Titik- titik
n
x x
x ,...,
,
2 1
pada interval
b a
, dan koefisien
n
c c
c ,...,
,
2 1
dipilih untuk meminimalkan galat sehingga diperoleh rumus hampiran
b a
n i
i i
x f
c dx
x f
1
3.1
Salah satu rumus khusus Gauss adalah Rumus Gauss-Legendre.
A. METODE GAUSS-LEGENDRE
Metode Gauss-Legendre digunakan untuk menemukan luas daerah dibawah kurva
1 1
,
x
x f
y . Pada metode trapesium telah dijelaskan
mengenai metode untuk mencari luas daerah dibawah kurva yang menggunakan dua fungsi pada titik ujung
1 ,
1
f dan
1 ,
1 f
. Metode trapesium menghasilkan galat yang cukup besar yaitu seluruh bagian yang
berada diantara kurva dan garis yang memotong titik seperti ditunjukan pada daerah terarsir Gambar 3.1.
Gambar 3.1
Pada metode Gauss-Legendre sebelum melakukan integrasi ditentukan terlebih dahulu garis lurus yang menghubungkan titik-titik sembarang pada
kurva dengan menetapkan titik-titik tersebut secara bebas. Jika menggunakan dua titik
1
x dan
2
x yang berada di dalam interval
1 ,
1
maka garis yang melalui dua titik
,
1 1
x f
x dan
2 2
, x
f x
memotong kurva dan luas daerah di bawah garis lebih mendekati luas daerah di bawah kurva sehingga galat
yang dihasilkan dengan metode Gauss-Legendre cukup kecil seperti ditunjukan pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2
Dalam metode Gauss-Legendre tidak lagi ditentukan titik-titik diskret yang berjarak sama seperti pada metode Newton-Cotes. Pada sub bab
selanjutnya akan dijelaskan mengenai pemilihan titik-titik tersebut untuk memperkecil kesalahan memperoleh nilai hampiran.
B. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Persamaan garis yang melalui dua titik ,
a f
a dan
b f
b ,
adalah
a b
a x
a f
b f
a f
y
3.2 atau
a b
a f
b f
a x
a f
y
3.3
dan luas daerah trapesium di bawah garis adalah
2 b
f a
f a
b I
3.4
Persamaan 3.4 dapat dinyatakan sebagai
2 2
1 1
x f
c x
f c
I
3.5
dimana
1
c dan
2
c adalah konstanta. Metode trapesium dapat menghasilkan hasil yang tepat ketika fungsi
yang diintegrasikan tersebut adalah suatu konstanta atau garis lurus. Dua persamaan yang sederhana ditunjukan pada kasus
1
y dan
x y
. Keduanya diilustrasikan pada Gambar 3.3.
Gambar 3.3. Metode Trapesium untuk 1
y
Gambar 3.4. Metode Trapesium untuk nilai
x y
Konstanta
1
c dan
2
c tersebut akan ditentukan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu yang dipaparkan sebagai berikut.
Untuk 1
x
f , persamaan 3.5 menjadi
2 1
2 2
1 c
c dx
a b
a b
3.6
dan untuk x
x f
persamaan 3.5 menjadi
2 2
2 1
2 2
a b
c a
b c
xdx
a b
a b
3.7
Selanjutnya mengevaluasi integral pada persamaan 3.6 menjadi
2 2
2 1
a b
a b
c c
a b
c c
2 1
3.8 dan untuk persamaan 3.7 menjadi
2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
a b
a b
a b
c a
b c
2 2
2 1
a
b c
a b
c 3.9
Persamaan 3.8 dan 3.9 merupakan dua persamaan dengan dua koefisien yang tidak diketahui. Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut
untuk
1
c dan
2
c adalah
2 2
2 1
a b
c a
b c
2 1
c c
2 2
c c
a b
2
2c a
b
2
2 c
a b
2
2 1
a b
c c
3.10
Ketika hal tersebut disubtitusikan kembali ke persamaan 3.5 akan memberikan hasil
2 2
2 1
x f
a b
x f
a b
I
3.11
Persamaan tersebut ekuivalen terhadap metode trapesium.
C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK
