Syamsul Bahri Teori Pengoptimuman
KATA PENGANTAR
Mata kuliah Teori Pengoptimuman merupakan salah satu mata kuliah pilihan bagi mahasiswa Program Studi Matematika Universitas Mataram yang disajikan pada semester 5 dengan bobot 3 SKS. Dengan melihat obyek dan bobot dari mata kulian ini, materi-materi yang disajikan dipilih sedemikian hingga mahasiswa yang telah lulus mata kuliah ini memiliki sejumlah kemampuan dasar yang berkaitan dengan teori dasar yang berkaitan dengan metode pengoptimuman dan penerapannya.
Buku ini dikemas dalam enam bab. Bab I berisi tentang apa dan bagaimana terkait dengan teori pengoptimuman, dilengkapi dengan landasan matematika yang berisi teori-teori yang mendukung dalam teknik pengoptimuman. Bab II tentang teknik-teknik pengoptimuman tanpa menggunakan konsep kalkulus. Bab III mengupas tentang tehnik pengoptimuman untuk kasus optimasi tanpa kendala. Bab IV membahas tentang tentang tehnik pengoptimuman untuk kasus optimasi yang berkendala. Bab V membahas tentang topik khusus yang berkaitan dengan program geometrik dan pada Bab VI membahas tentang topik program dinamik.
Buku ini disajikan dengan bahasa sederhana disertai dengan pembahasan contoh-contoh yang terkait dengan topik yang diuraikan. Pada setiap babnya disediakan beberapa soal latihan. Mahasiswa diharapkan mempelajari dengan baik dan cermat setiap metoda dan cara yang dilakukan dalam pemecahan soal-soal pada contoh yang diberikan dan mengerjakan semua latihan yang ada.
Akhirnya, kami menyampaikan terima kasih kepada Dekan FMIPA Universtas Mataram yang memberikan kesempatan kepada kami untuk menyusun buku ini. Kemudian sebagai penyusun kami menyadari kemungkinan adanya kekeliruan atau kesalahan pada buku ini, dengan hati terbuka kami menerima segala kritikan dan saran demi perbaikan buku ini.
Penulis
DAFTAR ISI Kata Pengantar
15
2
2
4
5
7
9
11
14
15
16
1
18
21
23
24
24
30
33
38
40
40
1
4.2. Klasifikasi Permasalahan Optimasi Berkendala
Bab 1. Pendahuluan
Bab 2. Optimasi Tanpa Kalkulus
1.1. Pendahuluan
1.2. Landasan Matematika
1.2.1. Norma
1.2.2. Invers Matriks
1.2.3. Karakteristik Nilai Eigen
1.2.4. Fungsi dan Diferensial
1.2.5. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks
1.3. Kondisi Optimal untuk Masalah Optimasi Tidak Berkendala
1.4. Latihan
2.1. Ketaksamaan Rata-Rata Aritmatika dan Geometri
4.1. Kendala
2.2. Optimasi Menggunakan Ketaksamaan AM-GM
2.3. Ketaksamaan Cauchy
2.4. Hasil Kali Dalam untuk Matriks Bujur Sangkar
2.5. Latihan
Bab 3 Optimasi Tanpa Kendala
2.1. Metode Steepest-Descent
2.2. Metode Newton
2.3. Metode Gauss-Newton
2.4. Latihan
Bab 4. Optimasi Berkendala
47
4.2.1 Program Linear (Linear Programming)
47
4.2.2 Program Kuadratik (Quadratic Programming)
49
4.2.3 Program Konveks (Convex Programming)
49
4.2.4 Bentuk Umum Permasalahan Optimasi Berkendala
50
4.3. Metode Transformasi
51
4.4. Pengganda Lagrange (Lagrange Multiplier)
56
4.4.1 Pengganda Lagrange untuk Permasalahan Kendala Persamaan
56
4.4.2 Kasus Khusus : Fungsi Kuadratik dengan Kendala Linear
58
4.4.3 Metode Lagrange untuk Kendala Pertidaksamaan
