SEJARAH PERKEMBANGAN DAN FILSAFAT KALKUL (1)
SEJARAH DAN FILSAFAT KALKULUS
A. Pendahuluan
Kalkulus merupakan cabang ilmu matematika yang digunakan di setiap cabang
sains fisik, sains computer, statistik, tekhnik, ekonomi, kedokteran dan bidang-bidang
lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkukus. Massa
dari sebuah benda dengan massa jenis yang diketahui, momen inersia dari suatu objek
dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk
mencari total aliran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik. Contoh historis lainnya
adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, yang dinyatakan sebagai laju
perubahan yang merujuk pada turunan.
Dengan demikian pembahasan mengenai kalkulus sangatlah menarik untuk kita
kaji bersama dalam satu tulisan ilmiah. Oleh sebab itu, melalui makalah ini kita akan
mencoba mengupas satu persatu tokoh-tokoh yang ikut memberikan kontribusi terhadap
kemajuan ilmu kalkulus hingga dapat kita nikmati sekarang, jenis-jenis kalkulus,
aplikasi kalkulus dan menelusuri filosofi dibalik symbol integral.
B. Pembahasan
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung)
adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak
terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah
ilmu mengenai bentuk dan aljabar; adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk
memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam
bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik, serta dapat memecahkan berbagai masalah
yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya
yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum
dinamakan analisis matematika.
1
Archimedes
(287-212 B.C)
Luas, Volume bola
Volume benda
putar
Aryabhata
Ibn alBhaskara II
499
Haytam
Abad 12
...
konsep
Abad 12
Bentuk awal
kecil tak
turunan
berhingga
Leibniz
1669
mengemb
Pascal
Rene Descartes
James
angkan
1637
Gregory
(1623-1662)
notasi1668
Geometri Analitik
Pascal
notasi
kalkulus
dy/dx, dls
Bernoulli
1691 Menulis
buku ajar I
tentang
Kalkulus
Euler 1728
Bilanga 'e'
Maria
Agnesi Buku
ajar Kalkulus
Luas
Guido Fubini
menyempurnaka
n Karya
Lebesgue
Lagrange
(1736-1813)
menulis
mecanique
Analitique
H. Lebesgue
1902
memajukan
teori integral
ganda integral
Lebesgue
2
Syarif al-Din alTusi
Abad 12
Turunan Fungsi
Kubik
Madhava
abad 14
J. Kepler 1609
Hukum Kepler
tentang gerak
planet
Isaac Borrow
(1630-1677)
pendekatan
proses
pendiferensiala
n
John Willis
(1616-1703)
irisan kerucut
sebagai fungsi
derajat 2
Seki Kova
awal Abad 17
Gauss 1799
Buktikan tetili
tentang limit
Cauchy 1821
Gagagas teliti
tentang limit
Karl Weirstrass
(1815-1897)
J. Gibbs
1880
mengembangka
n perlambangan
& aljabar vector
Sonya
Kovalevsky
(1850-1891)
Mengembangka
n Persamaan
Diferensial
Reimann 1854
Integral Riemann
Kalkulus adalah hasil perjuangan intelektual yang berlangsung selama dua ribu
lima ratus tahun. Berikut diberikan uraian lengkap tokok-tokoh yang berperan dalam
ilmu kalkulus :
1. Sejarah Perkembangan Kalkulus
a. Zaman Kuno (… - 212 SM)
Pada periode zaman kuno beberapa pemikiran tentang integral kalkulus telah
muncul, namun tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume
dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus bisa ditelusuri kembali pada
Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) dimana orang mesir menghitung volume dari
Frustum pyramid. Selanjutnya, Archimides mengembangkan pemikiran ini lebih
jauh dan menciptakan heuristic yang sekarang dikenal sebagai kalkulus integral.
Dengan memakai metode (metode keletihan) ia menjumlahkan sejumlah besaranbesaran yang sangat kecil. Sumbangan yang lain diantaranya adalah rumus luas luar
lingkaran, luas potong parabola, luas ellips, volume dan luas permukaan bola dan
volume kerucut serta benda putar lainnya.
b. Zaman Pertengahan (499 SM – Abad 16)
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, mengungkapkan
konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 SM dan mendeskripsikan masalah
astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian
mengantar Bhaskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal
turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan
bentuk awal dari “Teorema Rolle”. Sekitar tahun 1000 M, matematikawan Irak “Ibn
al-Haytham (Alhazen)”, menjadi orang pertama yang menggunakan rumus
perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari
hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.
Pada abad ke-12 seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari
fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14,
Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan
matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang ditulis dalam
teks Yuktibhasa. J. Kepler sebagai matematikawan astronom memperoleh data yang
cermat mengenai orbit-orbit dari planet-plenet sehingga melahirkan tiga hukum yang
berhubungan dengan gerakan planet. (1) Planet-plenet bergerak dalam lintasan yang
3
berupa ellips-ellips dengan matahari pada satu fokusnya, (2) Garis dari matahari ke
planet membentuk luas sama dalam waktu yang sama, (3) Kuadrat periode kitaran
sebanding dengan pangkat tiga dari garis tengah utama.
c. Zaman Modern (Abad 17 – Sekarang)
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke -17 di
Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kova. Di Eropa, beberapa matematikawan
seperti John Willis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. Pada
tahun 1637, Rene Descartes menerbitkan buku “La Geometri” yaitu penggabungan
dari geometri tua dengan aljabar yang saat ini kita kenal dengan geometri analitik
atau geometri koordinat. B. Pascal (1623-1662) sebagai perintis utama dalam
pengkajian teori probabilitas, koefisien bilangan yang terdiri dari koefisien-koefisien
binomial yang dinamakan dengan segitiga pascal. Hal ini mempengaruhi G. Leibniz
dalam menemukan kalkulus. Sejak Januari 1668 M selam 18 bulan, Issac Newton
menekuni masalah-masalah matematika dan dalam waktu singkat, dia menemukan
teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori
warna-warna dan hokum gravitasi universal. Leibniz mengembangkan notasi-notasi
kalkulus, seperti “dy/dx” dan “”.
Di Eropa perkembangan kalkulus lebih cepat daripada di Inggris sebagian
besar disebabkan oleh keunggulan perlambangannya. Adalah Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai “Kalkulus”,
sedangkan Newton menamakannya “The Science of Fluxions”. James Gregory
membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668 M.
Benoulli menulis buku ajar yang pertama pada tahun 1691-1692 namun bagian
tentang kalkulus integral dan diferensial tidak diterbitkan sampai akhirnya pada
tahun 1696 L’Hospital menerbitkannya.
Pada tahun 1728 L.Euler memperkenalkan e sebagai bilangan dasar untuk
logaritma asli dan memperlihatkan bahwa e dan e2 adalah tak rasional. Euler juga
menemukan hubungan luar biasa ei = -1. Maria Agnesi adalah wanita pertama yang
juga mengembangkan kalkulus. Pada usia nya yang ke-20 yaitu pada tahun 1738M ia
memulai karyanya yang terpenting yaitu buku ajar kalkulus luas. Nama Agnesi pun
menguasai suatu tempat dalam kepustakaan matematika melalui satu sumbangan
kecilnya, yaitu pembahasan tentang kurva yang kemudian dikenal sebagai versiere
4
(bahasa latin : vertere) yang artinya membalik. J. Lagrange pada usianya yang ke-19
tahun memulai karyanya yaitu menulis buku “Mecanique Analitigue” walaupun tidak
diterbitkan dan idenya yang sangat berharga dalam kalkulus ini adalah metode
pengali Lagrange.
Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17 namun dasar-dasarnya
tetap kacau sampai akhirnya Cauchy dan rekan-rekan sebayanya (Gauss, Abel dan
Bolzano) mengadakan ketelitian buku. Cauchy pun menyumbangkan pemikiran
pemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas pada definisi limit. Dalam kalkulus
Gauss pun memberikan sumbangan yang berarti yaitu pada pembahasan permukaan
bidang lengkung termasuk Teorema Kedivergenan. Meskipun pada kenyataannya
Cauchy yang merupakan orang yang memberikan definisi kekonvergenan dan
membuktikan sejumlah kedivergenan. Sampai kemudian, Karl Weierstrass
mengembangkan teori lengkap tentang deret fungsi dan menyusun legitimasi operasioperasi yang demikian sebagai pengintegralan dan pengintegralan suku demi suku.
Kemudian pada tahun 1854 G. Riemann memberi definisi modern tentang integral
tentu.
Untuk menghormatinya disebut integral Riemann. Setelah Agnesi, maka
nama wanita selanjutnya yang ikut mewarnai perkembangan kalkulus adalah Sonya
Kovalevsky. Dia menyumbang kepada teori diferensial. Sekitar tahun 1880 Gibbs
mengembangkan perlambangan dan aljabar-aljabar vector. Pada tahun 1961 gagasangagasan itu disajikan dalam sebuah buku oleh mahasiswanya, E. B Wilson yang
berjudul “Vector Analysis”. Karya L. Lebesgue juga memajukan teori integral ganda.
Dalam tesisnya pada tahun 1902, ia mampu memberikan persyaratan sederhana yang
membolehkan integral ganda ditulis sebagai integral berulang (iterasi). Hasil-hasil
yang belakangan disempurnakan oleh rekan sebayanya Guido Fubini.
2. Beberapa Ilmuan Kalkulus
a. René Descartes (1596 - 1650)
5
René Descartes dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang besar. Ia
juga penemu biologi modern, ahli fisika, dan matematikawan.
Descartes lahir di Touraine, Perancis, putra dari seorang ahli hukum, yang
lumayan kekayaannya. Ayahnya mengirimnya ke sekolah Jesuit pada umur 8
tahun. Karena kesehatannya yang kurang baik, Descartes diijinkan
menghabiskan waktu paginya belajar di tempat tidur, suatu kebiasaan yang
dipandangnya berguna sehingga dilanjutkannya sepanjang hidupnya. Pada umur
20 tahun, ia mendapat gelar sarjana hukum (dapat anda bayangkan seorang
sarjana hukum yang juga ahli matematik!) dan selanjutnya menjalani kehidupan
seorang tuan yang terhormat, menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal
beberapa waktu di Paris dan kemudian di Belanda. Ia pergi ke Swedia diundang
untuk mengajari Ratu Christina, di mana ia meninggal karena pneumonia pada
tahun 1650.
