadi bentuk kuadrat sempurna

1
1
=
=
x 2 − 6 x + 25 ( x − 3) 2 + 16

1
( x − 3) 2 + 42

Bentuk terakhir merupakan turunan dari

∫

7
7
=
=
dx ∫ +
dx
2
2
2
x − 6 x + 25
( x − 3) + 4

u
tan −1  
a

7
−1  x − 3 
tan 
 c
4
 4 

Ada 2 jenis “radikal” yang biasa muncul:
1. Integran yang memuat
2. Integran yang memuat

n

ax + b

a −x , a + x , x −a
2

2

2

2

2

2

Tentukan

Gunakan substitusi
#

u = x+3
2

jadi

=
u

x+3

∫x

x + 3 dx

sehingga

2u du = dx

2
+
=
x
x
dx
u
3
(
∫
∫ − 3)u du

#

=

#

3
u
(
∫ − 3u ) du

=
x u2 − 3

1 4 3 2
= u − u +c
4
2
1
3
2
=
( x + 3) − ( x + 3) + c
4
2

Untuk jenis yang kedua dapat dilihat bahw a perubahan
bentuk integran akan mengarah pada penggunaan
kesamaan phytagoras.

a −x
2

2

kesamaan yang digunakan a
.

Gunakan substitusi
sehingga diperoleh

a2 − x2 =

x = a sin t

2

− a 2 sin 2 t =
a 2 cos 2 t

dengan pembatasan −

a 2 − a 2 sin 2 t =

π
2

≤t ≤

a 2 cos 2 t = a cos t

π
2

a2 + x2
Gunakan

kesamaan yang dipakai

x = a tan t

a 2 + a 2 tan 2 t =
a 2 sec 2 t

dengan pembatasan

−

π

2