58
4.5. Teorema Karush-Kuhn-Tucker
60 4.6 . Latihan
62
64 Bab 5. Program Geometrik
64
5.1 Pendahuluan
64
5.2 Posinomial
65
5.3 Program Geometri Tanpa Kendala
65
5.3.1 Tingkat Kesulitan (degree of difficulty)
67
5.3.2 Syarat Cukup untuk Solusi PG
5.4 Solusi Program Geometri Menggunakan Ketaksamaan Aritmatik-
72 Geometrik
5.5 Relasi Primal-Dual dan Syarat Cukup untuk Kasus Tanpa Kendala
73
5.6 Permasalahan Optimasi Berkendala
76
5.7 Penyelesaian Permasalahan Program Geometrik Berkendala
76
5.8 Latihan
78 Bab 6. Program Dinamik
79
79
6.1 Pendahuluan
80
6.2 Definisi Program Dinamik
80
6.3 Sifat atau Karakteristik Program Dinamis
81
6.4 Multi Tahapan Proses Pengambilan Keputusan
6.5 Konsep Suboptimalisasi dan Prinsip Optimalitas dalam Permasalahan
83 Program Dinamik
85
6.6 Metode Kalkulus untuk Penyelesaian Program Dinamik
6.7 Jenis-jenis Pendekatan Program Dinamis
6.8 Latihan
Daftar Bacaan
91
94
1
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Pendahuluan
Teori optimasi merupakan salah satu subyek dalam matematika terapan, matematika komputasi, dan riset operasi yang memiliki ranah aplikasi yang cukup luas pada berbagai bidang seperti sains, enginering, ekonomi dan bisnis, keuangan, militer, dan sebagainya. Secara khusus, teori dan metode optimasi merupakan suatu alat untuk menentukan solusi optimal dari suatu permasalah nyata yang didefinisikan secara matematika menggunakan metode ilmiah dan alat-alat (teori atau metode) yang terkait dalam penentuan solusi optimal tersebut.
Penyelesaian permasalahaan optimasi merupakan suatu langkah ilmiah penentuan solusi optimal atau terbaik terhadap suatu permasalahan nyata yang terdiri atas serangkaian kegiatan yang meliputi penyusunan model matematika yang terkait dengan masalah yang dipecahkan. Model matematika ini berkaitan dengan proses pendefinisian variabel yang merepresentasikan permasalahan yang dihadapi, penentuan fungsi tujuan, dan fungsi kendala.
Secara umum, model optimasi diberikan oleh Persamaan (1.1.1) berikut ini.
f x x X f x (1.1.1) Min ( ) dengan , atau Min ( ) x
X f x
dengan x menyatakan variabel keputusan (decision variable), ( ) menyatakan fungsi n tujuan (objective function), dan
X menyatakan himpunan kendala (constrain set)
atau daerah feasibel (feasible region). Secara khusus, permasalahan optimasi dapat dibedakan atas dua tipe, yaitu optimasi tanpa kendala dan optimasi berkendala. Permasalahan optimasi tanpa kendala diberikan oleh Persamaan (1.1.2) berikut :
f x Min ( ) (1.1.2) x X
dan permasalahan optimasi tanpa berkendala diberikan oleh Persamaan (1.1.3) berikut :
2
f x Min ( ) x X dengan kendala : ( ) 0, C x i E , (1.1.3) i
C x ( ) 0, j j I .
dengan E dan I berturut-turut menyatakan himpunan indeks untuk kendala berupa persamaan (equality constraints) dan kendala berbentuk pertidaksamaan (inequality
constraints ).
1.2 Landasan Matematika
Pada sub bagian ini akan diuraikan beberapa konsep matematika yang menjadi dasar pengembangan teori dan metode pengoptimuman, seperti norma, matriks, fungsi, diferensial, himpunan dan fungsi konveks.