Descartes menyelidiki suatu metode berpikir yang umum yang akan
memberikan pertalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmuilmu. Penyelidikan itu mengantarnya ke matematika, yang ia simpulkan sebagai
sarana pengembangan kebenaran di segala bidang. Karya matematikanya yang
paling berpengaruh adalah La Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di
dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri klasik dan dengan
aljabar dasar. Bersama dengan orang Perancis lainnya, Pierre Fermat (1601 –
1665), ia diberi pujian dengan penggabungan tersebut yang saat ini kita sebut
geometri analitik, atau geometri koordinat. Pengembangan lengkap kalkulus
tidak mungkin tercapai tanpa dia.
b. Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)
6
Augustin-Louis Cauchy lahir di Paris dan dididik di Ecole Polytechnique.
Karena kesehatan yang buruk ia dinasehatkan untuk memusatkan pikiran pada
matematika. Selama karirnya, ia menjabat mahaguru di Ecole Polytechnique,
Sorbonne, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya
cemerlang dan mengejutkan dalam jumlahnya. Produktivitasnya sangat hebat
sehingga Academy Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam
majalah ilmiah untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.
Cauchy seorang pemeluk Katolik saleh dan pengikut Raja yang patuh.
Dengan menolak bersumpah setia kepada pemerintah perancis yang berkuasa
dalam tahun 1830, ia mengasingkan diri ke Italia untuk beberapa tahun dan
mengajar di beberapa institut keagamaan di Paris sampai sumpah kesetiaan
dihapuskan setelah revolusi 1848.
Cauchy mempunyai perhatian luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu
naskah dalam ilmu persajakan bahasa Yahudi. Keimanannya dalam beragama
mengantarnya mensponsori kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dan
narapidana.
Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, dasar-dasarnya tetap
kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekan sebayanya (Gauss, Abel, dan
Bolzano) mengadakan ketelitian baku. Kepada Cauchy kita berhutang pemikiran
pemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas dari konsep limit. Semua buku
ajar modern mengikuti paling sedikit dalam intinya, penjelasan kalkulus yang
terinci oleh Cauchy.
c. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
7
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah seorang jenius universal, seorang pakar
dalam hukum, agama, filsafat, kesusasteraan, politik, geologi, sejarah, dan
matematika. Lahir di Leipzig, Jerman, ia mendaftar di Universitas Leipzig dan
menggondol doktor dari Universitas Altdorf. Seperti Descartes, yang karyanya ia
pelajari, Leibniz mencari suatu metode universal dengan mana ia dapat
memperoleh pengetahuan dan memahami kesatuan sifat-sifat dasarnya. Salah
satu keinginan besarnya adalah mendamaikan keyakinan Katolik dan Protestan.
Bersama dengan Isaac Newton, ia membagi penghargaan untuk penemuan
kalkulus. Masalah prioritas menyebabkan pertentangan yang tidak hentihentinya antara pengikut dua orang besar ini, satu Inggris, yang lainnya Jerman.
Sejarah menjadi hakim bahwa Newtonlah yang pertama mempunyai pemikiran
utama (1665-1666), tetapi bahwa Leibniz menemukan mereka secara tersendiri
selama tahun 1673-1676. Dengan kebesarannya itupun, Leibniz tidak menerima
kehormatan seperti yang dicurahkan pada Newton. Ia meninggal sebagai orang
kesepian, pemakamannya hanya dihadiri seorang pelayat yaitu sekretarisnya.
Mungkin Leibnizlah pencipta lambang-lambang matematis terbesar.
Kepadanya kita berhutang nama-nama kalkulus diferensial dan kalkulus integral,
sama halnya seperti lambang-lambang baku dy/dx dan ∫ untuk turunan dan
integral. Istilah fungsi dan penggunaan secara konsisten dari = untuk kesamaan
merupakan sumbangan-sumbangan lainnya. Kalkulus berkembang jauh lebih
cepat di daratan Eropa daripada di Inggris, sebagian besar disebabkan oleh
keunggulan perlambangannya.
d. Isaac Newton (1642 - 1727)
8
“Saya tidak tahu bagaimana saya tampak pada dunia; tetapi bagi saya sendiri saya
nampaknya hanyalah seperti seorang anak laki-laki yang bermain-main di pantai, dan
mengalihkan diri sendiri sekarang dan kemudian menemukan koral yang lebih halus atau
kerang yang lebih indah daripada yang biasa, sementara samudera besar dari
kebenaran semuanya terbentang di hadapan saya tak terungkapkan.”
Lahir pada keluarga petani Inggris pada hari Natal, 1642, Isaac Newton
sebagai seorang pemuda remaja memperlihatkan sedikit harapan akademis. Ia
bosan dengan sekolah, lebih senang membuat layangan, roda air, jam dan
perkakas lain. Seorang paman pertama kali mengenali bakat luar biasa anak
tesebut; ia membujuk ibu Newton untuk memberangkatkan Newton ke Trinity
College dari Universitas Cambridge. Di sana ia kena pengaruh Isaac Barrow,
seorang pakar ilmu agama dan mahaguru matematika. Barrow melihat di dalam
Newton kemampuan yang lebih besar daripada dirinya dan menyerahkan
kemahaguruannya kepada Newton pada waktu umur Newton hanya 26.
Sebelum itu, sesaat setelah diwisuda dari Trinity, Newton pergi pulang
untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-65. Selama 18 bulan, sejak Januari
1665, ia menekuni masalah-masalah matematika dan ilmu yang terkemuka.
Tidak terdapat kejeniusan yang dapat dibandingkan penuh dalam sejarah ilmu.
Dalam waktu singkat tersebut, Newton menemukan teorema binomial umum,
elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warna, dan hukum
gravitasi universal. Lagrange memuji bahwa Newtonlah jenius terbesar yang
pernah hidup dan yang paling mujur, karena hanya sekali sistem semesta dapat
dikembangkan.
Sama seperti banyak ilmuwan sebayanya, Newton adalah seorang pemeluk
agama yang saleh dan dikatakan telah memberikan waktu yang sama banyaknya
untuk memepelajari Injil dan untuk matematika. Ia meninggal sebagai seorang
terhormat pada usia 85 dan dimakamkan dengan kebesaran bangsanya di
Westminster Abbey.
9
e. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Bernhard Riemann menerima pendidikan dini dari ayahnya, seorang pendeta
Protestan Jerman. Pada waktu ia memasuki perguruan tinggi tahun 1846,
maksudnya adalah mempelajari ilmu agama dan ilmu bahasa-bahasa. Beruntung
untuk matematika, ia memilih Universitas Gottingen, yang telah dan selama 100
tahun berikutnya tetap merupakan pusat matematika dunia. Di sana ia kena
pengaruh W. E. Weber, seorang fisikawan kelas satu, dan Karl F. Gauss,
matematikawan terbesar saat itu. Seseorang tidak perlu menginginkan guru yang
lebih baik. Pada tahun 1851 ia menerima Ph. D-nya di bawah Gauss, setelah itu
ia tinggal di Gottingen untuk mengajar. Ia meninggal karena tbc 15 tahun
kemudian.
Hidupnya singkat, hanya 39 tahun. Ia tidak mempunyai waktu untuk
menghasilkan karya matematika sebanyak yang dihasilkan Cauchy atau Euler.
Tetapi karyanya mengagumkan untuk kualitas dan kedalamannya. Makalah
matematisnya menetapkan arah baru dalam teori fungsi kompleks memprakarsai
studi mendalam dari apa yang sekarang ini disebut topologi, dan dalam geometri
memulai perkembangan yang memuncak 50 tahun kemudian dalam teori
relativitas Einstein.
Kita asosiasikan Riemann dengan bab ini, karena walaupun Newton dan
Leibniz keduanya mempunyai suatu versi tentang integral dan mengetahui
Teorema Dasar dari kalkulus integral, Riemannlah yang memberi kita definisi
modern tentang integral tentu. Untuk menghormatinya, disebut integral
Riemann.
10
f. Archimedes (287 – 212 Sebelum Masehi)
“Berikan saya tempat untuk berdiri, dan akan saya gerakkan bumi”
Archimedes dari Syracuse, tanpa diragukan, merupakan matematikawan
terbesar dari zaman purbakala. Keturunan Yunani, ia menerima pendidikan di
Alexandria, pusat pengajaran dan kebudayaan Yunani. Pada masanya sendiri ia
tekenal sebagai pencipta dan seorang ilmuwan praktis. Ia menciptakan sekrup
Archimedes untuk memompa air, ia menyatakan sifat-sifat katrol dan
pengungkit, ia membangun sebuah model mekanis yang meniru gerakan bulan
dan planet-planet, dan – untuk memuaskan raja Syracuse – ia menemukan cara
untuk memutuskan apakah mahkota raja dibuat dari emas asli tanpa meleburnya
(prinsip daya apung Archimedes).
Penemuan-penemuan dan perkakas-perkakas praktis untuk Archimedes
hanyalah hiburan belaka; tulisan-tulisannya yang terbaik dan pikirannya yang
paling tajam dicurahkan ke bagian dari matematika yang sekarang dikenal
sebagai kalkulus integral. Dengan memakai metode (metode keletihan) dimana
ia menjumlahkan sejumlah besaran-besaran yang sangat kecil, ia mengemukakan
beberapa dari hasil-hasil itu dalam bab ini. Sumbanga-sumbangannya antara lain
adalah rumus luas lingkaran, luas dari potongan parabola, luas elips, volume dan
luas permukaan bola, dan volume kerucut dan benda-benda putar lain. Ia
dikatakan telah meminta kepada teman-temannya agar di atas batu nisannya
diletakkan sebuah bola yang berisi tabung berukir, ditulisi dengan hasil bagi
volume bola dan tabung tersebut.
g. Leonhard Euler (1707 - 1783)
11
Dapatkah anda bayangkan seseorang menulis tentang matematika setara
dengan 75 buah buku? Itulah sumbangan Leonhard Euler, tokoh dominan dari
matematika abad ke-18 dan pengarang matematika yang paling subur sepanjang
masa. Lahir dekat Basel, Swiss, ia belajar kepada orang sebangsanya Johann
Bernoulli dan telah menerbitkan makalah-makalah pada usia 18 tahun. Ia
menjabat di Universitas Basel, St. Petersburg Academy of Sciences. Pada waktu
ia meninggal, disebutkan bahwa semua matematikawan Eropa adalah
mahasiswanya.
Minat Euler terentang di semua matematika dan fisika. Kita telah
memilihnya sebagai wakil dari bab ini karena sumbangannya pada kalkulus
fungsi-fungsi transeden (yakni, bukan aljabar). Khususnya, ia memperkenalkan e
sebagai bilangan dasar untuk logaritma natural, memperlihatkan bahwa e dan
e2 adalah irasional, dan menemukan hubungan luar biasa eiπ=-1.
Kebutaan selama 17 tahun terakhir dari hidupnya nampaknya tidak
menghambat karyanya. Sebagian, disebabkan oleh daya ingatnya yang ajaib; ia
mengetahui dalam hati rumus-rumus trigonometri dan analisis, ditambah banyak
puisi dan seluruh Aeneid. Dikatakan bahwa ia telah mengerjakan suatu
perhitungan sampai 50 posisi desimal di dalam kepalanya.
Euler adalah seorang pecinta keluarga, yang seringkali menghabiskan waktu
sore harinya dengan membangun permainan-permainan ilmiah dan membaca
Injil untuk 13 putra-putrinya. Ia memang seorang manusia yang benar-benar
mengagumkan.
h. Johann Bernoulli (1667 - 1748)
12
“Kita telah melihat bagaimana mencari turunan-turunan dari besaranbesaran. Sekarang kita akan memperlihatkan secara berkebalikan bagaimana
integral-integral dari turunan-turunan dicari, yaitu besaran-besaran dari mana
turunan-turunan tersebut berasal.”
Johann Bernoulli mungkin yang paling terkenal dari sebuah keluarga
matematikawan yang produktif. Paling sedikit 8 orang matematikawan abad ke18 yang terkemuka mempunyai nama Swiss – Bernoulli, dan dikatakan masih
terdapat matematikawan aktif yang mempunyai nama ini. Tetapi, demikian
banyaknya bakat matematis dalam satu keluarga boleh jadi bukan merupakan
berkah yang tak terbagi, seperti yang akan kita lihat.
Johann dan saudaranya Jacques, setelah Newton dan Leibniz, merupakan
perintis-perintis yang terpenting dari kalkulus. Kedua bersaudara tersebut
bersaing dengan penuh semangat dan sering dengan sengit demi pengakuan,
walaupun mereka tetap berkomunikasi satu sama lain dan dengan Leibniz
tentang matematika. Johann akan menghaki hasil-hasil yang ditemukan oleh
saudaranya (atau oleh yang lain), dan Jacques akan memberikan reaksi yang
serupa. Usaha-usaha Leibniz untuk mendamaikan hanya makin melibatkannya
dalam percekcokan tersebut. Bahkan Daniel, putra Johann terbawa ke dalam
pertentangan itu dan terpaksa meninggalkan rumah pada waktu Leibniz
memenangkan hadiah setelah mengungguli Johann. Itu merupakan catatan yang
tidak membahagiakan untuk sebuah keluarga yang benar-benar mengagumkan.
Keluarga Bernoulli menangani semua jenis masalah dasar dalam kalkulus,
termasuk titik-titik balik, panjang kurva-kurva, deret tak terhingga, dan teknikteknik pengintegralan. Johann menulis buku ajar kalkulus yang pertama pada
tahun 1691 dan 1692, tetapi bagian tentang kalkulus integral tidak diterbitkan
sampai tahun 1742 dan tentang kalkulus diferensial sampai tahun 1924. Sebagai
13
gantinya, pada tahun 1696, Guillame F. A de l’Hopital, mahasiswa Johann,
menerbitkan naskah kalkulus yang pertama. Bentuknya diubah sedikit dari karya
gurunya. Mungkin pengaruh Johann paling baik dilihat pada mahasiswanya yang
lain dan yang lebih terkenal, Leonhard Euler.
i. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
“Matematika adalah ratu dari ilmu dan ilmu hitung (aritmetika) adalah
ratu dari matematika. Ia sering berkenan merendahkan diri menyumbang
kepada astronomi dan ilmu alam lainnya, tetapi dalam semua hubungan ia
berhak mendapat peringkat pertama.”
Gauss telah disebut matematikawan terbesar sejak Newton dan dikenal di
kalangan sebayanya sebagai Pangeran Matematikawan. Untunglah,
kejeniusannya dikenali di sekolah dasar. Satu cerita mengatakan pada usia 10
tahun ia mengacaukan gurunya dengan menjumlahkan bilangan-bilangan bulat 1
sampai 1000 hampir secara seketika (ia memakai suatu akal sederhana). Pada
usia 15 tahun, ia mulai menjamu gagasan tentang geometri non-Euclidis; pada
usia 18 tahun, ia menciptakan metode kuadrat terkecil; dan pada usia 19 tahun,
ia merampungkan suatu pertanyaan yang berusia 2000 tahun dengan
membangun sebuah poligon 17 sisi dengan memakai penggaris dan kompas.
Gauss menghabiskan hampir seluruh hidupnya di observatorium astronomi
di Gottingen, sebuah kota kecil di jantung Jerman. Di sana ia membangun suatu
tradisi matematis, yang segera membuat Gottingen dan universitasnya sebagai
pusat matematika dari dunia, suatu tradisi yang berakhir sampai Hitler
membubarkan ketenarannya, tetapi sebagian karena staff Yahudi.
Gauss menyumbang kepada banyak cabang matematika. Tesis doktornya
tahun 1799 memberikan bukti yang pertama dari Teorema Dasar Aljabar. Karya
14
klasiknya Disquisitiones Arithmeticae tahun 1801merupakan buku yang paling
berpengaruh tentang teori bilangan sepanjang masa. Dalam kalkulus, karyanya
yang menonjol pada permukaan melengkung termasuk Teorema Kedivergenan,
yang muncul dalam bab ini.
Seperti Newton, yang sangat dikaguminya, Gauss menerapkan matematika
pada masalah-masalah di dunia fisis, khususnya dalam sastronomi dan fisika.
Karyanya dalam kemagnetan, sekarang diakui dengan memberi
satuan gausssebagai suatu ukuran kekuatan medan.
3. Jenis-jenis Kalkulus
Penemuan kalkulus merupakan salah satu prestasi intelektual terbesar pada
tahun 1600-an. Secara kebetulan, kalkulus bukan digagas oleh satu orang, melainkan
dua orang pada waktu yang hampir bersamaan. Metode-metode kalkulus dari
Newton di Inggris dan Gottfried Leibniz (1646-1716) di Eropa Kontinental
sedemikian mirip hingga pertanyaan apakah Leibniz meminjam konsep-konsep
pentingnya dari Newton atau menemukan semua itu secara mandiri telah
menimbulkan kontroversi yang panjang dan pahit dalam sejarah matematika
(Wahyudin, 2013:173).
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara
terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang,
baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus
secara terpisah. Leibniz memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini
sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions"
(Sutedjo, tt:2).
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus
integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Berikut penjabaran
masing-masing:
a. Kalkulus differensial
Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan
aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik (Sutedjo; tt:3). Notasi dari
turunan dari suatu fungsi f adalah f ’. Menurut Leibniz, notasi turunan dari suatu
df
.
dx
Contoh, diketahui f ( x )=x 2 , maka f ' ( x )=2 x .
fungsi f adalah
15
b. Kalkulus integral
Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan
aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral tak tentu dan integral
tentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan
(integration). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear
yang saling berhubungan (Sutedjo, tt:5).
4. Aplikasi Kalkulus
Pembelajaran kalkulus sangatlah penting oleh karena penggunaannya yang
luas. Kalkulus yang dipelajari di sekolah pada umumnya adalah kalkulus diferensial
dan integral yang didahului dengan pengenalan teori bilangan, fungsi sampai dengan
limit fungsi. Proses pembelajaran pada umumnya dilakukan secara manual, tetapi
sebagai alat bantu dapat digunakan program computer seperti Maple atau Dirive.
Penggunaan computer dapat membantu, misalnya untuk menggambar fungsi
polynomial derajat lebih dari dua atau juga untuk gambar bangun ruang yang lebih
rumit yang ingin dicari volumenya dengan integral ganda. Terlebih untuk masa
sekarang
dimana siswa pada umumnya sudah tidak asing dengan computer,
pemanfaatan computer untuk pembelajaran seperti kalkukus misalnya, akan sangat
menarik minat dan memudahkan mereka mengerti konsep-konsep yang ingin
diajarkan guru kepada mereka.
Pengembangan dan penggunaan kalkulus telah mencapai efek yang sangat
luas pada hampir semua bidang kehidupan modern. Ia melandasi hampir dari semua
ilmu pengetahuan, khususnya fisika.
Hampir semua perkembangan modern seperti bangunan teknik, penerbangan,
dan teknologi membuat mendasar penggunaan kalkulus. Formula aljabar sekarang
banyak digunakan untuk ilmu balistik, pemanasan dan pendinginan, dan ilmu-ilmu
pengetahuan praktis yang bekerja melalui penggunaan kalkulus.
Tetapi ternyata, kalkulus juga digunakan pada ilmu biologi, ekonomi juga
astronomi.
Bidang fisika
Yang paling mendasar, kecepatan dan percepatan, selain itu bentuk modern statistic
mechanic Bolzman dan mekanika kuantum Schrodinger.
16
Bidang biologi
Model pertumbuhan natural untuk populasi biologi menyatakan bahwa tingkat
pertumbuhan adalah proporsional denga populasi.
Bidang ekonomi
Elastisitas permintaan, koefisien elastisitas, biaya rata-rata minimum, biaya marginal,
penerimaan maksimum dari perpajakan, model-model persediaan, dll
Bidang astronomi
Tenaga yang diradiasi oleh system bumi-matahari.
5. Filosofi Simbol Integral
Berbagai metode telah ditemukan untuk menentukan garis-garis singgung
terhadap kelas-kelas tertentu dari kurva-kurva, tetapi sejauh itu belum seorang pun
mengemukakan prosedur-prosedur serupa untuk menyelesaikan permasalahan
inversnya, yaitu, menurunkan persamaan kurva itu sendiri berdasarkan sifat-sifat dari
garis singgung-garis singgungnya. Leibniz merumuskan permasalahn invers garis
singgung tersebut sebagai berikut: “Mencari lokus fungsi itu, asalkan lokus yang
menentukan subtangennya diketahui.” (Wahyudin, 2013:173)
Leibniz, melihat garis singgung sebagai rasio namun menyatakannya sebagai
rasio antara ordinat dan abscissas. Dia terus berpendapat bahwa integral itu
sebenarnya adalah jumlah ordinat untuk interval yang sangat kecil dalam absis, yang
pada dasarnya, jumlah-jumlah persegi panjang yang tak terbatas. Dari definisi ini,
hubungan terbalik menjadi jelas dan Leibniz dengan cepat menyadari potensi untuk
membentuk keseluruhan sistem matematika baru. Dimana Newton menghindari
penggunaan infinitesimals, Leibniz menjadikannya landasan dari notasi dan
kalkulusnya.
Boyer (2011:385) mengungkapkan bahwa pada tahun 1676, Leibniz telah
sampai pada kesimpulan yang sama dengan hal yang Newton telah capai beberapa
tahun sebelumnya, yaitu bahwa ia memiliki metode yang sangat penting karena
generalitasnya. Entah fungsi itu rasional atau irasional, aljabar atau transendental
(kata yang diciptakan Leibniz), operasinya untuk menemukan jumlah dan perbedaan
selalu bisa diterapkan. Oleh karena itu, Leibniz berkewajiban untuk mengembangkan
bahasa dan notasi yang sesuai untuk topik baru.
17
Leibniz selalu mendapat apresiasi yang tinggi akan pentingnya notasi yang
bagus sebagai bantuan untuk berpikir, dan pilihannya dalam kasus kalkulus sangat
membahagiakan. Setelah beberapa trial and error, ia tetap pada dx dan dy untuk
perbedaan terkecil (perbedaan) pada x dan y, walaupun awalnya ia telah
menggunakan x/d dan y/d untuk menunjukkan penurunan derajat. Awalnya, dia
hanya menulis omn. y (atau "all y's") untuk jumlah ordinat di bawah kurva, tapi
kemudian ia menggunakan simbol
∫y
dan kemudian
∫ y dx
, tanda integral
berasal dari huruf s yang diperbesar untuk penjumlahan.
C. Penutup
Demikianlah makalah yang dapat kami presentasikan, semoga dengan materi ini
dapat memberikan input bagi kita untuk memahami lebih lanjut tentang sejarah dan
filsafat kalkulus.
18
D. Daftar Pustaka
Boyer, Carl B. dan Merzbach, Uta C. 2011. A History of Mathematics. Edisi Ketiga.
New Jersey: John Wiley & Sons Inc.
Gunawan, Hendra. http://bermatematika.net//2017/4/25/teorema-dasar-kalkulus-i
Gunawan, Hendra. http://bermatematika.net//2017/4/28/teorema-dasar-kalkulus-i
Purcell, Edwid J dan Varberg, Dale. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1
Edisi 5. Jakarta: Erlangga
Sutedjo,
Harjanto.
Tt.
Kalkulus.
https://www.google.co.id/url?
sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKE
wjxjrbtoNvTAhWDvY8KHa9MCd8QFghHMAQ&url=http%3A%2F
%2Fsutedjo.staff.gunadarma.ac.id%2FDownloads%2Ffiles
%2F11751%2FKALKULUS%2BDIFFERENSIAL
%2BINTEGRAL.doc&usg=AFQjCNFyfIlyqykJefwtvJ6FQzdEtix3KQ&sig2=
RKBtSkMEHWvLMKowY31zQw diakses tanggal 6 Mei 2017.
Wahyudin. 2013. Hakikat, Sejarah, dan Filsafat Matematika. Bandung: Mandiri.
19
TEOREMA DASAR KALKULUS I
Ada dua Teorema Dasar Kalkulus, yang dinyatakan sebagai Teorema Dasar
Kalkulus I (TDK I) dan Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II). Kita akan membahas
TDK I terlebih dahulu. Secara kasar, TDK I menyatakan jika kita mengintegralkan
sebuah fungsi pada interval [a, t] lalu kita turunkan hasilnya terhadap t, maka kita akan
memperoleh fungsi semula.
Matematikawan pertama yang membuktikan TDK I adalah Isaac Barrow, tetapi bukti
TDK I yang terdapat di buku-buku Kalkulus moderen yang dipakai sebagai rujukan
matakuliah matematika tahun pertama di perguruan tinggi dikembangkan dari bukti
versi Isaac Newton. Pendekatan yang dipilih oleh Newton, sebagaimana dapat kita
terka, adalah melalui konsep fisis kecepatan sesaat dan jarak tempuh (pada gerak lurus
dengan kecepatan positif).
Diketahui y = y(t) kontinu untuk t ≥ 0, tinjau luas daerah di bawah kurva y = y(t) untuk 0
≤ t ≤ x, sebutlah L = L(x). Dalam benak Newton, y(t) menyatakan kecepatan benda pada
saat t, dan L(x) merupakan jarak yang ditempuh benda pada interval waktu [0, x]. Nah,
diketahui y(t), kita peroleh L(x) melalui pengintegralan. Sebaliknya, Newton
menjelaskan bagaimana kita dapat memperoleh y kembali dari L melalui penurunan.
Persisnya, ia meninjau rasio perubahan L terhadap x, sebagai berikut. Selain
menggambar daerah di bawah kurva y = y(t), Newton juga menggambar daerah di
bawah kurva y = 1 (konstan) sebagai pembanding (lihat gambar).
20
Dengan mengasumsikan x berubah terhadap t, pada akhirnya L juga merupakan fungsi
dari t. Dari gambar, tampak bahwa rasio laju pertambahan L dan laju
pertambahan x dari t = x ke t = x+ h kurang lebih sama dengan luas persegi panjang
dengan alas h dan tinggi AC (= y) dibagi luas persegi panjang dengan alas h dan
tinggi AB (= 1), yang tentu saja sama dengan y. Dengan membayangkan h menuju 0,
Newton sampai pada kesimpulan bahwa
Dalam notasi Leibniz (yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz) untuk
turunan dan integral yang kita kenal sekarang, Newton telah membuktikan bahwa
Jika x(t) = t, maka dx/dt = 1, sehingga persamaan di atas menjadi
yang tidak lain merupakan pernyataan TDK I. (Integral di ruas kiri dikenal sebagai antiturunan dari y. Nah, TDK I menyatakan bahwa turunan dari integral tersebut sama
dengan y.)
Catatan: Artikel ini disadur dari buku Menuju Tak Terhingga, Penerbit ITB, 2016.
TEOREMA DASAR KALKULUS II
21
Dari Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dapat diperoleh Teorema Dasar Kalkulus
II (TDK II) yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F [yang
memenuhi F’(x) = f(x)] pada interval [a, b], maka
Buktinya adalah sebagai berikut. TDK I telah memberi tahu kita bahwa
merupakan anti-turunan dari f(x) pada [a, b], yakni G’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a, b].
Akibatnya, kita mempunyai G’(x) − F’(x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Menurut Teorema
Nilai Rata-Rata (untuk turunan), hal tersebut hanya mungkin terjadi apabila G(x) − F(x)
= C (konstan) untuk setiap x ∈ [a, b]. Jadi, kita peroleh
untuk setiap x ∈ [a, b]. Dengan mensubstitusikan x = a, kita mempunyai F(a) + C = 0
(karena integral pada [a, a] mestilah sama dengan 0). Jadi C = −F(a), dan kesamaan di
atas menjadi
untuk setiap x ∈ [a, b]. Khususnya, untuk x = b, kita peroleh
Catatan: Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan menyatakan jika f kontinu pada [a, b]
dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f’(c)
= [f(b) –f(a)]/(b – a).
TEOREMA ROLLE DAN TEOREMA NILAI RATA-RATA UNTUK TURUNAN
22
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval [a, b] dan mempunyai turunan pada
interval (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c)
= 0. Fakta ini dibuktikan pertama kali untuk fungsi polinom oleh Michel Rolle (16521719), karena itu diberi nama Teorema Rolle.
Bukti Teorema Rolle untuk fungsi f sembarang diberikan oleh Augustin-Louis
Cauchy (1789-1857). Argumentasinya kira-kira sebagai berikut. Ingat jika f kontinu
pada interval [a, b] yang kompak, maka menurut sifat kekontinuan f akan mencapai
nilai maksimum M di suatu titik c1 ∈ [a, b] dan f juga mencapai nilai minimum m di
suatu titik c2 ∈ [a, b]. Jika c1 dan c2 adalah titik-titik ujung interval [a, b], hipotesis f(a)
= f(b) memaksa m = M, dan dalam hal ini f mestilah konstan pada [a, b]. Akibatnya f‘(c)
= 0 untuk setiap c ∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka c1 di (a, b)
dan f mencapai nilai maksimum lokal di c1. Ini hanya dapat terjadi ketika f‘(c1) = 0. Hal
serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b]. Jadi, dalam kasus manapun, mestilah
terdapat c di (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Sebagai ilustrasi, lihat gambar di
bawah ini.
Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai Teorema Nilai Rata-Rata,
yang berbunyi: Jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka
terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = [f(b) – f(a)]/(b – a). Nilai [f(b) – f(a)]/
(b – a) disebut nilai rata-rata fpada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis
singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata
menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien
garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Secara fisis, jikay = f(t)
menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t,
makaf‘(t) menyatakan kecepatan sesaat partikel pada saat t dan [f(b) – f(a)]/(b – a)
menyatakankecepatan rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema
Nilai Rata-Rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rataratanya pada suatu saat c di (a, b).
23
Teorema Nilai Rata-Rata dapat dibuktikan dengan meninjau fungsi F yang didefinisikan
pada interval [a, b] sebagai F(x) = f(x) – hx dengan h = [f(b) – f(a)]/(b – a). Dalam hal
ini, F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Periksa juga bahwa F(a)
= F(b), sehingga F memenuhi hipotesis Teorema Rolle. Karena itu, mestilah terdapat
suatu titik c ∈ (a, b) sedemikian sehinggaF‘(c) = 0. Karena F’(c) = f’(c) – h, kita
peroleh f’(c) = h = [f(b) – f(a)]/(b – a).
Sebagaimana telah diungkap dalam artikel sebelumnya, Teorema Nilai Rata-Rata
diperlukan dalam pembuktian Teorema Dasar Kalkulus II.
