Bab II Teknik Pengintegralan
TEKNIK PENGINTEGRALAN
2.1. Penggantian Dalam Integral Tak Tentu
Konstanta, Pangkat: 1.
∫
K d u=KU+C 2.∫
Urdu=U
r+1
r+1+C ; r ≠−1 L n│ U │+C ; r=−1
Eksponen
3.
∫
eud u=eu+C 4.∫
audu= au
Ln a+C ; a ≠1, a0
Fungsi Trigonometri 5.
∫
sinU du=−cosU+C 6.∫
cosU du=sinU+C 7.∫
Sec2U du=tanU+C 8.∫
Csc2U du=−cotU+C 9.∫
Sec UtanU du=Sec U+C10.
∫
Csc UcotU du=−Csc U+C 11.∫
tanU du=−ln│cosU │+C 12.∫
cosU du=ln│sinU │+CFungsi Aljabar 13.
∫
dua2+u2= 1 atan
−1
(
u a)
+C 14.∫
du√
a2−u2=sin−1
(
u a)
+C 15.∫
duu
√
u2−a2= 1 asec−1
(
│ u │ a)
+C=1 acos
−1
(
a│ u│
)
+C II-1(2)
Penggantian : Contoh :
1. Tentukan
∫
x cos2(
x2)
dx PenyelesaianAndai u=X2du=2xdx dx=du
2x
∫
xcos2
(
x2)
dx=∫
x cos2(u)du 2x=
1 2
∫
x cos2(u)du
¿1
2
∫
Sec 2U du=1
2tanU+C ¿1
2tan
(
x 2)
+C
2. Tentukan
∫
3√
5−9x2dx Penyelesaian ;Andai, u=3x du=3dx dx=du
3
∫
3√
5−9x2dx=∫
3√
5−u2 du3 =
∫
du√
5−u2 ¿sin−1(
u√
5)
+C ¿sin−1(
3x√
5)
+C 3. Hitung∫
6e1 x x2 dx Penyelesaian ;
Ingat eudu =eu
+C
∫
6e1 x
x2 dx=
∫
6eux2
(
−x 2du)=−6
∫
eudu¿−6eu+C
¿−6e 1 x+C
4.Tentukan
∫
e x 4+9e2xdx Penyelesaian ;Andai, U=3exdu=3exdx dx= du
(3)
3eX¿2 ¿
22+¿
ex
¿
∫
ex4+9e2xdx=
∫
¿¿1
3
∫
du 22+u2+C ¿1
3.½ tan
−1
(
u 2)
+C ¿16 tan
−1
(
3ex 2)
+CTidak ada hukum yang mengharuskan adanya suatu penggantian apabila dapat dilakukan tanpa penggantian, lakukanlah:
5. Tentukanlah
∫
a tant cos2tdt Penyelesaian ;Dalam ingatan gunakanlah penggantian U=tant atant
cos2t dt=a tant
Sec2t dt
¿atantd
(
tant)
¿atant lna+C Mengubah-ubah Integral
Contoh:
1. Tentukan
∫
7 x2−6x+25dx Penyelesaian:
∫
7x2−6x+25dx=
∫
7
x2−6x+9+16dx=
∫
7(x−3)2+42dx
¿7
∫
1(x−3)2+42d(x−3)
¿7/4 tan−1 (x−3
4 )+C 2. Tentukan:
∫
x2 −x
x+1 dx d(x−3)=dx Penyelesaian ;
∫
xx2+−1x = (x+1) (x−2)+2x+1 = (x-2) + 2 x+1
∫
x2−xx+1 =
(x-2) dx +∫
2(x−1)dx
= x2
2 - 2x + 2
∫
1(4)
= x2
2 - 2x + 2 ln
|
x+1| + C 2.2. Penggantian Dalam Integral TentuContoh:
1. Tentukan
∫
2 5t
√
t2−4 dt Penyelesaian ;
y =
∫
2 5t
√
t2−4 dt t2-4 = u du = 2t dt y =∫
2 5
√
t2−4 (2t dt) 12 t = 2 u = 22 – 4 = 0
t = 5 u = 52-4 = 21
= 1
2
∫
2 5√
t2−4 (2t dt) = 12
∫
0 21u1/2 du
= 1 2 .
1 1
2+1 U 3 2
]
210 = 1/2 . 2/3 U 3 2
]
210 = 1/3 U
3 2
]
210
= 1/3 (21)3/2 – 1/3 (0) 3/2 = 32,08
2. Tentukan
∫
0 1(x−1)4 dx Misal ; u = x-1 du = dx
U4 du = (x-1)4 d (x-1) = 14+1 U5 ¿ 1
5 U5 = 1
5 (x-1)5 y = (x−1)
5
5 y
1 = 1
5 5 (x-1)4 = (x-1) 4 Terbukti
3. Tentukan
∫
x√
x2+2 Misal ; u = x2 +2 du = 2xdx dx = du
2x x U1/2 du/2x = ½ U ½ du
= 1/2 . 2/3 U 3/2 = 1/3 (x2 +2) 3/2 = 1/3 (x2+2)
√
x2+2 y =
x2+2¿3/2 ¿ ¿ ¿
(5)
= x ( x+x)1/2 Terbukti
4. Tentukan x2
x2+1 dx x 2 +
√
x2+1 1-1/ x2 +1 x
2
x2+1 = x2
+1 x2+1 -
1 x2+1 =
x2 x2+1
∫
x2x2
+1 dx = 1 x2
+1 1−¿
∫
¿) dx
=
dx -∫
1x2+1 dx = X – Tan -1 . X+C 2.3 Beberapa Integral Trigonometri
Jenis I : sin n x dx , cos n x dx n. ganjil
contoh:
1. Tentukan : sin 5 x dx = sin 4 x sin x dx = ( 1-cos2 x)2 sin x dx
= ( 1-2 cos2 x+ cos4 x )sin x dx = ( 1-2 cos2 x+ cos x4 ) d (cos x ) Dimana ; d (cos x) = sin x dx = - cos x – 32 cos3x + 1
5 cos 5 x + C Atau : u = cos x
du = - sin x dx sin x dx = - du
maka ; sin x dx = - ( 1- cos2 x+ cos4 x) du = - ( 1-2 u2 + u4 ) du = - ( u- 2
3 u3 + u 4
4 ¿+¿ C = - cos x – 2
3 cos3x - 1
4 cos 4 x + C Apabila n positip genap, kita gunakan rumus setengah sudut: sin2x = 1−cos 2x
2 , cos 2 x =
1+cos 2x 2 n genap
sin 2 x dx = 1−cos2x
2 dx
= 12 dx - 12 cos 2x dx u = 2x = 1
2 x - 1 2 .
1
2 cos 2x du
2 du = 2 dx dx = du2
(6)
= 1 2 x -
1
4 ∫ cos u du = 12 x - 14 sin u + C = 1
2 x - 1
4 sin 2x + C cos4 x dx =( 1+cos 2x
2 )2 dx = 1
4 ( 1+2 cos 2x + cos2 2x ) dx = 1
4 dx + 1
4 2 cos 2x dx + 1
4 ∫ cos2 2x dx
= 14 dx + 14 2 cos 2x du2 + 14 ( 1+cos 42 x ) dx = 1
4 dx + 1
4 cos 2x d (2x) + 1 4 .
1
2 (1 + cos 4x ) dx = 14 dx + 14 (sin 2x) + 18
(
x+sin 4x4
)
+ C = 14 x + 1
4 sin 2x + 1 8 x +
1
32 sin 4x + C Jenis 2 : sin m x cosn x dx
Apabila m atau n ganjil positip sedangkan mempunyai eksponen yang lain bilangan sembarang menggunakan kesamaan
sin2 x + cos 2 x = 1 contoh: ( m atau n ) ganjil Tentukan : sin3 x cos -4 x dx Penyelesaian:
sin3 x cos -4 x dx = ( sin2 x) (cos-4x ) sin x dx = ( 1 – cos2 x ) (cos -4 x ) sin x dx = - ( 1 – cos x ) (cos -4 x ) d (cos x ) = - ( cos-4 x -cos -2 x ) d (cos x ) = -
[
cos−3 x
−3 -
cos−1
−1
]
+C= 13 sec3 x + sec x + C
Apabila m dan n positip genap, kita gunakan rumus setengah sudut untuk mengurangi derajat integral.
Contoh : (m dan n genap )
Tentukan : sin2 x cos 4 x dx sin2x = 1−cos2x 2 cos2x = 1+cos 2x
2 penyelesaian:
(7)
∫
sin x 2 cos 4 x dx = ( 1 – cos 2x2 ) ( 1 +
cos 2x
2 )2 dx = 18 ( 1 – cos 2x) ( 1 + cos 2x )2 dx = 1
8 ( 1 – cos 2x) ( 1 + 2cos 2x + cos2 2x ) dx
= 18 ( 1 + 2 cos 2x + cos2 2x – cos2x – 2cos2 2x – cos3 2x ) dx
= 18 ( 1 + cos 2x - 12 -
1−sin 4x−¿
1 2cos¿
2 2x) cos 2x ) dx
= 1 8 (
1
2 + cos 2x -1 2
4x−cos 2x+¿sin
cos¿ 2x cos 2x ) dx
= 1 8 (
1 2dx−
1
2 cos 4x dx + sin 2 2x cos 2x ) dx = 18 12 x−1
2 1
4 cos 4x d (4x) + 1 2
1
3
∫
sin 3 2x ]d +C = 18 ( 1 2x−
1
8 sin 4x dx + 1
6sin 3 2x + C Jenis 3: tann x dx
cotn x dx Dalam kasus tangen dipakai
Dalam kasus cotangen dipakai: cot2 x = csc2 x - 1 Contoh :
Tentukan: cot4 x dx Penyelesaian:
cot4 x dx = cot2 x (csc 2 x – 1) dx = cot2 x csc 2 x – cot2 x ) dx
= - ∫ cot2 x d (cot x ) - (csc 2 x – 1) dx = - 13 cot3 x + cot x + x + C Tentukan : tan5 x dx
Penyelesaian:
tan5 x dx = tan3 x ( sec2 x-1 ) dx = tan3 x ( sec2 x- tan3 x ) dx
= tan3 x d (tanx) - tanx . ( sec2 x-1 ) dx = tan3 x d (tanx) - (tanx . sec2 x - tanx) dx = 1
4 tan 4 x - 1
2 tan 2 x – ln
|
cosx| + C Jenis 4 :∫
tanmx secnxdx ,∫
cotmx cscnxdxContoh : (n genap, m sebarang)
(8)
Tentukan :
∫
tan−23x sec4 x dx Penyelesaian :∫
tan−3 2 x sec4
x dx sec2x=1+tan2x tan
−3
2 x+tan12x x tan¿
¿
¿
∫
¿sec2x dx →d¿tan
−3 2 x+tan
1 2x x tan¿
¿ ¿
∫
¿d¿ ¿ 1−3 2 +1
tan
−3
2+1x+ 1 1 2+1
tan 1 2+1x+c
¿−2 tan
−1 2 x+2
3tan 3 2x+c
Contoh : m ganjil, n sembarang Tentukan : tan3 x sec -½ x dx Penyelesaian:
tan3 x sec -½ x dx
= tan2 x tan x sec -3/2 x sec x dx sec2 x = 1 + tan 2x tan2 x = sec 2 x – 1 = (sec x – 1) sec -3/2 x tan x sec x dx d (sec) = tan x sec x = (sec2 x – 1) sec -3/2 x d (sec x )
= (sec 1/2 x - sec -3/2 x ) d ( sec x ) =
1 1
2+1 sec x - 1
−3
2 +1 sec
-3/2+1 x + C
= 32 sec2/3 x + 2 sec -1/2 x + C
Jenis 5
sin mx cos nx dx
sin mx sin nx dx
(9)
sin mx cos nx =
(m+n)x
(m−n)x sin¿+sin¿
¿
1 2¿
sin mx sin nx = - 12 ( cos (m + n ) x – cos ( m + n )
x )
cos mx cos nx = 1
2 ( cos (m + n ) x + cos ( m – n ) x )
Contoh:
Tentukan sin 2x cos 3x dx Penyelesaian :
sin 2x cos 3x dx sin mx cos nx = 12 (sin ( m + n ) + sin ( m- n ) x ) = 1
2 ( sin (2 + 3 ) x + sin ( 2 – 3 ) x ) dx = 1
2 sin 5x + sin (-x) dx = 12 ( −cos 55 x + cos x ) + C = - 1
10 cos 5x + 1
2 cos + C
2.4 Penggantian Yang Merasionalkan 2.4.1 Integral Yang Memuat n
√
ax+b Contoh :1. Tentukan : dx x−
√
xPenyelesaian : u=
√
x maka u2 = x dan 2u du = dx dxx−
√
x = 1 u2−u 2udu =
2u
u(u−1) du = 2
1
u−1 du
¿ 2 u1
−1 d (u- 1 )
¿2 ln│ u−1│ + C = 2 ln │
√
x−1 │ + C 2. Tentukan : x3√
x−4 dx Penyelesaian :(10)
Andaikan u = 3
√
x−4 u 3 = x – 4 dan 3u2 du = dx X = x3 + 4 x
√
3 x−4 dx = (u 3 + 4 ) u . 3u2 du = 3 (u 3 + 4 ) u3 du = 3 (u6 + 4u3 ) du = 3 u77 + 4 u4
4 + C
= 37 ( x – 4 )7/3 + ( x – 4 ) 4/3 + C
3. Tentukan : x+1¿ 2
¿
x√5¿
dx Penyelesaian :
Andaikan u = ( x + 1 )1/5 u5 = (x + 1 ) 5u4 du = dx x = u5 – 1
x+1¿ 2
¿
x√5¿
dx = (u5 – 1 ) u2 . 5u4 du = 5 (u11 – u6 ) du = 5
12 u12 - 5
7 u7 + C = 125 (x + 1)12/5 - 5
7 (x + 1 )7/5 + C 2.4.2. Integral Yang Mengandung
√
a2−x2 ,√
a2+x2 da n√
x2−a2Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian: 1. x = a sin t
2. x = a tan t 3. x = a sec t
maka : 1. a2
−x2 = a2
−¿ a2 sin2 t = a2 ( 1 – sin2 t ) = a2 cos2 t 2. a2
+x2 = a2
+¿ a2 tan2 t = a2 ( 1 + tan2 t ) = a2 sec2 t 3. x2−a2 = a2 sec2 t – a2 = a2 ( sec2 t – 1 ) = a2 tan2 t Jadi:
(11)
1.
√
a2−x2 = a cos t = a cos t ( sebab : −π 2 ≤ t ≤π 2 ) 2.
√
a2+x2 = a sec t = a sec t (sebab: −π 2 <t<
π 2 ) 3.
√
x−a = a tan t = ± a tan t (sebab: 0 ≤t ≤ ,t=π2 )
Contoh :
Tentukan :
√
a2−x2 dx Penyelessaian :x= a sin t , -/2 ≤ t ≤ /2
Maka ; dx = a cos t dt dan
√
a2−x2 =√
a2−a2sin2t =√
(
1−sin2t)
a2 =√
a2cos2 t = a cos t∫
√
a2−x2 dx = a cos t a cos dt = a2 cos2 t dt = a2 cos2 t dt= a2 1+cos 2t
2 dt
= a2
2 (1 + cos 2 t ) dt
= a 2
2 ( t +
sin2t
2 ) + C
= a2
2 ( t + 1
2 2 sin t cos t ) + C
= a2
2 ( t + sin t cos t ) + C
(12)
Maka t = sin -1 ( x
a ) cos sin (x) =
√
1−x2 cos t = cos sin -1 ( xa ) = x a 1−¿
√¿
) =
√
1−x 2a2
=
√
a 2a2− x2
a2 = 1
a
√
a2−x2√
a2−x2 dx = a 22 ( sin -1 ( x
a ) ) + a2 2
sin t cos t + C
= a2 2 sin
-1 ( x a ) +
a 2
x a
1
a
√
a2−x2 + C = a22 sin -1 ( x
a ) + x 2
√
a2 −x2
+ C
Tentukan : 4−x 2
x2 dx Penyelesaian:
Andaikan x = 2 sin t π 2≤ t ≤
π 2
dx = 2 cos t dt dan
√
4−x2 =√
4−4 sin2 t = 1−sin 2 4(¿t)√¿
=
√
4 cos2t = 2 cos t∫
√
4−x2x2 dx =
2cost
2 sin2t ( 2 cos t ) dt
= cos2t
sin2t dt = cot 2 dt
= (csc2 t – 1 ) dt
= - cot t – t + C 2 x t
(13)
Sin t = x
2 t = sin-1 ( x
2 )
cot t =
√
4−x2 x √
4−x2x2 dx = -
√
4−x2x - sin -1 ( x
2¿ + C
Tentukan : dx
√
9+x2 Penyelesaian :Andaikan : x = 3 tan t , - /2 t /2 maka dx = 3 Sec2 t dt
√
9+x2 =√
9+32tan2t=
√
9+9 tan2t = 1+tan 2t 9(¿)
√¿
=
√
9sec2t = 3 sec t dx√
9+x2 = 3 sec2t3sec t dt = sec t dt = ln│sec t + tan t│+ C
dx
√
9+x2 = ln │√
9+x23 dt + x
3 │ + C
= ln │
√
9+x2+x3 │+ C Melengkapkan Menjadi Kuadrat Contoh:
Tentukan : dx
√
x2+2x+26 Penyelesaian:
x2 + 2x + 26 = x2 + 2x + 1 + 25 = ( x + 1 ) + 25 4 – x2 X = 2 sint
(14)
Andaikan : u = x + 1 dan du = dx maka:
dx
√
x2+2x+26 =dx
√
(x+1)2+25 =du
√
u2+25 Andaikan :U = 5 tan t , /2 ≤ t ≤ /2
du = 5 sec2 t dt dan
√
u2+25 =
√
25(tan2 +1)√
u2+25=5sect Maka :du
√
u2+25 = 1
5sect 5 sec2 t dt
= sec t dt
= sec t . sec tsec +tant
+tant dt
= sec 2
t+sect+tant sec t+tant dt = ln sec t + tan t + C
= ln │
√
u2+25 5 +u
5 │+ C
= ln │
√
u2+25 + u │ - ln 5 + C = ln|
√
x2+2x+26|
+ x + 1 │ + K2.5. Pengintegralan Parsial
2.5.1 Pengeintegralan Parsial Biasa
Jika pengintegralan dengan metode penggantian tidak berhasil, kita coba dengan pengeintegralan parsial.
(15)
Andaikan : u = f (x) dan v = g (x) maka
Dx f (x) g (x) = f (x) g'(x) + g(x) f ' (x) Maka :
f (x) g (x) = f (x) g'(x) dx + g(x) f ' (x) dx atau :
f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) - g(x) f ' (x) dx
Karena :
dv = g'(x) dx dan du = f ' (x) dx maka rumus dapat ditulis :
Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu u dv = uv - v
du
Pengintegralan Parsial Integral Tentu
Contoh
1. Tentukan x cos x dx Penyelesaian:
Misal u = x du = dx
dv = cos x dx v =
∫
cosx dx=sinx Maka :∫
u dv=u . v−∫
v du
∫
xcosx dx=xsinx−∫
sinx dx ¿xsinx−cosx+c∫
a b
udv=(uv)b
a−
∫
a b(16)
2. Tentukan
∫
1 elnx dx
Penyelesaian :
Misal u = ln x du = ( 1 x ) dx dv = dx v = x
u dv = u.v - v du
∫
1 e
lnx dx = x ln x - x 1x dx
¿ x ln x -
∫
1 edx
¿ x ln x │ e
1 - x │ e 1
x ln x - x │ e1
e−e 1−1 1 ln¿ ¿
eln¿−¿ ¿ ¿
= e – e + 1 = 1 3. Tentukan sin-1 x dx
Penyelesaian :
Misal u = sin-1 x du = 1
√
1+x2 dx x=sinU1 = cos u du x2 = sin2u x2 = 1 – cos2u
(17)
1 = cos (sin-1 x ) d (sin-1 x ) 1 =
√
1−x2 d (sin-1 x )1
√
1−x2 = d (sin-1 x ) = du dv=dx x = vu dv = u.v - v du
sin-1 dx = xsin-1 x - 1
√
1−x2 dx = xsin-1 x - 1√
1−x2 dx a = 1 – x 2da = -2x dx = xsin-1 x - x ( 1 – x2) -½(-2x dx)
= xsin-1 x - x (a)-½ 1
−2x da = xsin-1 x + ½ a-½ da
= xsin-1 x + 1 2
1
−½+1 a½ +C
= xsin-1 x + 1 2 .
2
1 a½ +C = xsin-1 x + ( 1 – x2) ½ + C = xsin-1 x +
√
1−x2 + C
2.5.2 Pengintegralan Parsial Berulang Contoh :
1. Hitunglah : x2 sin x dx
(18)
dv = sin x dx v = sin x dx = - cos x dx u dv = u.v - v du
x2 sin x dx = -x2 cos x - (-cos x) 2x dx
= -x2 cos x + 2x cos x dx
u = 2x du = 2 dx
dv = cos x dx v = cos x dx = sin x
x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x - 2 sin x dx
= -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
2. Tentukan ex sin x dx Penyelesaian :
Misalnya : u = ex du = ex dx
dv = sin x dx v = sin x dx = -cos
u dv = u. v - v du
ex sin x dx = -ex cos x -ex dx
= ex cos x u = ex du =ex dx
cos x dx = v v = cos x dx = sin x
ex sin x dx = -ex cos x + ex sin x - sin x ex dx
ex sin x dx = ex ( sin x – cos x ) - ex sin x dx
2 ex sin x dx = ex ( sin x – cos x ) + C ex sin x dx = ½ ex ( sin x – cos x ) + C
(19)
3. Hitunglah sec3 d Penyelesaian :
sec3 d = sec sec2 d
u = sec du = sec tan d
dv = sec2 d v = sec2 d = tan
u dv = u.v - v du
sec3 d = sec tan - tan sec tan d
sec3 d = sec tan - tan2 sec d
sec3 d = sec tan - sec (sec2 - 1 ) d
sec3 d = sec tan - ( sec3 - sec ) d
sec3 d = sec tan - sec3 d + sec d
sec3 d = sec tan - sec3 d + ln │ sec + tan │+C
2 sec3 d = sec tan - sec3 d +ln │sec + tan│ + C
sec3 d = 1
2 sec tan + 1
2 ln │ sec + tan │+ K
RUMUS REDUKSI
f n (x) dx = g (x) + fk (x) dx dan k n
Contoh
1. Jabarkan suatu rumus reduksi untuk sinn x dx Penyelesaian :
Andaikan u = sinn-1 x du = (n - 1) sinn-2 x cos x dv = sin x dx v = sin dx = - cos x u dv = u.v - v du
sinn x dx = - sinn-1 cos x - ( n – 1 ) - sinn-2 x cos x . cos x dx = - sinn-1 cos x + ( n – 1 ) sinn-2 cos2 x dx
(20)
sinn x dx = - sinn-1 cos x + ( n – 1 ) ( sinn-1 (1 – sin2 x ) ) dx = - sinn-1 cos x + ( n – 1 ) ( sinn-2 – sinn ) dx
sinn x dx + (n – 1 ) sinn x dx = -sinn-1 cos x + ( n – 1 ) sinn-2 dx n sinn x dx = - sinn-1 cos x + ( n – 1 ) sinn-2 dx
sinn x dx = −sinn−1cosx
n +
(n−1)
n sinn-2 dx 2. Gunakan rumus reduksi di atas untuk menghitung:
contoh sin3 x dx
Penyelesaian : sinn dx = −sinn−1xcosx
n +
(n−1)
n sin n-2 dx = -sin n-1 (π
2) Penyelesaiannya :
∫
0
¿2
sinnx dx
=
[
−sinn−1xcosx
n
]
¿2 0 +
(n−1)
n sin n-2 dx
=
[
−sin n−1(
❑2
)
cos(
❑2)
n
]
+ sin n−1(
0)cos(0)
n + (n−1)
n sinn-2 x dx = 0 + (n−1)
n sin n-2 x dx
∫
0
¿2
sin8x dx
= 8−81
∫
0¿2
sin8−2x dx
= 78
∫
0¿2
sin8−2x dx
= 7 8 .
6−1
6
∫
0 ¿2sin6−2x dx
= 7 8 .
5
6
∫
0 ¿2sin4x dx
= 7 8 .
5 6
4−1
4 sin4-2 dx = 78 . 56 . 34 2−21
∫
0
¿2 sin0dx
= 7 8 .
5 6 .
3
4 .
1 2
∫
0¿2 dx = 7
8 . 5 6 .
3
4 .
1 2 .
1
2 = 35/256 1. x ex dx
(21)
3. x sin 3 x dx 4. ln 3x dx 5. t sec2 5 t dt 6. x
√
x dx 7. √
x ln x dx 8. 23 ln x dx9.
∫
π/4 π/2
csc3 x dx 10. x dx dx
11. x sin3 x dx 12. x2 cos x dx 13. sin (ln x ) dx 14. (lnx)3 dx
15. Sebarkan rumus reduksi cos3 x dx dengan menggunakan rumus integral parsial 16. Buktikan rumus reduksi : x ex dx = xn ex
2.6 Pengintegralan Fungsi Rasional
2.6.1 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Linier) faktor linier berbeda
1. Tentukan : 5x+3
x3−2x2−3x dx Penyelesaian:
5x+3 x3
−2x2
−3x =
5x+3 x(x2−2x−3)=
5x+3 x(x+1)(x−3)
5x+3 x(x+1)(x−3)=
A x +
B
(x+1) +
C
(x−3)
5x + 3 = A ( x + 1 ) ( x – 3 ) + B x ( x – 3 ) + C x ( x + 1 ) didapat:
5x + 3 x2−2x−3
¿A¿ ) + B ( x
2 – 3x ) + C ( x2 + x ) 5x + 3 = ( A + B + C ) C x2 + (-2A – 3B + C ) x + ( -3 A ) 3 = -3 A A = -1 / - 3A = 3 A = -1
A + B + C = 0 -1 + B + C = 0 B + C = 1 -2A – 3B + C = 5 2 – 3B + C = 5 3B + C = 3 4B = -2 B + C = 1 B = - ½ -½ + C = 1
C = 3 2
(22)
A=−1 B = - ½ C=3
2
(5x+3)
x(x+1)(x−3) = −1
x +(
−1 2 )
(
1 x+1
)
+3 2(x−3)
= ln|x –3|− 3 (x−3)+C
= −ln∨x∨−1
2 ln∨x+1∨
+3
2 ln∨x –3∨+C B. Contoh Faktor Linier Berulang.
Hitunglah :
∫
X(X−3)2 dx
Penyelesaian : X
(x−3)2 =
A x−3 +
B
(x−3)2 x=A(x –3)+B
x=Ax –3A+B
Ax=x A=1 -3A + B = 0 B = 3A
B = 3 A = 1 B = 3
x
(x−3)2 ¿
1 x−3+
3
(x−3)2
∫
x(x−3)2dx=
∫
1
x−3dx+3
∫
1(x−3)2dx
¿ln│ x –3│+3
∫
(x−3)−2dx¿ln│ x –3│+3 1
−2+1(x−3)
−2+1 +C = ln│ x – 3 │ + 3/(-1) (x -3) -1 + C
3x2
−8x+13
(x+3)(x−1)2 =
4 x+3−
1 x−1+
2
(x−1)2
( Ada Beberapa Faktor Linier Berbeda Dan Ada Yang Berulang)
Tentukan :
∫
3x−8x+13(x+3)(x−1)2
Penyelesaian: 3x2−8x+13
(x+3)(x−1)2 =
A x+3+
B
(x−1)+
C
(x−1)2 3x2
−8x+13 = A (x-1) + B (x+3) (x-1) + C (x+3)
3x2−8x+13 = A ( x2 - 2x + 1 ) + B ( x2 +2x – 3 ) + C ( x + 3 ) = x (A + B ) + x ( -2A + 2B + C ) + ( A – 3B + 3C ) A + B = 3
-2A + 2B + C = -8 3x -6A + 6B + 3C = 24 A + 3B + 3C = 13 A – 3B + 3C = 13
--7A + 9B = -37
(23)
A + B = 3 7x 7A + 7B = 21 + 16B = -16
B = −16 16 =−1
A + B = 3 A + (-1) = 3 A = 4
A – 3B + 3C = 13 4 – 3 (-1) + 3C = 13 4 + 3 - 3C = 13 - 7 3C = 13 – 7 = 6 C = 2
Jadi A = 4, B = -1 , C = 2 Sehingga :
5x+3 x(x+1)(x−3)=
−1 x −
1 2
1 x+1dx+
3 2
1 x−3dx 3x−8x+13
(x+3)(x−2)2=4
1 x+3dx−
1
x−1dx+2 1
(x−1)2
¿4 ln│ x+3│ –ln│ x –1│− 2 (x−1)+C
2.6.2 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat) A.( Faktor Kuadrat Yang Berbeda )
Tentukan : 6x 2
−3x+1
(4x+1)(x2+1)
Penyelesaian : 6x2
−3x+1
(4x+1)(x2
+1) =
A
4x+1 +
Bx+C x2+1
6x2 – 3x + 1 = A ( x2 + 1 ) + ( Bx + C ) (4x + 1 )
6x2 – 3x + 1 = Ax2 + A + 4Bx2 + Bx + 4Cx + C
( A + 4B) = 6 B + 4C = -3 1X B + 4C = -3 A + C = -1 4X 1 = A + C
B + 4C = - 3 4A + 4C = 4 - B - 4A = -7
A + 4B = 6 1X A + 4B = 6 -4A+ B = - 7 4X -16A+ 4B = - 28
17 A = 34 A = 34
17 = 2 A + C = 1 2 + C = 1 C = - 1 B + 4C = - 3
B + 4 (-1) = -3 B - 4 = - 3 B = - 3 + 4 = 1 Jadi: A = 2 , B = 1 , C = - 1
6x2
−3x+1
(4x+1)(x2+1) =
2
4x+1 + x−1 x2
(24)
∫
6x 2−3x+1
(4x+1)(x2
+1) =
∫
2
4x+1 dx +
∫
x−1 x2+1 dx = 12
∫
4
4x+1 dx +
∫
xx2+1 dx -
∫
1x2+1 dx = 1
2
∫
4
4x+1 dx + 1
2
∫
2xx2+1 dx -
∫
1 x2+1 = 12 ln │ 4x + 1 │ + 12 ln │x2 + 1 │ - tan -1 x + CB. (Faktor Kuadrat Berulang)
Tentukan :
x2 +2¿2
¿
(x+3)¿
6x2−15x+22
¿
∫
¿Penyelesaian : x2+2¿2
(x+3)¿
6x2−15x+22
¿
= xA
+3 +
Bx+C
(x2+2) +
x2+2¿2 ¿
dx+E
¿
6x2
−15x+22 = A ( x4 + 4x2 + 4 ) + (Bx + C )
( x3 + 3x2 +2x + 6 ) + (Dx + Ex + 3Dx + 3E) 6x2
−15x+22 = A ( x4 - 4x2 + 4 ) + (Bx4 + 3Bx3 + 2Bx2 + 6 Bx + Cx2 + 2Cx + 6C) + (Dx 2+ Ex + 3Dx + 3E)
(A+B)X 4 = 0 (-4A - 2B + 3C + D ) x2 = 6x2 ( 3B + C ) x3 = 0 (6B + 2C + E + 3D ) x = - 15
( 4A + 6C + 3E ) = 22
2.7.Rangkuman
A. Penggantian Dalam Integral Tak Tentu Konstanta, Pangkat:
1.
∫
K d u=KU+C 2.∫
Urdu=U
r+1
r+1+C ; r ≠−1 L n│ U │+C ; r=−1
(25)
3.
∫
eud u=eu+C 4.∫
audu= au
Ln a+C ; a ≠1, a0
Fungsi Trigonometri 5.
∫
sinU du=−cosU+C 6.∫
cosU du=sinU+C 7.∫
Sec2U du=tanU+C 8.
∫
Csc2U du=−cotU+C
9.
∫
Sec UtanU du=Sec U+C10.
∫
Csc UcotU du=−Csc U+C 11.∫
tanU du=−ln│cosU │+C 12.∫
cosU du=ln│sinU │+c Fungsi Aljabar13.
∫
du√
a2+u2= 1 atan−1
(
u a)
+C 14.∫
du√
a2+u2=sin−1
(
u a)
+C 15.∫
duu
√
u2+a2= 1 asec−1
(
│u │ a)
+C=1 acos
−1
(
a│u │
)
+C Mengubah-ubah IntegralContoh:
1. Tentukan
∫
7 x2−6x+25dx Penyelesaian:
∫
7x2−6x+25dx=
∫
7
x2−6x+9+16dx=
∫
7(x−3)2+42dx
¿7
∫
1(x−3)2+42d(x−3)
¿7/4 tan−1 (x−3
4 )+C 2. Tentukan:
∫
x2 −x
x+1 dx Penyelesaian ;
(26)
∫
xx2+−1x = (x+1) (x−2)+2x+1 = (x-2) + 2 x+1
∫
x2−xx+1 =
(x-2) dx +∫
2(x−1)dx
= x2
2 - 2x + 2
∫
1x+1 d (x+1) = x2
2 - 2x + 2 ln
|
x+1| + C B. Penggantian Dalam Integral Tentu∫
0 1
(x−1)4 dx
Misal ; u = x-1 du = dx
U4 du = (x-1)4 d (x-1) = 41+1 U5 ¿ 1
5 U5 = 1
5 (x-1)5
y = (x−1) 5
5 y
1 = 1
5 5 (x-1)4 = (x-1) 4 Terbukti C. Beberapa Integral Trigonometri
1. Jenis 1 Apabila n ganjil sin n X dx , cos n X dx
Apabila n positif genap, maka kita gunakan rumus setengah sudut
sin2x = 1−cos2x
2 , cos 2 x =
1+cos 2x 2
2. Jenis 2 Apabila m atau n ganjil positif, sedangkan mempunyai eksponen yang lain bilangan sembarang menggunakan ketidaksamaan
∫
sinmxcosnx dx m dan n positif genap sin2 x cos 4 x dx sin2x = 1−cos 2x 2 cos2x = 1+cos 2x
2 penyelesaian:
∫
sin x 2 cos 4 x dx= ( 1 – cos 22 x ) ( 1 + cos 22 x )2 dx = 1
(27)
= 1
8 ( 1 – cos 2x) ( 1 + 2cos 2x + cos2 2x ) dx
= 18 ( 1 + 2 cos 2x + cos2 2x – cos2x – 2cos2 2x – cos3 2x ) dx
= 18 ( 1 + cos 2x - 12 -
1−sin 4x−¿
1 2cos¿
2 2x) cos 2x ) dx
= 18 ( 12 + cos 2x - 21 4x−cos 2cosx+¿sin
¿ 2x cos 2x ) dx
= 1 8 (
1 2dx−
1
2 cos 4x dx + 1
2sin 2 2x cos 2x ) dx = 18 12x−1
2 1
4 cos 4x d (4x) + 1 2
1
3
∫
sin 2 2x d (sin 2x) = 18 ( 1 2 x−
1
8 sin 4x dx + 1
6sin 3 2x + C 3. Jenis 3
tann x dx m nn x dx
cotn x dx
Dalam kasus tangen dipakai
Dalam kasus cotangen dipakai: cot2 x = csc2 x – 1
m ganjil n sembarang Tentukan :
∫
tan−23x sec4x dx Penyelesaian :
∫
tan−3
2 x sec4x dx sec2x=1+tan2x tan
−3
2 x+tan12x x tan¿
¿
¿
∫
¿sec2x dx →a¿
tan
−3
2 x+tan12x x tan¿
¿ ¿
∫
¿d¿ ¿ 1−3 2 +1
tan
−3
2+1x+ 1 1 2+1
tan 1 2+1x+c
(28)
¿−2 tan
−1 2 x
+2
3tan 3 2x
+c
4. Jenis 4 (n genap, m sembarang)
∫
tanmx secnx dx ,∫
cotmx cscnx dx 5. Jenis 5sin mx cos nx =
(m+n)x
(m−n)x sin¿+sin¿
¿
1 2¿
sin mx sin nx = - 12 ( cos (m + n ) x – cos ( m + n )
x )
cos mx cos nx = 1
2 ( cos (m + n ) x + cos ( m – n ) x )
D. Penggantian Yang Merasionalkan n
√
ax+bIntegral yang mengandung
√
a2−x2,√
a2+x2dan√
x2−a2 Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian:1. x = a sin t 2. x = a tan t 3. x = a sec t maka :
1. a2
−x2 = a2
−¿ a2 sin2 t = a2 ( 1 – sin2 t ) = a2 cos2 t 2. a2
+x2 = a2
+¿ a2 tan2 t = a2 ( 1 + tan2 t ) = a2 sec2 t sin mx cos nx dx
sin mx sin nx dx
(29)
3. x2−a2 = a2 sec2 t – a2 = a2 ( sec2 t – 1 ) = a2 tan2 t Jadi:
1.
√
a2−x2 = a cos t = a cos t ( sebab : −π 2 ≤ t ≤
π 2 ) 2.
√
a2+x2 = a sec t = a sec t (sebab: −π2 <t< π 2 ) 3.
√
x2−a2 = a tan t = ± a tan t (sebab: 0 ≤t ≤ ,t=π 2 ) E. Pengintegralan Parsial
Andaikan : u = f (x) dan v = g (x) maka
Dx f (x) g (x) = f (x) g'(x) + g(x) f ' (x) Maka :
f (x) g (x) = f (x) g'(x) dx + g(x) f ' (x) dx atau:
f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) - g(x) f ' (x) dx Karena :
dv = g'(x) dx dan du = f ' (x) dx maka rumus dapat ditulis :
1. Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu u dv = uv - v
du
2. Pengintegralan Parsial Integral Tentu
3. Pengintegralan Parsial Berulang 1. Hitunglah : x2 sin x dx
Misal u = x2 du = 2x dx
dv = sin x dx v = sin x dx = - cos x dx u dv = u.v - v du
x2 sin x dx = -x2 cos x - (-cos x) 2x dx
= -x2 cos x + 2x cos x dx
∫
a b
udv=(uv)b
a−
∫
a b(30)
u = 2x du = 2 dx
dv = cos x dx v = cos x dx
= sin x
x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x - 2 sin x dx
= -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C F. Rumus Reduksi
f n (x) dx = g (x) + fk (x) dx dan k n
G. Pengintegralan Fungsi Rasional Faktor Linier Berbeda
1. Tentukan : 5x+3 x3
−2x2
−3x dx Penyelesaian:
5x+3
