Penyelesaian
c x
dx x
3 2
3 1
dan
3 3
3
9 3
3 1
dx x
B. METODE NEWTON-COTES
Metode Newton-Cotes merupakan metode integrasi numeris, dimana fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan polinom interpolasi
x p
n
.
Definisi 2.9
Misal
n . Diberikan fungsi bernilai real
f
, terdefinisi dan kontinu pada selang tertutup
b a
, , dan titik-titik interpolasinya
n i
b a
x
i
..., ,
, ,
, polinomial
n
p didefinisikan dengan
n k
h k
n
x f
x L
x p
dengan
n i
i k
i k
k i
x x
x x
x L
Adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat n dengan titik-titik interpolasi
n i
x
i
..., ,
,
untuk fungsi
f
.
Contoh 2.8
Akan disusun polinom interpolasi Lagrange berderajat 2 untuk fungsi x
x f
3 :
pada interval
1 ,
1
, dengan
titik-titik interpolasi
1 ,
, 1
2 1
x x
x
Penyelesaian
Karena
2
n
, maka
1 2
1
2 1
2 1
x
x x
x x
x x
x x
x x
L
2 1
1 x
x L
1 2
1
2
x x
x L
Oleh karena itu
1 3
1 2
1 3
1 1
3 1
2 1
2 2
x
x x
x x
x p
1 2
3 1
2 3
2
x
x x
x x
p
Teorema 2.16
Misalkan
n dan f adalah fungsi bernilai real, terdefinisi dan kontinu
pada interval tertutup
b a
, , sedemikian sehingga turunan ke-
1
n dari f
ada dan kontinu pada
b a
, . Maka untuk setiap
b a
x ,
, terdapat
b a
x c
c ,
sedemikian hingga
1
1 1
x n
c f
x p
x f
n n
n
2.1 dengan
...
1 n
n
x x
x x
x
2.2
Bukti
Jika
i
x x
, untuk suatu i ,
n i
........, ,
1 ,
, kedua ruas pada persamaan 2.1 sama dengan 0, dan persamaan tersebut akan dipenuhi secara trivial.
Misalkan
b a
x ,
dan
n i
x x
i
........, ,
1 ,
,
. Untuk nilai x yang demikian, pertimbangkan sembarang fungsi
t g
t , yang terdefinisi pada interval
b a
, dengan
1 1
t x
x p
x f
t p
t f
t g
n n
n n
2.3 Jelas bahwa
n i
x g
i
..., ,
1 ,
,
dan
x
g
. Jadi fungsi g akan bernilai nol pada
2
n titik yang berbeda pada selang
b a
, . Akibatnya
berdasarkan Teorema Rolle,
t
g
pada 1
n
titik pada selang
b a
, , satu
diantara setiap bagian dari titik-titik berturut-turut dimana
g
Khususnya, jika
n , maka berdasarkan Teorema Rolle, ada
x c
c
pada interval
b a
, sehingga
c
g . Karena
x f
x p
dan
1
x t
t
, menurut persamaan 2.3 maka
1 1
1 1
1 1
x x
p x
f c
f c
g x
x f
x f
c f
c g
c x
x f
x f
x f
c f
c g
t x
x p
x f
t p
t f
t g
Sekarang misalkan 1
n
. Karena
t g
bernilau nol pada 1
n
titik di
b a
, , berdasarkan Teorema Rolle,
g
bernilai nol di n titik yang berbeda. Jika langkah ini dilakukan sebanyak
1
n maka
1
n
g akan bernilai nol di
suatu titik
b a
c ,
, nilai dari c tergantung pada nilai x . Dengan menurunkan
fungsi
t g
sebanyak 1
n
kali maka
1
1 1
1
n x
x p
x f
c f
c g
n n
n
Karenanya
1
1 1
x n
c f
x p
x f
n n
n
Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newton-Cotes. Gagasannya adalah menghampiri fungsi
x f
dengan polinom interpolasi
x p
n
. Secara umum integral suatu fungsi didekati dengan persamaan berikut
b a
b a
n
dx x
p dx
x f
I 2.4
dimana
n n
n n
n
x a
x a
x a
x a
a x
p
1 1
2 2
1
...
2.5 adalah polinomial berderajat n.
Terdapat dua bentuk rumus Newton-Cotes, yaitu bentuk terbuka dan bentuk tertutup. Bentuk tertutup adalah bentuk dimana titik data pada awal
dan akhir batas integrasi diketahui. Sedangkan bentuk terbuka mempunyai batas integrasi yang melewati daerah dari data. Untuk lebih jelasnya dapat
dilihat pada Gambar 2.3. Pada Gambar 2.3 a untuk menghitung nilai hampiran dari integrasi numeris dari a ke b digunakan polinom interpolasi
dengan batas awal a dan batas akhir b . Sedangkan Gambar 2.3 b untuk menghitung nilai hampiran integrasi tersebut digunakan polinom interpolasi
yang melalui 3 titik yang bukan merupakan batas awal dan akhir.
a M Newton-Cotes tertutup
b M Newton-Cotes terbuka Gambar 2.3
Salah satu metode yang termasuk metode Newton-Cotes bentuk terbuka adalah metode titik tengah, sedangkan metode yang termasuk metode Newton-
Cotes bentuk tertutup adalah metode Simpson, Boole, dan trapesium. Selanjutnya akan dibahas metode Newton Cotes bentuk tertutup, yaitu metode
trapesium.
C. METODE TRAPESIUM
Kategori