1.2.1 Norma
n n
Pada buku ini, notasi dan berturut-turut menyatakan ruang berdimensi n
n n
atas lapangan real dan lapangan kompleks. Untuk x atau menyatakan n-
x x x x x x i n tupel, , , , dengan atau ; 1, 2, , .
n i i
1 2 Definisi berikut akan memberikan pengertian tentang terminologi norma. n n x y
Definisi 1.1 Misalkan ,
dan sebarang. Fungsi : disebut norma, jika memenuhi pernyataan berikut ini : x x x
(i). 0, dan 0 jika dan hanya jika 0, (ii). x x ,
x y (iii). x y . n
x
Untuk ,
beberapa contoh fungsi norma yang sudah umum dikenal antara
lain :
x maks x
(1). Norma- l : , k
1 n k n l x x
(2). Norma- : , 1 1 k k
1 n 1/ 2 2
(3). Norma- l : , 2 k x x 2 k
1
3 Secara umum, untuk suatu bilangan bulat p didefinisikan Norma- l sebagai berikut: n p 1/ p p
(1.2.1)
x x k p k m n m n 1
Definisi 1.2. A B ,
Misalkan
dan sebarang. Fungsi : disebut norma matriks, jika memenuhi pernyataan berikut ini : A 0, dan A 0 jika dan hanya jika A 0,
(i).
A A
(ii). , (iii). A B A B .
Berkaitan dengan norma- l pada (1.2.1), norma- l untuk matriks adalah sebagai berikut p p :
Ax p A sup maks Ax (1.2.2) p p x p x 1 x p
Secara khusus, beberapa definisi norma yang sudah sering dan umum digunakan adalah (1). Norma maksimum atas vektor kolom: n
A maks a (1.2.3) 1 1 j n i 1 ij
(2). Norma maksimum atas vektor baris: n
A maks a (1.2.4) 1 1 i n j 1 ij
(3). Norma spektral: T 1/2
A A A maks (1.2.5) 2
Selanjutnya berdasarkan definisi norma tersebut di atas, didefinisikan konsep jarak sebagai berikut. n n
Definisi 1.3 Misalkan x y , ,
. Jarak antara titik x dan y pada ruang n n dinotasikan dengan d x y merupakan suatu fungsi d x y ( , ) :
( , ), yang
4 Berdasarkan definisi norma, berikut ini adalah karakteristik dari fungsi jarak. n
x y z Definisi 1.4 Misalkan , , . d x y d x y
(i). ( , ) dan ( , ) jika dan hanya jika x y , d x z d x y d y z
(ii). ( , ) ( , ) ( , ),
d x y d y x (iii). .
( , ) ( , )
Selanjutnya berikut akan diberikan beberapa terminologi konvergensi barisan n m n vektor pada dan barisan matriks pada ruang .
n Definisi 1.5 Misalkan x k , untuk setiap n bilangan asli. Barisan vektor k x dikatakan konvergen ke- , jika x
lim x x (1.2.6) n n m n
A m n A
Selanjutnya, misalkan , . Barisan matriks k , untuk setiap k dikatakan konvergen ke A, jika lim A A n n (1.2.7) n
Definisi 1.6 Barisan x
k dikatakan barisan Cauchy, jika untuk setiap
x x , untuk setiap n m N terdapat indeks N , . n m
sehingga n m N
Atau, untuk setiap berlaku , n m lim x x (1.2.8) , n m
1.2.2 Invers Matriks
Pada subbagian ini akan diuraikan beberapa teorema dasar yang berkaitan dengan invers dan invers yang diperumum (generalized inverse) dari matriks.
Teorema 1.7 [Sun dan Yuan, 2006:9] n n Misalkan . konsisten norma matriks dengan I dan
1 E sebarang. Jika
E maka
1 I E matriks nonsingular, dan
5
k
1(
I E ) E ,
(1.2.9)
k dan
1
1 I E . (1.2.10)
n n 1 E 1 Jika A adalah matriks nonsingular dan A B A 1 maka matrikas B
adalah nonsingular dan memenuhi
k
1 1
1 B I A B A ,(1.2.11)
k dan
1 A 1 B
. (1.2.12)
1
1 A B A
Teorema 1.8 [Sun dan Yuan, 2006:10] n n
1 Misalkan A B ,
A . Jika dan diasumsikan A mempunyai invers dengan
A B dan
1 maka B juga mempunyai invers dan 1
1
b (1.2.13)
1
1.2.3 Karakteristik Nilai Eigen
Pada subbab ini, akan diuraikan beberapa terminologi yang terkait dengan nilai eigen, khususnya yang terkait dengan matriks definit positif, matriks definit negatif, dan matriks simetrik indefinit. n n n
Definisi 1.9 Misalkan A suatu matriks dan x , x . Bilangan
disebut nilai eigen dari matriks A, jika memenuhi kesamaan berikut: Ax x (1.2.14)
Vektor x yang memenuhi Persamaan (1.2.14) disebut vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen .
Definisi 1.10 Radius spektral dari matriks A didefinisikan dengan n n ( ) A maks (1.2.15) 1 i n i
Misalkan matriks A dengan nilai–nilai eigen , , , . Vektor eigen n
1 2
yang berkorespondensi dengan nilai eigen yang berbeda dari matriks A adalah bebas linear. n n
n Definisi 1.11 Misalkan A adalah matriks simetrik dan v .
T
v Av (1)., untuk setiap v . Matriks A disebut definit positif jika T (2). v Av .
Matriks A disebut semidefinit positif jika T A v Av (3).
definit positif atau , untuk Matriks A disebut definit negatif jika setiap v . T (4).
A semidefinit negatif atau v Av .
Matriks A disebut semidefinit negatif jika (5). Matriks A disebut indefinit, jika A bukan semidefinit positif atau semidefinit negatif. n n
A
Misalkan adalah matriks simetrik. Beberapa karakteristik dari matiks A
adalah sebagai berikut : (1). Semua nilai eigen dari A adalah bilangan real. (2). Vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai-nilai eigen yang berbeda dari matriks A adalah ortogonal.
Berdasarkan Definisi 1.10, beberapa karakteristik yang terkait dengan matriks simetrik definit posifif, semidefinit positif, definit negatif dan semidefinit negatif. n n
Misalkan A adalah matriks simetrik.
(1). Matriks A adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks A adalah positif. (2). Matriks A adalah semidefinit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks A adalah non negatif. (3). Matriks A adalah definit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks A adalah negatif. (4). Matriks A adalah semidefinit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari
(5). Matriks A adalah indefinit jika dan hany jika nilai eigen dari matriks A ada yang positif dan sekaligus yang negatif.
1.2.4 Fungsi dan Diferensial
n x
Misalkan dan Sekitaran- (neighborhood) dari vektor 0.
x
didefinisikan dengan n
N ( ) x y | y x (1.2.16) n D x D .
Misalkan dan Titik x disebut titik interior dari D, jika terdapat
N x . Himpunan semua titik interior dari
sekitaran- dari x sedemikian hingga ( ) D
Int D Int D
himpunan D dinotasikan dengan ( ) . Oleh karenanya, ( ) D . Jika setiap
Int D
titik pada D adalah titik interior atau ( ) D , maka himpunan D adalah himpunan buka. n
Titik x D disebut titik akumulasi atau titik limit, jika 0,
N x ( ) ini berarti, terdapat subbarisan D . x pada D sehingga x . x
n n k k
Himpunan semua titik limit dari D disebut tutupan (closore) dari D, dinotasikan dengan
D D D
. Jelas bahwa D . Selanjutnya, jika D atau setiap titik limit pada D dimuat oleh D maka D adalah himpunan tutup. n Himpunan D disebut terbatas, jika terdapat bilangan real M sedemikian
n
hingga x M , untuk setiap x D . Selanjutnya, himpunan D dikatakan
himpunan kompak, jika D tutup dan terbatas. n n
Fungsi f : c ,
disebut kontinu di titik jika untuk setiap
terdapat sedemikian hingga jika x c maka ( ) f x f c ( ) . Dengan
x N c ( ) f x N ( ( )). f c
kata lain, untuk setiap , ( ) Jika fungsi f kontinu untuk setiap
titik pada D maka f dikatakan kontinu pada D. Fungsi kontinu : n
f dikatakan kontinu terdiferensial di titik
f x x
adadan kontinu, untuk setiap , 1, 2, , .
i j n
Matriks Hessian dari fungsi ,
f 2
, f didefinisikan sebagai matriks simetris berukuran
n n dengan elemen sebagai berikut 2 2 , ( ) ( ), 1 , i j i j f f x x i j n x x
(1.2.18) Atau 2 2 2 1 1 1 2 1
x
2 2 2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 1 2 ( ) n n n n n n f f f x x x x x x f f f f x x x x x x x f f f x x x x x x
Himpunan dan funsgi konveks merupakan dua terminologi yang cukup penting dalam kajian optimasi.
jika 2 i j
yang kontinu di n
, n
f f f f x x x x x x x
c jika
turunan fungsi f di titik c,
i f c x
ada dan kontinu, 1, 2, , . i n
Gradient fungsi f atau Matriks Jacobian untuk fungsi f di titik n
x didefinisikan dengan 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) T n
f dikatakan mempunyai turunan kedua
(1.2.17)
Jika f kontinu terdiferensial di setiap titik pada himpunan buka n
D
maka f disebut kontinu terdiferensial pada D dan dinotasikan dengan 1 ( ). f C D Secara umum, jika fungsi kontinu ' '' (p) ( ), dan ( ), ( ), , ( ) f x f x f x f x
ada dan kontinu untuk setiap titik pada himpunan D, maka dinotasikan dengan ( ). p
f C D
Fungsi kontinu terdifensial : n
1.2.5 Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks
1.2.5.1 Himpunan Konveks
n Definisi 1.12 Jika setiap x x , dan S berlaku
Misalkan S . [0,1]
1 2
x 1 1 x S (1.2.19) 2 maka himpunan S disebut himpunan konveks. n Secara umum, himpunan S disebut himpunan konveks, jika untuk setiap
x x x S
, , , berlaku 1 2 m m x S i i (1.2.20)
i m
1
i m dengan 1, 0, dan 1, 2, , . i i i 1 Secara geometri, Definisi 1.11 mengindikasikan bahwa jika x x , maka segmen S 1 2 x x
garis antara dan berada pada himpunan S, sebagaimana di ilustrasikan pada 1 2 Gambar 1 berikut:
x 1 x x 2 2 x 1 Himpunan Konveks
Himpunan Bukan Konveks Gambar 1. Ilustrasi himpunan konveks dan himpunan bukan konveks
Pada Gambar 1, himpunan yang pertama (bagian kiri) terlihat bahwa x dan x 1 2 serta semua titik pada ruas garis x x berada pada himpunan S, tetapi pada himpunan 1 2
x dan x
kedua (bagian kanan), berada pada himpunan S, tetapi ada bagian pada ruas 1 2
x x garis yang berada di luar himpunan S. 1 2
Beberapa karakteristik himpunan konveks adalah sebagai berikut : n
(a). S adalah himpunan konveks. S 1 2 S S x x | x S x , S (b). adalah himpunan konveks. 1 n 2 1 2 1 1 2 2
S
2) Jika adalah himpunan konveks maka
(a). Himpunan interior dari S, Int(S), adalah himpunan konveks.
(b). Tutupan (closure) dari himpunan S adalah himpunan konveks.