x3−2x2−3x =
5x+3 x(x2
−2x−3)=
5x+3 x(x+1)(x−3)
¿A
x + B
(x+1) +
C
(x−3)=
5x+3 x(x+1)(x−3)
A ( x + 1 ) ( x – 3 ) + B x ( x – 3 ) + C x ( x + 1 ) = 5x + 3
didapat: x2
−2x−3
¿A¿ ) + B ( x
2 – 3x ) + C ( x2 + x ) = 5x + 3 = ( A + B + C ) C x2 + (-2A – 3B + C ) x + ( -3 A )= 5x + 3 3 = -3 A A = 1
A + B + C = 0 -1 + B + C = 0 B + C = 1 -2A – 3B + C = 5 2 – 3B + C = 5 3B + C = 3 4B = -2 B + C = 1 B = - ½ ½ + C = 1
C = 32
A=−1 B = - ½ C=3
2
(5x+3)
x(x+1)(x−3) = −1
x +(
−1 2 )
(
1 x+1
)
+3 2(x−3)
(31)
= ln|x –3|− 3 (x−3)+C
= −ln∨x∨−1
2 ln∨x+1∨
+3
2 ln∨x –3∨+C Faktor Linier Berulang
Hitunglah :
∫
X(X−3)2 dx
Penyelesaian : X
(x−3)2 =
A x−3 +
B
(x−3)2 X=A(x –3)+B
x=Ax –3A+B
Ax=x A=1 -3A + B = 0 B = 3A
B = 3 A = 1 B = 3
x
(x−3)2 ¿
1 x−3+
3
(x−3)2
∫
x(x−3)2dx=
∫
1
x−3dx+3
∫
1(x−3)2dx
¿ln│ x –3│+3
∫
(x−3)2dx¿ln│ x –3│+3 1
−2+1(x−3)
−2+1 +C = ln│ x – 3 │ + 3/(-1) (x -3) -1 + C
3x2−8x+13
(x+3)(x−1)2 =
4 x+3−
1 x−1+
2
(x−1)2
H. Contoh Soal Faktor Linier Berbeda Dan Berulang Tentukan :
∫
3x−8x+13(x+3)(x−1)2
Penyelesaian: 3x2−8x+13
(x+3)(x−1)2 =
A x+3+
B
(x−1)+
C
(x−1)2
3x2−8x+13 = A (x-1) + B (x+3) (x-1) + C (x+3)
3x2−8x+13 = A ( x2 -2x + 1 ) + B ( x2 +2x – 3 ) + C ( x + 3 ) = x (A + B ) + x ( -2A + 2B + C ) + ( A – 3B + 3C )
A + B = 3
-2A + 2B + C = -8 3x -6A + 6B + 3C = 24 A + 3B + 3C = 13 A – 3B + 3C = 13
-7A + 9B = -37 -7A + 9B = -37 1x -7A + 9B = -37 A + B = 3 7x 7A + 7B = 21 +
(32)
B = −16 16 =−1
A + B = 3 A + (-1) = 3 A = 4
A – 3B + 3C = 13 4 – 3 (-1) + 3C = 13 4 + 3 - 3C = 13 - 7 3C = 13 – 7 = 6 C = 2
Jadi A = 4, B = -1 , C = 2 Sehingga :
5x+3 x(x+1)(x−3)=
−1 3 −
1 2
1 x+1dx+
3 2
1 x−3dx 3x−8x+13
(x+3)(x−2)2=4
1 x+3dx−
1
x−1dx+2 1
(x−1)2
¿4 ln│ x+3│ –ln│ x –1│− 2 (x−1)+C
I. Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial 1. Faktor Kuadrat Yang Berbeda
Tentukan : 6x 2
−3x+1
(4x+1)(x2+1)
Penyelesaian : 6x2
−3x+1
(4x+1)(x2+1) =
A
4x+1 +
Bx+C x2+1 6x2 – 3x + 1 = A ( x2 + 1 ) + ( Bx + C ) (4x + 1 ) 6x2 – 3x + 1 = Ax4 + A + 4Bx2 + Bx + 4Cx + C
( A + 4B) = 6 B + 4C = -3 1X B + 4C = -3 A + C = -1 4X
1 = A + C B + 4C = - 3 4A + 4C = 4 -
B - 4A = -7
A + 4B = 6 1X A + 4B = 6 -4A+ B = - 7 4X 16A+ 4B = 28
17 A = 34
A = 3417 = 2 A + C = 1 2 + C = 1
C = - 1 B + 4C = - 3
B + 4 (-1) = -3 B - 4 = - 3 B = - 3 + 4 = 1 Jadi, A = 2 , B = 1 , C = - 1
(33)
6x2−3x+1
(4x+1)(x2
+1) =
2
4x+1 + x−1 x2+1
∫
6x2
−3x+1
(4x+1)(x2
+1) =
∫
2
4x+1 dx +
∫
x−1 x2+1 dx = 12
∫
4
4x+1 dx +
∫
xx2+1 dx
-∫
1x2+1 dx
= 1
2
∫
4
4x+1 dx + 1
2
∫
2xx2+1 dx
-∫
1x2+1 dx
= 12 ln │ 4x + 1 │ + 12 ln │x2 + 1 │ - tan -1
x + C
2. Faktor Kuadrat Berulang
Tentukan :
x2+2¿2 ¿
(x+3)¿
6x2
+15x+22
¿
∫
¿Penyelesaian : x2+2¿2
(x+3)¿
6x2+15x+22
¿
= A
x+3 +
Bx+C
(x2
+2) +
x2+2¿2 ¿
dx+E
¿
6x2+15x+22 = A ( x4 + 4x2 + 4 ) + (Bx + C ) ( x3 + 3x2 +2x + 6 ) + (Dx + Ex + 3Dx + 3E)
6x2+15x+22 = A ( x4 + 4x2 + 4 ) + (Bx4 + 3Bx3 + 2Bx2 + 6 Bx + Cx2 + 2Cx + 6C) + (Dx 2+ Ex + 3Dx + 3E)
(A+B)x 4 = 0 (-4A - 2B + 3C + D ) x2 = 6x2 ( 3B + C ) x3 = 0 (6B + 2C + E + 3D ) x = - 15 ( 4A + 6C + 3E ) = 22
(1)
¿−2 tan −1
2 x
+2 3tan
3 2x
+c
4. Jenis 4 (n genap, m sembarang)
∫
tanmx secnx dx ,∫
cotmx cscnx dx 5. Jenis 5sin mx cos nx =
(m+n)x (m−n)x sin¿+sin¿
¿ 1 2¿
sin mx sin nx = - 12 ( cos (m + n ) x – cos ( m + n ) x )
cos mx cos nx = 1
2 ( cos (m + n ) x + cos ( m – n ) x )
D. Penggantian Yang Merasionalkan
n
√
ax+bIntegral yang mengandung
√
a2−x2,√a
2+x2dan√x
2−a2 Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian:1. x = a sin t 2. x = a tan t 3. x = a sec t maka :
1. a2
−x2 = a2
−¿ a2 sin2 t = a2 ( 1 – sin2 t ) = a2 cos2 t 2. a2
+x2 = a2
+¿ a2 tan2 t = a2 ( 1 + tan2 t ) = a2 sec2 t
sin mx cos nx dx sin mx sin nx dx
(2)
3. x2−a2 = a2 sec2 t – a2 = a2 ( sec2 t – 1 ) = a2 tan2 t
Jadi: 1.
√
a2−x2 = a cos t = a cos t ( sebab : −π
2 ≤ t ≤ π 2 ) 2.
√
a2+x2 = a sec t = a sec t (sebab: −π2 <t< π 2 ) 3.