24
A. Pendahuluan
Kalkulus merupakan cabang ilmu matematika yang digunakan di setiap cabang
sains fisik, sains computer, statistik, tekhnik, ekonomi, kedokteran dan bidang-bidang
lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkukus. Massa
dari sebuah benda dengan massa jenis yang diketahui, momen inersia dari suatu objek
dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk
mencari total aliran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik. Contoh historis lainnya
adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, yang dinyatakan sebagai laju
perubahan yang merujuk pada turunan.
Dengan demikian pembahasan mengenai kalkulus sangatlah menarik untuk kita
kaji bersama dalam satu tulisan ilmiah. Oleh sebab itu, melalui makalah ini kita akan
mencoba mengupas satu persatu tokoh-tokoh yang ikut memberikan kontribusi terhadap
kemajuan ilmu kalkulus hingga dapat kita nikmati sekarang, jenis-jenis kalkulus,
aplikasi kalkulus dan menelusuri filosofi dibalik symbol integral.
B. Pembahasan
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung)
adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak
terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah
ilmu mengenai bentuk dan aljabar; adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk
memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam
bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik, serta dapat memecahkan berbagai masalah
yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya
yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum
dinamakan analisis matematika.
1
Archimedes
(287-212 B.C)
Luas, Volume bola
Volume benda
putar
Aryabhata
Ibn alBhaskara II
499
Haytam
Abad 12
...
konsep
Abad 12
Bentuk awal
kecil tak
turunan
berhingga
Leibniz
1669
mengemb
Pascal
Rene Descartes
James
angkan
1637
Gregory
(1623-1662)
notasi1668
Geometri Analitik
Pascal
notasi
kalkulus
dy/dx, dls
Bernoulli
1691 Menulis
buku ajar I
tentang
Kalkulus
Euler 1728
Bilanga 'e'
Maria
Agnesi Buku
ajar Kalkulus
Luas
Guido Fubini
menyempurnaka
n Karya
Lebesgue
Lagrange
(1736-1813)
menulis
mecanique
Analitique
H. Lebesgue
1902
memajukan
teori integral
ganda integral
Lebesgue
2
Syarif al-Din alTusi
Abad 12
Turunan Fungsi
Kubik
Madhava
abad 14
J. Kepler 1609
Hukum Kepler
tentang gerak
planet
Isaac Borrow
(1630-1677)
pendekatan
proses
pendiferensiala
n
John Willis
(1616-1703)
irisan kerucut
sebagai fungsi
derajat 2
Seki Kova
awal Abad 17
Gauss 1799
Buktikan tetili
tentang limit
Cauchy 1821
Gagagas teliti
tentang limit
Karl Weirstrass
(1815-1897)
J. Gibbs
1880
mengembangka
n perlambangan
& aljabar vector
Sonya
Kovalevsky
(1850-1891)
Mengembangka
n Persamaan
Diferensial
Reimann 1854
Integral Riemann
Kalkulus adalah hasil perjuangan intelektual yang berlangsung selama dua ribu
lima ratus tahun. Berikut diberikan uraian lengkap tokok-tokoh yang berperan dalam
ilmu kalkulus :
1. Sejarah Perkembangan Kalkulus
a. Zaman Kuno (… - 212 SM)
Pada periode zaman kuno beberapa pemikiran tentang integral kalkulus telah
muncul, namun tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume
dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus bisa ditelusuri kembali pada
Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) dimana orang mesir menghitung volume dari
Frustum pyramid. Selanjutnya, Archimides mengembangkan pemikiran ini lebih
jauh dan menciptakan heuristic yang sekarang dikenal sebagai kalkulus integral.
Dengan memakai metode (metode keletihan) ia menjumlahkan sejumlah besaranbesaran yang sangat kecil. Sumbangan yang lain diantaranya adalah rumus luas luar
lingkaran, luas potong parabola, luas ellips, volume dan luas permukaan bola dan
volume kerucut serta benda putar lainnya.
b. Zaman Pertengahan (499 SM – Abad 16)
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, mengungkapkan
konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 SM dan mendeskripsikan masalah
astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian
mengantar Bhaskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal
turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan
bentuk awal dari “Teorema Rolle”. Sekitar tahun 1000 M, matematikawan Irak “Ibn
al-Haytham (Alhazen)”, menjadi orang pertama yang menggunakan rumus
perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari
hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.
Pada abad ke-12 seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari
fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14,
Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan
matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang ditulis dalam
teks Yuktibhasa. J. Kepler sebagai matematikawan astronom memperoleh data yang
cermat mengenai orbit-orbit dari planet-plenet sehingga melahirkan tiga hukum yang
berhubungan dengan gerakan planet. (1) Planet-plenet bergerak dalam lintasan yang
3
berupa ellips-ellips dengan matahari pada satu fokusnya, (2) Garis dari matahari ke
planet membentuk luas sama dalam waktu yang sama, (3) Kuadrat periode kitaran
sebanding dengan pangkat tiga dari garis tengah utama.
c. Zaman Modern (Abad 17 – Sekarang)
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke -17 di
Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kova. Di Eropa, beberapa matematikawan
seperti John Willis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. Pada
tahun 1637, Rene Descartes menerbitkan buku “La Geometri” yaitu penggabungan
dari geometri tua dengan aljabar yang saat ini kita kenal dengan geometri analitik
atau geometri koordinat. B. Pascal (1623-1662) sebagai perintis utama dalam
pengkajian teori probabilitas, koefisien bilangan yang terdiri dari koefisien-koefisien
binomial yang dinamakan dengan segitiga pascal. Hal ini mempengaruhi G. Leibniz
dalam menemukan kalkulus. Sejak Januari 1668 M selam 18 bulan, Issac Newton
menekuni masalah-masalah matematika dan dalam waktu singkat, dia menemukan
teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori
warna-warna dan hokum gravitasi universal. Leibniz mengembangkan notasi-notasi
kalkulus, seperti “dy/dx” dan “”.
Di Eropa perkembangan kalkulus lebih cepat daripada di Inggris sebagian
besar disebabkan oleh keunggulan perlambangannya. Adalah Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai “Kalkulus”,
sedangkan Newton menamakannya “The Science of Fluxions”. James Gregory
membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668 M.
Benoulli menulis buku ajar yang pertama pada tahun 1691-1692 namun bagian
tentang kalkulus integral dan diferensial tidak diterbitkan sampai akhirnya pada
tahun 1696 L’Hospital menerbitkannya.
Pada tahun 1728 L.Euler memperkenalkan e sebagai bilangan dasar untuk
logaritma asli dan memperlihatkan bahwa e dan e2 adalah tak rasional. Euler juga
menemukan hubungan luar biasa ei = -1. Maria Agnesi adalah wanita pertama yang
juga mengembangkan kalkulus. Pada usia nya yang ke-20 yaitu pada tahun 1738M ia
memulai karyanya yang terpenting yaitu buku ajar kalkulus luas. Nama Agnesi pun
menguasai suatu tempat dalam kepustakaan matematika melalui satu sumbangan
kecilnya, yaitu pembahasan tentang kurva yang kemudian dikenal sebagai versiere
4
(bahasa latin : vertere) yang artinya membalik. J. Lagrange pada usianya yang ke-19
tahun memulai karyanya yaitu menulis buku “Mecanique Analitigue” walaupun tidak
diterbitkan dan idenya yang sangat berharga dalam kalkulus ini adalah metode
pengali Lagrange.
Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17 namun dasar-dasarnya
tetap kacau sampai akhirnya Cauchy dan rekan-rekan sebayanya (Gauss, Abel dan
Bolzano) mengadakan ketelitian buku. Cauchy pun menyumbangkan pemikiran
pemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas pada definisi limit. Dalam kalkulus
Gauss pun memberikan sumbangan yang berarti yaitu pada pembahasan permukaan
bidang lengkung termasuk Teorema Kedivergenan. Meskipun pada kenyataannya
Cauchy yang merupakan orang yang memberikan definisi kekonvergenan dan
membuktikan sejumlah kedivergenan. Sampai kemudian, Karl Weierstrass
mengembangkan teori lengkap tentang deret fungsi dan menyusun legitimasi operasioperasi yang demikian sebagai pengintegralan dan pengintegralan suku demi suku.
Kemudian pada tahun 1854 G. Riemann memberi definisi modern tentang integral
tentu.
Untuk menghormatinya disebut integral Riemann. Setelah Agnesi, maka
nama wanita selanjutnya yang ikut mewarnai perkembangan kalkulus adalah Sonya
Kovalevsky. Dia menyumbang kepada teori diferensial. Sekitar tahun 1880 Gibbs
mengembangkan perlambangan dan aljabar-aljabar vector. Pada tahun 1961 gagasangagasan itu disajikan dalam sebuah buku oleh mahasiswanya, E. B Wilson yang
berjudul “Vector Analysis”. Karya L. Lebesgue juga memajukan teori integral ganda.
Dalam tesisnya pada tahun 1902, ia mampu memberikan persyaratan sederhana yang
membolehkan integral ganda ditulis sebagai integral berulang (iterasi). Hasil-hasil
yang belakangan disempurnakan oleh rekan sebayanya Guido Fubini.
2. Beberapa Ilmuan Kalkulus
a. René Descartes (1596 - 1650)
5
René Descartes dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang besar. Ia
juga penemu biologi modern, ahli fisika, dan matematikawan.
Descartes lahir di Touraine, Perancis, putra dari seorang ahli hukum, yang
lumayan kekayaannya. Ayahnya mengirimnya ke sekolah Jesuit pada umur 8
tahun. Karena kesehatannya yang kurang baik, Descartes diijinkan
menghabiskan waktu paginya belajar di tempat tidur, suatu kebiasaan yang
dipandangnya berguna sehingga dilanjutkannya sepanjang hidupnya. Pada umur
20 tahun, ia mendapat gelar sarjana hukum (dapat anda bayangkan seorang
sarjana hukum yang juga ahli matematik!) dan selanjutnya menjalani kehidupan
seorang tuan yang terhormat, menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal
beberapa waktu di Paris dan kemudian di Belanda. Ia pergi ke Swedia diundang
untuk mengajari Ratu Christina, di mana ia meninggal karena pneumonia pada
tahun 1650.
Descartes menyelidiki suatu metode berpikir yang umum yang akan
memberikan pertalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmuilmu. Penyelidikan itu mengantarnya ke matematika, yang ia simpulkan sebagai
sarana pengembangan kebenaran di segala bidang. Karya matematikanya yang
paling berpengaruh adalah La Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di
dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri klasik dan dengan
aljabar dasar. Bersama dengan orang Perancis lainnya, Pierre Fermat (1601 –
1665), ia diberi pujian dengan penggabungan tersebut yang saat ini kita sebut
geometri analitik, atau geometri koordinat. Pengembangan lengkap kalkulus
tidak mungkin tercapai tanpa dia.
b. Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)
6
Augustin-Louis Cauchy lahir di Paris dan dididik di Ecole Polytechnique.
Karena kesehatan yang buruk ia dinasehatkan untuk memusatkan pikiran pada
matematika. Selama karirnya, ia menjabat mahaguru di Ecole Polytechnique,
Sorbonne, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya
cemerlang dan mengejutkan dalam jumlahnya. Produktivitasnya sangat hebat
sehingga Academy Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam
majalah ilmiah untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.
Cauchy seorang pemeluk Katolik saleh dan pengikut Raja yang patuh.
Dengan menolak bersumpah setia kepada pemerintah perancis yang berkuasa
dalam tahun 1830, ia mengasingkan diri ke Italia untuk beberapa tahun dan
mengajar di beberapa institut keagamaan di Paris sampai sumpah kesetiaan
dihapuskan setelah revolusi 1848.
Cauchy mempunyai perhatian luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu
naskah dalam ilmu persajakan bahasa Yahudi. Keimanannya dalam beragama
mengantarnya mensponsori kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dan
narapidana.
Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, dasar-dasarnya tetap
kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekan sebayanya (Gauss, Abel, dan
Bolzano) mengadakan ketelitian baku. Kepada Cauchy kita berhutang pemikiran
pemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas dari konsep limit. Semua buku
ajar modern mengikuti paling sedikit dalam intinya, penjelasan kalkulus yang
terinci oleh Cauchy.
c. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
7
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah seorang jenius universal, seorang pakar
dalam hukum, agama, filsafat, kesusasteraan, politik, geologi, sejarah, dan
matematika. Lahir di Leipzig, Jerman, ia mendaftar di Universitas Leipzig dan
menggondol doktor dari Universitas Altdorf. Seperti Descartes, yang karyanya ia
pelajari, Leibniz mencari suatu metode universal dengan mana ia dapat
memperoleh pengetahuan dan memahami kesatuan sifat-sifat dasarnya. Salah
satu keinginan besarnya adalah mendamaikan keyakinan Katolik dan Protestan.
Bersama dengan Isaac Newton, ia membagi penghargaan untuk penemuan
kalkulus. Masalah prioritas menyebabkan pertentangan yang tidak hentihentinya antara pengikut dua orang besar ini, satu Inggris, yang lainnya Jerman.
Sejarah menjadi hakim bahwa Newtonlah yang pertama mempunyai pemikiran
utama (1665-1666), tetapi bahwa Leibniz menemukan mereka secara tersendiri
selama tahun 1673-1676. Dengan kebesarannya itupun, Leibniz tidak menerima
kehormatan seperti yang dicurahkan pada Newton. Ia meninggal sebagai orang
kesepian, pemakamannya hanya dihadiri seorang pelayat yaitu sekretarisnya.
Mungkin Leibnizlah pencipta lambang-lambang matematis terbesar.
Kepadanya kita berhutang nama-nama kalkulus diferensial dan kalkulus integral,
sama halnya seperti lambang-lambang baku dy/dx dan ∫ untuk turunan dan
integral. Istilah fungsi dan penggunaan secara konsisten dari = untuk kesamaan
merupakan sumbangan-sumbangan lainnya. Kalkulus berkembang jauh lebih
cepat di daratan Eropa daripada di Inggris, sebagian besar disebabkan oleh
keunggulan perlambangannya.
d. Isaac Newton (1642 - 1727)
8
“Saya tidak tahu bagaimana saya tampak pada dunia; tetapi bagi saya sendiri saya
nampaknya hanyalah seperti seorang anak laki-laki yang bermain-main di pantai, dan
mengalihkan diri sendiri sekarang dan kemudian menemukan koral yang lebih halus atau
kerang yang lebih indah daripada yang biasa, sementara samudera besar dari
kebenaran semuanya terbentang di hadapan saya tak terungkapkan.”
Lahir pada keluarga petani Inggris pada hari Natal, 1642, Isaac Newton
sebagai seorang pemuda remaja memperlihatkan sedikit harapan akademis. Ia
bosan dengan sekolah, lebih senang membuat layangan, roda air, jam dan
perkakas lain. Seorang paman pertama kali mengenali bakat luar biasa anak
tesebut; ia membujuk ibu Newton untuk memberangkatkan Newton ke Trinity
College dari Universitas Cambridge. Di sana ia kena pengaruh Isaac Barrow,
seorang pakar ilmu agama dan mahaguru matematika. Barrow melihat di dalam
Newton kemampuan yang lebih besar daripada dirinya dan menyerahkan
kemahaguruannya kepada Newton pada waktu umur Newton hanya 26.
Sebelum itu, sesaat setelah diwisuda dari Trinity, Newton pergi pulang
untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-65. Selama 18 bulan, sejak Januari
1665, ia menekuni masalah-masalah matematika dan ilmu yang terkemuka.
Tidak terdapat kejeniusan yang dapat dibandingkan penuh dalam sejarah ilmu.
Dalam waktu singkat tersebut, Newton menemukan teorema binomial umum,
elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warna, dan hukum
gravitasi universal. Lagrange memuji bahwa Newtonlah jenius terbesar yang
pernah hidup dan yang paling mujur, karena hanya sekali sistem semesta dapat
dikembangkan.
Sama seperti banyak ilmuwan sebayanya, Newton adalah seorang pemeluk
agama yang saleh dan dikatakan telah memberikan waktu yang sama banyaknya
untuk memepelajari Injil dan untuk matematika. Ia meninggal sebagai seorang
terhormat pada usia 85 dan dimakamkan dengan kebesaran bangsanya di
Westminster Abbey.
9
e. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Bernhard Riemann menerima pendidikan dini dari ayahnya, seorang pendeta
Protestan Jerman. Pada waktu ia memasuki perguruan tinggi tahun 1846,
maksudnya adalah mempelajari ilmu agama dan ilmu bahasa-bahasa. Beruntung
untuk matematika, ia memilih Universitas Gottingen, yang telah dan selama 100
tahun berikutnya tetap merupakan pusat matematika dunia. Di sana ia kena
pengaruh W. E. Weber, seorang fisikawan kelas satu, dan Karl F. Gauss,
matematikawan terbesar saat itu. Seseorang tidak perlu menginginkan guru yang
lebih baik. Pada tahun 1851 ia menerima Ph. D-nya di bawah Gauss, setelah itu
ia tinggal di Gottingen untuk mengajar. Ia meninggal karena tbc 15 tahun
kemudian.
Hidupnya singkat, hanya 39 tahun. Ia tidak mempunyai waktu untuk
menghasilkan karya matematika sebanyak yang dihasilkan Cauchy atau Euler.
Tetapi karyanya mengagumkan untuk kualitas dan kedalamannya. Makalah
matematisnya menetapkan arah baru dalam teori fungsi kompleks memprakarsai
studi mendalam dari apa yang sekarang ini disebut topologi, dan dalam geometri
memulai perkembangan yang memuncak 50 tahun kemudian dalam teori
relativitas Einstein.
Kita asosiasikan Riemann dengan bab ini, karena walaupun Newton dan
Leibniz keduanya mempunyai suatu versi tentang integral dan mengetahui
Teorema Dasar dari kalkulus integral, Riemannlah yang memberi kita definisi
modern tentang integral tentu. Untuk menghormatinya, disebut integral
Riemann.
10
f. Archimedes (287 – 212 Sebelum Masehi)
“Berikan saya tempat untuk berdiri, dan akan saya gerakkan bumi”
Archimedes dari Syracuse, tanpa diragukan, merupakan matematikawan
terbesar dari zaman purbakala. Keturunan Yunani, ia menerima pendidikan di
Alexandria, pusat pengajaran dan kebudayaan Yunani. Pada masanya sendiri ia
tekenal sebagai pencipta dan seorang ilmuwan praktis. Ia menciptakan sekrup
Archimedes untuk memompa air, ia menyatakan sifat-sifat katrol dan
pengungkit, ia membangun sebuah model mekanis yang meniru gerakan bulan
dan planet-planet, dan – untuk memuaskan raja Syracuse – ia menemukan cara
untuk memutuskan apakah mahkota raja dibuat dari emas asli tanpa meleburnya
(prinsip daya apung Archimedes).
Penemuan-penemuan dan perkakas-perkakas praktis untuk Archimedes
hanyalah hiburan belaka; tulisan-tulisannya yang terbaik dan pikirannya yang
paling tajam dicurahkan ke bagian dari matematika yang sekarang dikenal
sebagai kalkulus integral. Dengan memakai metode (metode keletihan) dimana
ia menjumlahkan sejumlah besaran-besaran yang sangat kecil, ia mengemukakan
beberapa dari hasil-hasil itu dalam bab ini. Sumbanga-sumbangannya antara lain
adalah rumus luas lingkaran, luas dari potongan parabola, luas elips, volume dan
luas permukaan bola, dan volume kerucut dan benda-benda putar lain. Ia
dikatakan telah meminta kepada teman-temannya agar di atas batu nisannya
diletakkan sebuah bola yang berisi tabung berukir, ditulisi dengan hasil bagi
volume bola dan tabung tersebut.
g. Leonhard Euler (1707 - 1783)
11
Dapatkah anda bayangkan seseorang menulis tentang matematika setara
dengan 75 buah buku? Itulah sumbangan Leonhard Euler, tokoh dominan dari
matematika abad ke-18 dan pengarang matematika yang paling subur sepanjang
masa. Lahir dekat Basel, Swiss, ia belajar kepada orang sebangsanya Johann
Bernoulli dan telah menerbitkan makalah-makalah pada usia 18 tahun. Ia
menjabat di Universitas Basel, St. Petersburg Academy of Sciences. Pada waktu
ia meninggal, disebutkan bahwa semua matematikawan Eropa adalah
mahasiswanya.
Minat Euler terentang di semua matematika dan fisika. Kita telah
memilihnya sebagai wakil dari bab ini karena sumbangannya pada kalkulus
fungsi-fungsi transeden (yakni, bukan aljabar). Khususnya, ia memperkenalkan e
sebagai bilangan dasar untuk logaritma natural, memperlihatkan bahwa e dan
e2 adalah irasional, dan menemukan hubungan luar biasa eiπ=-1.
Kebutaan selama 17 tahun terakhir dari hidupnya nampaknya tidak
menghambat karyanya. Sebagian, disebabkan oleh daya ingatnya yang ajaib; ia
mengetahui dalam hati rumus-rumus trigonometri dan analisis, ditambah banyak
puisi dan seluruh Aeneid. Dikatakan bahwa ia telah mengerjakan suatu
perhitungan sampai 50 posisi desimal di dalam kepalanya.
Euler adalah seorang pecinta keluarga, yang seringkali menghabiskan waktu
sore harinya dengan membangun permainan-permainan ilmiah dan membaca
Injil untuk 13 putra-putrinya. Ia memang seorang manusia yang benar-benar
mengagumkan.
h. Johann Bernoulli (1667 - 1748)
12
“Kita telah melihat bagaimana mencari turunan-turunan dari besaranbesaran. Sekarang kita akan memperlihatkan secara berkebalikan bagaimana
integral-integral dari turunan-turunan dicari, yaitu besaran-besaran dari mana
turunan-turunan tersebut berasal.”
Johann Bernoulli mungkin yang paling terkenal dari sebuah keluarga
matematikawan yang produktif. Paling sedikit 8 orang matematikawan abad ke18 yang terkemuka mempunyai nama Swiss – Bernoulli, dan dikatakan masih
terdapat matematikawan aktif yang mempunyai nama ini. Tetapi, demikian
banyaknya bakat matematis dalam satu keluarga boleh jadi bukan merupakan
berkah yang tak terbagi, seperti yang akan kita lihat.
Johann dan saudaranya Jacques, setelah Newton dan Leibniz, merupakan
perintis-perintis yang terpenting dari kalkulus. Kedua bersaudara tersebut
bersaing dengan penuh semangat dan sering dengan sengit demi pengakuan,
walaupun mereka tetap berkomunikasi satu sama lain dan dengan Leibniz
tentang matematika. Johann akan menghaki hasil-hasil yang ditemukan oleh
saudaranya (atau oleh yang lain), dan Jacques akan memberikan reaksi yang
serupa. Usaha-usaha Leibniz untuk mendamaikan hanya makin melibatkannya
dalam percekcokan tersebut. Bahkan Daniel, putra Johann terbawa ke dalam
pertentangan itu dan terpaksa meninggalkan rumah pada waktu Leibniz
memenangkan hadiah setelah mengungguli Johann. Itu merupakan catatan yang
tidak membahagiakan untuk sebuah keluarga yang benar-benar mengagumkan.
Keluarga Bernoulli menangani semua jenis masalah dasar dalam kalkulus,
termasuk titik-titik balik, panjang kurva-kurva, deret tak terhingga, dan teknikteknik pengintegralan. Johann menulis buku ajar kalkulus yang pertama pada
tahun 1691 dan 1692, tetapi bagian tentang kalkulus integral tidak diterbitkan
sampai tahun 1742 dan tentang kalkulus diferensial sampai tahun 1924. Sebagai
13
gantinya, pada tahun 1696, Guillame F. A de l’Hopital, mahasiswa Johann,
menerbitkan naskah kalkulus yang pertama. Bentuknya diubah sedikit dari karya
gurunya. Mungkin pengaruh Johann paling baik dilihat pada mahasiswanya yang
lain dan yang lebih terkenal, Leonhard Euler.
i. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
“Matematika adalah ratu dari ilmu dan ilmu hitung (aritmetika) adalah
ratu dari matematika. Ia sering berkenan merendahkan diri menyumbang
kepada astronomi dan ilmu alam lainnya, tetapi dalam semua hubungan ia
berhak mendapat peringkat pertama.”
Gauss telah disebut matematikawan terbesar sejak Newton dan dikenal di
kalangan sebayanya sebagai Pangeran Matematikawan. Untunglah,
kejeniusannya dikenali di sekolah dasar. Satu cerita mengatakan pada usia 10
tahun ia mengacaukan gurunya dengan menjumlahkan bilangan-bilangan bulat 1
sampai 1000 hampir secara seketika (ia memakai suatu akal sederhana). Pada
usia 15 tahun, ia mulai menjamu gagasan tentang geometri non-Euclidis; pada
usia 18 tahun, ia menciptakan metode kuadrat terkecil; dan pada usia 19 tahun,
ia merampungkan suatu pertanyaan yang berusia 2000 tahun dengan
membangun sebuah poligon 17 sisi dengan memakai penggaris dan kompas.
Gauss menghabiskan hampir seluruh hidupnya di observatorium astronomi
di Gottingen, sebuah kota kecil di jantung Jerman. Di sana ia membangun suatu
tradisi matematis, yang segera membuat Gottingen dan universitasnya sebagai
pusat matematika dari dunia, suatu tradisi yang berakhir sampai Hitler
membubarkan ketenarannya, tetapi sebagian karena staff Yahudi.
Gauss menyumbang kepada banyak cabang matematika. Tesis doktornya
tahun 1799 memberikan bukti yang pertama dari Teorema Dasar Aljabar. Karya
14
klasiknya Disquisitiones Arithmeticae tahun 1801merupakan buku yang paling
berpengaruh tentang teori bilangan sepanjang masa. Dalam kalkulus, karyanya
yang menonjol pada permukaan melengkung termasuk Teorema Kedivergenan,
yang muncul dalam bab ini.
Seperti Newton, yang sangat dikaguminya, Gauss menerapkan matematika
pada masalah-masalah di dunia fisis, khususnya dalam sastronomi dan fisika.
Karyanya dalam kemagnetan, sekarang diakui dengan memberi
satuan gausssebagai suatu ukuran kekuatan medan.
3. Jenis-jenis Kalkulus
Penemuan kalkulus merupakan salah satu prestasi intelektual terbesar pada
tahun 1600-an. Secara kebetulan, kalkulus bukan digagas oleh satu orang, melainkan
dua orang pada waktu yang hampir bersamaan. Metode-metode kalkulus dari
Newton di Inggris dan Gottfried Leibniz (1646-1716) di Eropa Kontinental
sedemikian mirip hingga pertanyaan apakah Leibniz meminjam konsep-konsep
pentingnya dari Newton atau menemukan semua itu secara mandiri telah
menimbulkan kontroversi yang panjang dan pahit dalam sejarah matematika
(Wahyudin, 2013:173).
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara
terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang,
baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus
secara terpisah. Leibniz memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini
sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions"
(Sutedjo, tt:2).
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus
integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Berikut penjabaran
masing-masing:
a. Kalkulus differensial
Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan
aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik (Sutedjo; tt:3). Notasi dari
turunan dari suatu fungsi f adalah f ’. Menurut Leibniz, notasi turunan dari suatu
df
.
dx
Contoh, diketahui f ( x )=x 2 , maka f ' ( x )=2 x .
fungsi f adalah
15
b. Kalkulus integral
Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan
aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral tak tentu dan integral
tentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan
(integration). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear
yang saling berhubungan (Sutedjo, tt:5).
4. Aplikasi Kalkulus
Pembelajaran kalkulus sangatlah penting oleh karena penggunaannya yang
luas. Kalkulus yang dipelajari di sekolah pada umumnya adalah kalkulus diferensial
dan integral yang didahului dengan pengenalan teori bilangan, fungsi sampai dengan
limit fungsi. Proses pembelajaran pada umumnya dilakukan secara manual, tetapi
sebagai alat bantu dapat digunakan program computer seperti Maple atau Dirive.
Penggunaan computer dapat membantu, misalnya untuk menggambar fungsi
polynomial derajat lebih dari dua atau juga untuk gambar bangun ruang yang lebih
rumit yang ingin dicari volumenya dengan integral ganda. Terlebih untuk masa
sekarang
dimana siswa pada umumnya sudah tidak asing dengan computer,
pemanfaatan computer untuk pembelajaran seperti kalkukus misalnya, akan sangat
menarik minat dan memudahkan mereka mengerti konsep-konsep yang ingin
diajarkan guru kepada mereka.
Pengembangan dan penggunaan kalkulus telah mencapai efek yang sangat
luas pada hampir semua bidang kehidupan modern. Ia melandasi hampir dari semua
ilmu pengetahuan, khususnya fisika.
Hampir semua perkembangan modern seperti bangunan teknik, penerbangan,
dan teknologi membuat mendasar penggunaan kalkulus. Formula aljabar sekarang
banyak digunakan untuk ilmu balistik, pemanasan dan pendinginan, dan ilmu-ilmu
pengetahuan praktis yang bekerja melalui penggunaan kalkulus.
Tetapi ternyata, kalkulus juga digunakan pada ilmu biologi, ekonomi juga
astronomi.
Bidang fisika
Yang paling mendasar, kecepatan dan percepatan, selain itu bentuk modern statistic
mechanic Bolzman dan mekanika kuantum Schrodinger.
16
Bidang biologi
Model pertumbuhan natural untuk populasi biologi menyatakan bahwa tingkat
pertumbuhan adalah proporsional denga populasi.
Bidang ekonomi
Elastisitas permintaan, koefisien elastisitas, biaya rata-rata minimum, biaya marginal,
penerimaan maksimum dari perpajakan, model-model persediaan, dll
Bidang astronomi
Tenaga yang diradiasi oleh system bumi-matahari.