1.2.5.2 Fungsi Konveks
n
Definisi 1.13 Misalkan S dan S merupakan himpunan konveks, serta fungsi
n f S : . x x , dan setiap S 0,1 berlaku
Jika untuk setiap 1 2 f ( x (1 ) ) x f x ( ) (1 ) ( ), f x (1.2.21) 1 2 1 2 maka fungsi f disebut fungsi konveks pada S. x x berlaku S Selanjutnya, jika terdapat c sedemikian hingga untuk setiap , 1 2
1 2
f ( x (1 ) ) x f x ( ) (1 ) ( ) f x c x x , (1.2.22) 1 2
1
2 1 22
f maka fungsi disebut fungsi konveks secara seragam (uniformly) pada S. f
Jika fungsi pada S merupakan fungsi konveks (konveks seragam), maka invers
f merupakan fungsi konkaf /concave (konkaf seragam) pada S, f
dari fungsi yaitu
seperti yang di ilustrasikan pada Gambar 2.
(ii) (iii)
(i)
x
1 x x
2 x 1 x x 2 x x 1 1 x x x x 2 2 Gambar 2 Ilustrasi grafik (i) fungsi konveks, (ii) fungsi konkaf, dan (iii) bukan fungsikonveks dan konkaf Secara geometri, berdasarkan ilustrasi pada Gambar 2, fungsi konveks dapat diinterpretasikan sebagai suatu fungsi yang grafiknya berada di bawah ruas garis yang menghubungkan titik x f x , ( ) dan titik x , ( ) f x untuk setiap x x x , .
1 1 2 2 1 2
Sebaliknya, grafik fungsi konkaf berada di atas ruas garis yang menghubungkan titik x f x , ( ) dan titik x , ( ) f x untuk setiap x x x , .
1 1 2 2 n 1 2 f S :
Suatu fungsi
dikatakan fungsi konveks tegas (strictly convex)
pada S, jika f x y x f x f y f x x y S .
( ( )) ( ) ( ( ) ( )), ,
Selanjutnya teorema berikut akan memberikan hubungan antara fungsi konveks dengan matriks Hessian. n
Teorema 1.14 suatu himpunan konveks yang tidak kosong dan
Misalkan S
2 f f C S misalkan pula : S kontinu terdiferensial dua kali, ( ).
1) Fungsi f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika matriks Hessian yang berkaitan dengan fungsi f adalah matriks semidefinit positif untuk setiap titik di S.
2)
Fungsi f adalah fungsi konveks tegas, jika matriks Hessian yang berkaitan dengan
fungsi f adalah matriks definit positif untuk setiap titik di S. 3)Fungsi f konveks seragam jika dan hanya jika matriks Hessian yang berkaitan
dengan fungsi f adalah matriks definit positif seragam untuk setiap titik di S, yaitu terdapat konstanta m sehingga 2 T n 2m u u f (x) , u x S dan u
1.3 Kondisi Optimal untuk Masalah Optimasi Tidak Berkendala
Pada subbab ini, misalkan permasalahan optimasi tidak berkendala diberikan sebagai berikut: n min ( ), f x x (1.23)
Secara umum, berkaitan dengan permasalahan optimasi tidak berkendala terdapat dua tipe masalah pengoptimuman yiatu optimum lokal dan optimum global yang diberikan oleh definisi berikut ini.
Definisi 1.15 x disebut titik minimum lokal
Titik (local minimizer),, jika terdapat n
x sedemikian hingga ( ) f x f x ( ), x x x . Kemudian, Titik
dan
disebut titik minimum lokal tegas (strict local minimizer), jika terdapat
n
sedemikian hingga f x ( ) f x ( ), , x x x , dan x x .
Definisi 1.16 Titik x disebut titik minimum global n (global minimizer), jika f x f x x x
( ) ( ), disebut titik minimum global tegas (strict
. Kemudian, Titik
n
global minimizer ), jika ( ) f x f x ( ), , x dan x x .
Secara geometri, ilustrasi definisi minimum lokal, minimum lokal tegas dan minimum global dapat dilihat pada Gambar 3. Pada tataran aplikasi, kebanyakan algoritma yang diajukan digunakan untuk menentukan minimum lokal. Sedangkan untuk minimum global merupakan pekerjaan yang cukup sulit, kecuali untuk beberapa fungsi tertentu yang sudah dikenal karakteristiknya, seperti fungsi kuaratik atau fungsi polinomial pada umumnya.
Minimum Lokal Tegas Minimum Lokal Minimum Global
Gambar 3. Ilustrasi minimum lokal, minimum lokal tegas dan minimum global Salah satu konsep yang sangat penting dalam menemukan lokasi minimum lokal adalah arah descent (descent direction) yang didefinisikan sebagai berikut. n n
x
Definisi 1.17 Misalkan f : . Jika terdapat vektor
n terdiferensial di titik d sehingga
f x d ( ), 0, (1.24) maka d disebut arah descent dari fungsi f di titik x. Kondisi pada teorema berikut merupakan syarat perlu suatu fungsi f memiliki n
x
minimum lokal di titik .
- * Teorema 1.18 (Syarat Perlu untuk Turunan Pertama) n
x D Misalkan f : D
kontinu terdiferensial pada himpunan buka D. Jika adalah titik minimum lokal dari (1.23) maka berlaku
f x
0. (1.25) Teorema 1.19
(Syarat Perlu untuk Turunan Kedua) n n 2
- *
Misalkan himpunan buka, f : D f C D ( ) . Jika
D
diberika, dan 2 * * x D adalah titik minimum lokal dari (1.23) maka f x
dan
f x adalah matriks semidefinit positif.
Teorema 1.20
(Syarat Cukup untuk Turunan Kedua) n n 2 Misalkan himpunan buka, f : D f C D ( ) . Jika
D 2 diberika, dan * * * x D
f x dan f x semidefinit positif maka adalah titik minimum lokal tegas dari (1.23). * n *
Definisi 1.21 Titik x disebut titik stasioner (titik kritis) untuk fungsi terdiferensial
f, jika f x .
n
Teorema 1.22 Misalkan S suatu himpunan konveks tak kosong dan fungsi
- * *
- * f x f x , x S S . .
f S . Misalkan pula x S titik minimum lokal sedemikian hingga
:
(1). x S juga merupakan titik minimum global.
Jika f fungsi konveks maka *
x S
(2). merupakan satu-satunya titik minimumJika f fungsi konveks tegas maka global.
1.4 Latihan
1. Misalkan A adalah matriksnon singular berukuran n n . Buktikan bahwa 1
adalah fungsi konveks yang terdefinisi pada himpunan konveks . n
dan
2 2 1 2 1 | 1, 0 . D x x x x
Misalkan pula 1 2 . D D D Tunjukkan bahwa jika D
1
dan D
2
adalah himpunan konveks, tetapi himpunan D belum tentu himpunan konveks.
5. Misalkan ( ), 1,2, , i f x i m
D
S x Ax b x adalah himpunan konveks.
Tunjukkan bahwa fungsi 1 ( ) ( ) m i i i
g x f x
juga merupakan fungsi konveks pada D, dengan 0, 1, 2, , m i
i
dan 1 1. m i i
2 1 1 2 1 | 1, D x x x x
| ,
n
x Ax A
dengan 0, 1, 2, , i
.
2. Tunjukkan dengan induksi matematika bahwa himpunan n
S
adalah himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap 1 2 , , , n
x x x S
berlaku 1 n i i i
x S
i n
. Buktikan bahwa himpunan
dan 1 1. n i i
3. Misalkan , m n
A
dan m
b
4. Misalkan
BAB 2
OPTIMASI TANPA KALKULUS(OPTIMIZATION WITHOUT CALCULUS)
Pembahasan tentang tehnik atau metode optimasi, biasanya kita tidak terlepas dari syarat turunan pertama dan kedua dari suatu fungsi, sistem persamaan linier, operator nonlinier, ukuran jarak dan sebagainya. Bahkan beberapa mahasiswa atau kita pada umumnya sering kali menganggap bahwa optimasi merupakan suatu topik atau pokok bahasan yang penyelesaiannya bergantung pada aplikasi dari turunan dan kalkulus pada umumnya.
