METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK

2 2 2 1 x f a b x f a b I     3.11 Persamaan tersebut ekuivalen terhadap metode trapesium.

C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK

Seperti halnya metode trapesium, tujuan metode Gauss-Legendre 2- titik adalah menentukan koefisien sebuah persamaan dalam bentuk 2 2 1 1 x f c x f c I   3.12 Teorema 3.1 Gauss-Legendre Dua Titik Jika f fungsi kontinu pada   1 , 1  maka dengan metode Gauss-Legendre 2- titik 3 1 3 1 2 1 1 f E f f dx x f       , dimana 135 4 2 c f f E  , dengan 1 , 1   c Bukti Persamaan 3.12 merupakan persamaan metode Gauss-Legendre. Persamaan tersebut mengandung empat peubah yang tidak diketahui. Maka harus dipilih 2 1 2 1 , , , c c x x sedemikian hingga galat integrasinya minimum. Karena ada empat peubah yang tidak diketahui maka harus terdapat empat buah persamaan yang mengandung 2 1 2 1 , , , c c x x . Misalnya untuk 1  x f dan x x f  maka dari dua fungsi tersebut diperoleh dua persamaan, yaitu a untuk 1  x f 2 1 1 1 2 1 1 1 c c dx         b untuk x x f  2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 x c x c xdx         Masih diperlukan dua fungsi lagi agar 2 1 2 1 , , , c c x x dapat ditentukan maka dipilih 2 x x f  dan 3 x x f  untuk menambah dua persamaan, yaitu c untuk 2 x x f  2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 2 1 3 1 1 3 1 x c x c dx x         d untuk 3 x x f  3 2 2 3 1 1 1 1 4 4 3 1 4 1 1 4 1 x c x c dx x         dengan demikian sudah didapatkan empat buah persamaan, yaitu 2 2 1   c c 3.13 2 2 1 1 x c x c   3.14 3 2 2 2 2 2 1 1   x c x c 3.15 3 2 1 3 1 1 x c x c   3.16 Persamaan 3.14 dikalikan dengan 2 1 x dan dieliminasi dari persamaan 3.16 memberikan hasil 2 2 2 1 2 2   x x x c Solusi persamaan di atas adalah 2  c , ataudan 2  x , ataudan 2 1 x x  , ataudan 2 1 x x   a. Bila dipilih 2  c dari persamaan 3.13-3.16 akan menghasilkan 2 1  c , 1 1  x c , 3 2 2 1 1  x c , dan 3 1 1  x c . Tetapi karena 2 1  c , maka dari 1 1  x c akan menghasilkan 1  x sehingga akan bertentangan dengan 3 2 2 1 1  x c . Dengan demikian 2  c tidak memenuhi persamaan 3.13-3.16. b. Bila dipilih 2  x dari persamaan 3.13-3.16 akan menghasilkan 2 2 1   c c , 1 1  x c , 3 2 2 1 1  x c , dan 3 1 1  x c . Karena 1 1  x c , maka 1 c atau 1 x haruslah bernilai nol. Tetapi ini bertentangan dengan 3 2 2 1 1   x c Dengan demikian 2  x tidak memenuhi persamaan 3.13-3.16. c. Bila dipilih 2 1 x x  dari persamaan 3.13-3.16 akan menghasilkan 2 2 1   c c , 1 2 1 1   x c x c , 3 2 2 1 2 2 1 1   x c x c , dan 3 1 2 3 1 1   x c x c . Jika 1  x , maka dari persamaan 1 2 1 1   x c x c diperoleh 2 1   c c . Tetapi ini bertentangan dengan 2 2 1   c c . Jika 1  x , maka bertentangan dengan 3 2 2 1 2 2 1 1    x c x c . Dengan demikian 2  x tidak memenuhi persamaan 3.13-3.16. Dari solusi persamaan tersebut hanya satu solusi yang memenuhi yaitu 2 1 x x   . Bila persamaan 2 2 1 1 x c x c   dibagi dengan 1 x di ruas kiri dan 2 x  di ruas kanan didapatkan 2 1 c c  Dengan mensubtitusikan persamaan 2 1 c c  ke dalam 2 2 1   c c maka mengakibatkan 2 2 2   c c . Sebab itu 1 2 1   c c . Bila disubtitusikan ke persamaan 3.15 akan dihasilkan 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1     x x x c x c atau 3 1 2 2  x atau 577350269 . 3 1 1   x 3.17 maka 577350269 . 3 1 2     x 3.18 Jadi diperoleh persamaan akhir 3 1 3 1 1 1      f f dx x f 3.19 Dengan demikian, menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik dapat diperoleh 1 2 1   c c dan 577350269 . 1  x , 577350269 . 2   x . Persamaan 3.19 tersebut dinamakan metode Gauss-Legendre 2-titik. Batas-batas integral pada persamaan tersebut adalah dari -1 sampai dengan 1, sehingga memudahkan hitungan dan membuat rumus yang dapat digunakan secara umum. Berdasarkan Teorema 2.16, galat dari metode Gauss-Legendre 2-titik dapat ditentukan dengan 2 2 2 c f K f E n n   3.20 Teorema 2.16 menjelaskan tentang galat dari selisih nilai fungsi dengan polinomial hampirannya, maka 2 f E x p x f n   sehingga      2 f E x p x f n menurut Teorema 2.16           dx x x x x x x n c f f E n n 2 1 2 2 2 ... 2 2          dx x x x x x x n c f n n 2 1 2 2 ... 2 2 1 dengan         dx x x x x x x n K n n 2 1 ... 2 2 1 jadi 2 2 2 c f K f E n n   Untuk metode Gauss-Legendre 2-titik, maka ditentukan 1  n , sehingga dari persamaan 3.20 dapat ditentukan 4 1 2 c f K f E  dengan        1 1 2 1 1 4 1 dx x x x x K            1 1 2 3 1 3 1 4 1 dx x x         1 1 2 2 3 1 4 1 dx x          1 1 2 4 9 1 3 2 4 1 dx x x 1 1 3 5 9 1 9 2 5 1 4 1         x x x                    9 1 9 2 5 1 9 1 9 2 5 1 24 1                  45 5 9 45 5 9 24 1               45 4 45 4 24 1 45 8 24 1  135 1  Dengan demikian 135 1 4 2 2 2 c f c f K f E n n    Contoh 3.1 Hitunglah   1 1 dx e x dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik Penyelesaian Dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik diperoleh 1 1  c , 577350269 , 1   x 1 2  c , 577350269 , 2  x Sehingga 342696087 , 2 4 1,78131217 561383913 , 577350269 , 577350269 , 1 1         e e dx e x Sedangkan dengan menggunakan metode analitik, hasilnya adalah 350402387 , 2 367879441 , 718281828 , 2 1 1 1 1         e e dx e x Bila menggunakan rumus galat metode Gauss-Legendre 2-titik, maka menurut Teorema 3.1 02013542 , 135 135 1 1 4 2    e f f E dengan   1 , 1   c Sehingga 362831508 , 2 02013542 , 342696087 , 2 342696087 , 2 2 1 1        f E dx e x

D. METODE GAUSS-LEGENDRE TIGA TITIK