5. Filosofi Simbol Integral
Berbagai metode telah ditemukan untuk menentukan garis-garis singgung
terhadap kelas-kelas tertentu dari kurva-kurva, tetapi sejauh itu belum seorang pun
mengemukakan prosedur-prosedur serupa untuk menyelesaikan permasalahan
inversnya, yaitu, menurunkan persamaan kurva itu sendiri berdasarkan sifat-sifat dari
garis singgung-garis singgungnya. Leibniz merumuskan permasalahn invers garis
singgung tersebut sebagai berikut: “Mencari lokus fungsi itu, asalkan lokus yang
menentukan subtangennya diketahui.” (Wahyudin, 2013:173)
Leibniz, melihat garis singgung sebagai rasio namun menyatakannya sebagai
rasio antara ordinat dan abscissas. Dia terus berpendapat bahwa integral itu
sebenarnya adalah jumlah ordinat untuk interval yang sangat kecil dalam absis, yang
pada dasarnya, jumlah-jumlah persegi panjang yang tak terbatas. Dari definisi ini,
hubungan terbalik menjadi jelas dan Leibniz dengan cepat menyadari potensi untuk
membentuk keseluruhan sistem matematika baru. Dimana Newton menghindari
penggunaan infinitesimals, Leibniz menjadikannya landasan dari notasi dan
kalkulusnya.
Boyer (2011:385) mengungkapkan bahwa pada tahun 1676, Leibniz telah
sampai pada kesimpulan yang sama dengan hal yang Newton telah capai beberapa
tahun sebelumnya, yaitu bahwa ia memiliki metode yang sangat penting karena
generalitasnya. Entah fungsi itu rasional atau irasional, aljabar atau transendental
(kata yang diciptakan Leibniz), operasinya untuk menemukan jumlah dan perbedaan
selalu bisa diterapkan. Oleh karena itu, Leibniz berkewajiban untuk mengembangkan
bahasa dan notasi yang sesuai untuk topik baru.
17
Leibniz selalu mendapat apresiasi yang tinggi akan pentingnya notasi yang
bagus sebagai bantuan untuk berpikir, dan pilihannya dalam kasus kalkulus sangat
membahagiakan. Setelah beberapa trial and error, ia tetap pada dx dan dy untuk
perbedaan terkecil (perbedaan) pada x dan y, walaupun awalnya ia telah
menggunakan x/d dan y/d untuk menunjukkan penurunan derajat. Awalnya, dia
hanya menulis omn. y (atau "all y's") untuk jumlah ordinat di bawah kurva, tapi
kemudian ia menggunakan simbol
∫y
dan kemudian
∫ y dx
, tanda integral
berasal dari huruf s yang diperbesar untuk penjumlahan.
C. Penutup
Demikianlah makalah yang dapat kami presentasikan, semoga dengan materi ini
dapat memberikan input bagi kita untuk memahami lebih lanjut tentang sejarah dan
filsafat kalkulus.
18
D. Daftar Pustaka
Boyer, Carl B. dan Merzbach, Uta C. 2011. A History of Mathematics. Edisi Ketiga.
New Jersey: John Wiley & Sons Inc.
Gunawan, Hendra. http://bermatematika.net//2017/4/25/teorema-dasar-kalkulus-i
Gunawan, Hendra. http://bermatematika.net//2017/4/28/teorema-dasar-kalkulus-i
Purcell, Edwid J dan Varberg, Dale. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1
Edisi 5. Jakarta: Erlangga
Sutedjo,
Harjanto.
Tt.
Kalkulus.
https://www.google.co.id/url?
sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKE
wjxjrbtoNvTAhWDvY8KHa9MCd8QFghHMAQ&url=http%3A%2F
%2Fsutedjo.staff.gunadarma.ac.id%2FDownloads%2Ffiles
%2F11751%2FKALKULUS%2BDIFFERENSIAL
%2BINTEGRAL.doc&usg=AFQjCNFyfIlyqykJefwtvJ6FQzdEtix3KQ&sig2=
RKBtSkMEHWvLMKowY31zQw diakses tanggal 6 Mei 2017.
Wahyudin. 2013. Hakikat, Sejarah, dan Filsafat Matematika. Bandung: Mandiri.
19
TEOREMA DASAR KALKULUS I
Ada dua Teorema Dasar Kalkulus, yang dinyatakan sebagai Teorema Dasar
Kalkulus I (TDK I) dan Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II). Kita akan membahas
TDK I terlebih dahulu. Secara kasar, TDK I menyatakan jika kita mengintegralkan
sebuah fungsi pada interval [a, t] lalu kita turunkan hasilnya terhadap t, maka kita akan
memperoleh fungsi semula.
Matematikawan pertama yang membuktikan TDK I adalah Isaac Barrow, tetapi bukti
TDK I yang terdapat di buku-buku Kalkulus moderen yang dipakai sebagai rujukan
matakuliah matematika tahun pertama di perguruan tinggi dikembangkan dari bukti
versi Isaac Newton. Pendekatan yang dipilih oleh Newton, sebagaimana dapat kita
terka, adalah melalui konsep fisis kecepatan sesaat dan jarak tempuh (pada gerak lurus
dengan kecepatan positif).
Diketahui y = y(t) kontinu untuk t ≥ 0, tinjau luas daerah di bawah kurva y = y(t) untuk 0
≤ t ≤ x, sebutlah L = L(x). Dalam benak Newton, y(t) menyatakan kecepatan benda pada
saat t, dan L(x) merupakan jarak yang ditempuh benda pada interval waktu [0, x]. Nah,
diketahui y(t), kita peroleh L(x) melalui pengintegralan. Sebaliknya, Newton
menjelaskan bagaimana kita dapat memperoleh y kembali dari L melalui penurunan.
Persisnya, ia meninjau rasio perubahan L terhadap x, sebagai berikut. Selain
menggambar daerah di bawah kurva y = y(t), Newton juga menggambar daerah di
bawah kurva y = 1 (konstan) sebagai pembanding (lihat gambar).
20
Dengan mengasumsikan x berubah terhadap t, pada akhirnya L juga merupakan fungsi
dari t. Dari gambar, tampak bahwa rasio laju pertambahan L dan laju
pertambahan x dari t = x ke t = x+ h kurang lebih sama dengan luas persegi panjang
dengan alas h dan tinggi AC (= y) dibagi luas persegi panjang dengan alas h dan
tinggi AB (= 1), yang tentu saja sama dengan y. Dengan membayangkan h menuju 0,
Newton sampai pada kesimpulan bahwa
Dalam notasi Leibniz (yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz) untuk
turunan dan integral yang kita kenal sekarang, Newton telah membuktikan bahwa
Jika x(t) = t, maka dx/dt = 1, sehingga persamaan di atas menjadi
yang tidak lain merupakan pernyataan TDK I. (Integral di ruas kiri dikenal sebagai antiturunan dari y. Nah, TDK I menyatakan bahwa turunan dari integral tersebut sama
dengan y.)
Catatan: Artikel ini disadur dari buku Menuju Tak Terhingga, Penerbit ITB, 2016.
TEOREMA DASAR KALKULUS II
21
Dari Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dapat diperoleh Teorema Dasar Kalkulus
II (TDK II) yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F [yang
memenuhi F’(x) = f(x)] pada interval [a, b], maka
Buktinya adalah sebagai berikut. TDK I telah memberi tahu kita bahwa
merupakan anti-turunan dari f(x) pada [a, b], yakni G’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a, b].
Akibatnya, kita mempunyai G’(x) − F’(x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Menurut Teorema
Nilai Rata-Rata (untuk turunan), hal tersebut hanya mungkin terjadi apabila G(x) − F(x)
= C (konstan) untuk setiap x ∈ [a, b]. Jadi, kita peroleh
untuk setiap x ∈ [a, b]. Dengan mensubstitusikan x = a, kita mempunyai F(a) + C = 0
(karena integral pada [a, a] mestilah sama dengan 0). Jadi C = −F(a), dan kesamaan di
atas menjadi
untuk setiap x ∈ [a, b]. Khususnya, untuk x = b, kita peroleh
Catatan: Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan menyatakan jika f kontinu pada [a, b]
dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f’(c)
= [f(b) –f(a)]/(b – a).
TEOREMA ROLLE DAN TEOREMA NILAI RATA-RATA UNTUK TURUNAN
22
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval [a, b] dan mempunyai turunan pada
interval (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c)
= 0. Fakta ini dibuktikan pertama kali untuk fungsi polinom oleh Michel Rolle (16521719), karena itu diberi nama Teorema Rolle.
Bukti Teorema Rolle untuk fungsi f sembarang diberikan oleh Augustin-Louis
Cauchy (1789-1857). Argumentasinya kira-kira sebagai berikut. Ingat jika f kontinu
pada interval [a, b] yang kompak, maka menurut sifat kekontinuan f akan mencapai
nilai maksimum M di suatu titik c1 ∈ [a, b] dan f juga mencapai nilai minimum m di
suatu titik c2 ∈ [a, b]. Jika c1 dan c2 adalah titik-titik ujung interval [a, b], hipotesis f(a)
= f(b) memaksa m = M, dan dalam hal ini f mestilah konstan pada [a, b]. Akibatnya f‘(c)
= 0 untuk setiap c ∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka c1 di (a, b)
dan f mencapai nilai maksimum lokal di c1. Ini hanya dapat terjadi ketika f‘(c1) = 0. Hal
serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b]. Jadi, dalam kasus manapun, mestilah
terdapat c di (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Sebagai ilustrasi, lihat gambar di
bawah ini.
Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai Teorema Nilai Rata-Rata,
yang berbunyi: Jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka
terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = [f(b) – f(a)]/(b – a). Nilai [f(b) – f(a)]/
(b – a) disebut nilai rata-rata fpada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis
singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata
menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien
garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Secara fisis, jikay = f(t)
menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t,
makaf‘(t) menyatakan kecepatan sesaat partikel pada saat t dan [f(b) – f(a)]/(b – a)
menyatakankecepatan rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema
Nilai Rata-Rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rataratanya pada suatu saat c di (a, b).
23
Teorema Nilai Rata-Rata dapat dibuktikan dengan meninjau fungsi F yang didefinisikan
pada interval [a, b] sebagai F(x) = f(x) – hx dengan h = [f(b) – f(a)]/(b – a). Dalam hal
ini, F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Periksa juga bahwa F(a)
= F(b), sehingga F memenuhi hipotesis Teorema Rolle. Karena itu, mestilah terdapat
suatu titik c ∈ (a, b) sedemikian sehinggaF‘(c) = 0. Karena F’(c) = f’(c) – h, kita
peroleh f’(c) = h = [f(b) – f(a)]/(b – a).
Sebagaimana telah diungkap dalam artikel sebelumnya, Teorema Nilai Rata-Rata
diperlukan dalam pembuktian Teorema Dasar Kalkulus II.
24