Pada bab ini, kita akan mendiskusikan optimasi tanpa menggunakan prinsip dan tehnik kalukulus, khususnya teori tentang diferensial. Pembahasan tehnik atau metode optimasi pada bab ini didasarkan pada ketaksamaan rata-rata Aritmatika-Geometri dan ketaksamaan Cauchy.
2.1 Ketaksamaan Rata-Rata Aritmatika dan Geometri
Sebelum kita membahas tentang ketaksamaan yang melibatkan hubungan antara rata-rata aritmatika dan rata-rata, berikut diberikan terminologi tentang rata-rata aritmatia dan geometri secara parsial. Definisi 2.1 Jika x x , , , x adalah bilangan real positif maka : 1 2 n
(1). x x x adalah
, , ,
Rata-rata aritmatika terhadap n data
1
2 n1 AM ( x x x ) , (2.1.1) 1 2 n
n (2). x x , , , x adalah Rata-rata geometri terhadap n data 1 2 n 1/ n
GM ( . . x x . ) x . (2.1.2)
1
2 nHubungan antara rata-rata aritmatika(AM) dan rata-rata geometri (GM) diberikan oleh Teorema berikut :
Teorema 2.2 Misal diberikan x x , , , x adalah bilangan positif. Hubungan antara
1 2 nrata-rata aritmatika(AM) dan rata-rata geometri (GM) diberikan oleh ketaksamaan
berikut : n 1/1
x x x x x x
( . . . ) ( ), (2.1.3) 1 2 n 1 2 n
n dengan tanda sama terpenuhi, jika x x x . 1 2 n
Ketaksamaan (2.1.3) dikenal dengan ketaksamaan rata-rata aritmatika dan
geometri (arithmetic mean-geometric mean) yang dikenal dengan AM-GM.
Teorema 2.3 Perumuman dari Ketaksamaan AM-GM
Misalkan x x , , , x adalah n bilangan positif dan misalkan pula a a , , , a adalah 1 2 n n 1 2 n bilangan-bilangan positif dengan sifat a
i
1. Perumuman dari ketaksamaan AM- i 1 GM adalah a a a 1 2 n
x x x a x a x a x , (2.1.4) 1 2 1 1 2 2 n n n dengan tanda sama dengan terpenuhi jika dan hanya jika x x x . 1 2 n
2.2 Optimasi Menggunakan Ketaksamaan AM-GM
Ilustrasi penggunaan AM-GM untuk penyelesaian permasalahan optimasi adalah sebagai berikut :
2.2.1 Contoh 1
12 18
x y
Tentukan nilai minimun dari fungsi f x y ( , ) xy , dengan dan merupakan
x y dua bilangan positif.
12 18 Perhatikan suku-suku pada fungsi f x y ( , ) xy . Jika ketiga suku pada fungsi
x y
12 18
f x y ( , ) xy
dikalikan maka diperoleh 216 . Berdasarkan ketaksamaan
x y
AM-GM berlaku :
1 12 18
xy 3
12 18
x y
xy
x y
3
1
3 1 12 18 216 xy
3 x y 12 18
18 xy (2.2.1)
x y
Ketaksamaan pada (2.2.1) berimplikasi bahwa nilai minimum fungsi 12 18
f x y ( , ) xy terjadi ketika x y
12
18 xy 6 (2.2.2)
x y
Kesamaan pada (2.2.2) memberikan x dan 2 y
3 sehingga diperoleh nilai minimum 12 18 untuk fungsi f x y ( , ) xy adalah 18.
x y
2.2.2 Contoh 2
f x y xy (72 3 x 4 ) y x y
Tentukan nilai maksimum dari fungsi ( , ) dengan dan merupakan dua bilangan positif.
f x y xy x y