√
x2−a2 = a tan t = ± a tan t (sebab: 0 ≤t ≤ ,t=π
2 ) E. Pengintegralan Parsial
Andaikan : u = f (x) dan v = g (x) maka
Dx f (x) g (x) = f (x) g'(x) + g(x) f ' (x) Maka :
f (x) g (x) = f (x) g'(x) dx + g(x) f ' (x) dx atau:
f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) - g(x) f ' (x) dx Karena :
dv = g'(x) dx dan du = f ' (x) dx maka rumus dapat ditulis :
1. Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu u dv = uv - v
du
2. Pengintegralan Parsial Integral Tentu
3. Pengintegralan Parsial Berulang 1. Hitunglah : x2 sin x dx
Misal u = x2 du = 2x dx
dv = sin x dx v = sin x dx = - cos x dx u dv = u.v - v du
x2 sin x dx = -x2 cos x - (-cos x) 2x dx
= -x2 cos x + 2x cos x dx
∫
a b
udv=(uv)b a−
∫
ab
(3)
u = 2x du = 2 dx
dv = cos x dx v = cos x dx = sin x
x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x - 2 sin x dx
= -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
F. Rumus Reduksi
f n (x) dx = g (x) + fk (x) dx dan k n
G. Pengintegralan Fungsi Rasional Faktor Linier Berbeda
1. Tentukan : 5x+3 x3
−2x2−3x dx
Penyelesaian: 5x+3
x3−2x2−3x =
5x+3 x(x2−2x−3)=
5x+3 x(x+1)(x−3) ¿A
x + B (x+1) +
C (x−3)=
5x+3 x(x+1)(x−3)
A ( x + 1 ) ( x – 3 ) + B x ( x – 3 ) + C x ( x + 1 ) = 5x + 3 didapat:
x2−2x−3
¿A¿ ) + B ( x
2 – 3x ) + C ( x2 + x ) = 5x + 3
= ( A + B + C ) C x2 + (-2A – 3B + C ) x + ( -3 A )= 5x + 3
3 = -3 A A = 1
A + B + C = 0 -1 + B + C = 0 B + C = 1 -2A – 3B + C = 5 2 – 3B + C = 5 3B + C = 3 4B = -2 B + C = 1 B = - ½ ½ + C = 1
C = 32
A=−1 B = - ½ C=3
2 (5x+3)
x(x+1)(x−3) = −1
x +( −1
2 )
(
1 x+1)
+3 2(x−3)
(4)
= ln|x –3|− 3 (x−3)+C = −ln∨x∨−1
2 ln∨x+1∨ +3
2 ln∨x –3∨+C Faktor Linier Berulang
Hitunglah :
∫
X(X−3)2 dx Penyelesaian :
X
(x−3)2 = A x−3 +
B (x−3)2
X=A(x –3)+B x=Ax –3A+B
Ax=x A=1
-3A + B = 0 B = 3A B = 3 A = 1 B = 3
x
(x−3)2 ¿ 1 x−3+
3 (x−3)2
∫
x(x−3)2dx=
∫
1x−3dx+3
∫
1 (x−3)2dx¿ln│ x –3│+3
∫
(x−3)2dx ¿ln│ x –3│+3 1−2+1(x−3) −2+1
+C = ln│ x – 3 │ + 3/(-1) (x -3) -1 + C
3x2−8x+13 (x+3)(x−1)2 =
4 x+3−
1 x−1+
2 (x−1)2
H. Contoh Soal Faktor Linier Berbeda Dan Berulang Tentukan :
∫
3x−8x+13(x+3)(x−1)2
Penyelesaian: 3x2−8x+13 (x+3)(x−1)2 =
A x+3+
B (x−1)+
C (x−1)2
3x2−8x+13 = A (x-1) + B (x+3) (x-1) + C (x+3)
3x2−8x+13 = A ( x2 -2x + 1 ) + B ( x2 +2x – 3 ) + C ( x + 3 )
= x (A + B ) + x ( -2A + 2B + C ) + ( A – 3B + 3C ) A + B = 3
-2A + 2B + C = -8 3x -6A + 6B + 3C = 24 A + 3B + 3C = 13 A – 3B + 3C = 13
-7A + 9B = -37 -7A + 9B = -37 1x -7A + 9B = -37 A + B = 3 7x 7A + 7B = 21 +
(5)
B = −16 16 =−1
A + B = 3 A + (-1) = 3 A = 4
A – 3B + 3C = 13 4 – 3 (-1) + 3C = 13 4 + 3 - 3C = 13 - 7 3C = 13 – 7 = 6 C = 2
Jadi A = 4, B = -1 , C = 2
Sehingga :
5x+3 x(x+1)(x−3)=
−1 3 −
1 2
1 x+1dx+
3 2
1 x−3dx 3x−8x+13
(x+3)(x−2)2=4 1 x+3dx−
1
x−1dx+2 1 (x−1)2
¿4 ln│ x+3│ –ln│ x –1│− 2 (x−1)+C I. Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial
1. Faktor Kuadrat Yang Berbeda Tentukan : 6x
2
−3x+1 (4x+1)(x2+1) Penyelesaian :
6x2−3x+1
(4x+1)(x2+1) = A
4x+1 +
Bx+C x2+1 6x2 – 3x + 1 = A ( x2 + 1 ) + ( Bx + C ) (4x + 1 )
6x2 – 3x + 1 = Ax4 + A + 4Bx2 + Bx + 4Cx + C
( A + 4B) = 6 B + 4C = -3 1X B + 4C = -3 A + C = -1 4X
1 = A + C B + 4C = - 3 4A + 4C = 4 -
B - 4A = -7
A + 4B = 6 1X A + 4B = 6
-4A+ B = - 7 4X 16A+ 4B = 28
17 A = 34
A = 3417 = 2 A + C = 1 2 + C = 1
C = - 1 B + 4C = - 3
B + 4 (-1) = -3 B - 4 = - 3 B = - 3 + 4 = 1 Jadi, A = 2 , B = 1 , C = - 1
(6)
6x2−3x+1 (4x+1)(x2+1) =
2
4x+1 + x−1 x2+1
∫
6x2−3x
+1 (4x+1)(x2
+1) =
∫
24x+1 dx +
∫
x−1 x2+1 dx = 12
∫
4
4x+1 dx +
∫
xx2+1 dx
-∫
1x2+1 dx
= 1
2
∫
4
4x+1 dx + 1
2
∫
2xx2+1 dx
-∫
1x2+1 dx
= 12 ln │ 4x + 1 │ + 12 ln │x2 + 1 │ - tan -1
x + C
2. Faktor Kuadrat Berulang
Tentukan :
x2+2¿2 ¿ (x+3)¿ 6x2+15x
+22 ¿
∫
¿ Penyelesaian :x2+2¿2 (x+3)¿ 6x2+15x+22
¿
= A
x+3 +
Bx+C (x2
+2) +
x2+2¿2 ¿
dx+E
¿
6x2+15x+22 = A ( x4 + 4x2 + 4 ) + (Bx + C )
( x3 + 3x2 +2x + 6 ) + (Dx + Ex + 3Dx + 3E)
6x2+15x+22 = A ( x4 + 4x2 + 4 ) + (Bx4 + 3Bx3 + 2Bx2 + 6 Bx +
Cx2 + 2Cx + 6C) + (Dx 2+ Ex + 3Dx + 3E)
(A+B)x 4 = 0 (-4A - 2B + 3C + D ) x2 = 6x2
( 3B + C ) x3 = 0 (6B + 2C + E + 3D ) x = - 15