2 2
2 1
x f
a b
x f
a b
I
3.11
Persamaan tersebut ekuivalen terhadap metode trapesium.
C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK
Seperti halnya metode trapesium, tujuan metode Gauss-Legendre 2- titik adalah menentukan koefisien sebuah persamaan dalam bentuk
2 2
1 1
x f
c x
f c
I
3.12
Teorema 3.1 Gauss-Legendre Dua Titik
Jika f fungsi kontinu pada
1 ,
1
maka dengan metode Gauss-Legendre 2- titik
3 1
3 1
2 1
1
f E
f f
dx x
f
, dimana 135
4 2
c f
f E
, dengan
1 ,
1
c
Bukti
Persamaan 3.12 merupakan persamaan metode Gauss-Legendre. Persamaan tersebut mengandung empat peubah yang tidak diketahui. Maka harus dipilih
2 1
2 1
, ,
, c
c x
x sedemikian hingga galat integrasinya minimum. Karena ada
empat peubah yang tidak diketahui maka harus terdapat empat buah persamaan yang mengandung
2 1
2 1
, ,
, c
c x
x .
Misalnya untuk 1
x
f dan
x x
f
maka dari dua fungsi tersebut diperoleh dua persamaan, yaitu
a untuk
1
x f
2 1
1 1
2 1
1 1
c c
dx
b untuk
x x
f
2 2
1 1
1 1
2 2
1 2
1 1
2 1
x c
x c
xdx
Masih diperlukan dua fungsi lagi agar
2 1
2 1
, ,
, c
c x
x dapat ditentukan maka
dipilih
2
x x
f
dan
3
x x
f
untuk menambah dua persamaan, yaitu c
untuk
2
x x
f
2 2
2 2
1 1
3 3
1 1
2
3 2
1 3
1 1
3 1
x c
x c
dx x
d untuk
3
x x
f
3 2
2 3
1 1
1 1
4 4
3
1 4
1 1
4 1
x c
x c
dx x
dengan demikian sudah didapatkan empat buah persamaan, yaitu 2
2 1
c
c 3.13
2 2
1 1
x c
x c
3.14
3 2
2 2
2 2
1 1
x
c x
c 3.15
3 2
1 3
1 1
x c
x c
3.16
Persamaan 3.14 dikalikan dengan
2 1
x
dan dieliminasi dari persamaan 3.16 memberikan hasil
2 2
2 1
2 2
x
x x
c
Solusi persamaan di atas adalah
2
c
, ataudan
2
x
, ataudan
2 1
x x
, ataudan
2 1
x x
a. Bila dipilih
2
c
dari persamaan 3.13-3.16 akan menghasilkan 2
1
c
,
1 1
x
c ,
3 2
2 1
1
x
c , dan
3 1
1
x
c
. Tetapi karena 2
1
c
, maka dari
1 1
x
c akan menghasilkan
1
x
sehingga akan bertentangan dengan
3 2
2 1
1
x
c .
Dengan demikian
2
c
tidak memenuhi persamaan 3.13-3.16.
b. Bila dipilih
2
x
dari persamaan 3.13-3.16 akan menghasilkan 2
2 1
c
c ,
1 1
x
c ,
3 2
2 1
1
x
c , dan
3 1
1
x
c
. Karena
1 1
x
c , maka
1
c
atau
1
x haruslah bernilai nol. Tetapi ini bertentangan dengan
3 2
2 1
1
x c
Dengan demikian
2
x
tidak memenuhi persamaan 3.13-3.16.
c. Bila dipilih
2 1
x x
dari persamaan 3.13-3.16 akan menghasilkan
2
2 1
c
c ,
1 2
1 1
x
c x
c ,
3 2
2 1
2 2
1 1
x
c x
c , dan
3 1
2 3
1 1
x
c x
c
. Jika
1
x
, maka dari persamaan
1 2
1 1
x
c x
c diperoleh
2 1
c
c . Tetapi
ini bertentangan dengan 2
2 1
c
c . Jika
1
x
, maka bertentangan dengan
3 2
2 1
2 2
1 1
x c
x c
. Dengan demikian
2
x
tidak memenuhi persamaan 3.13-3.16.
Dari solusi persamaan tersebut hanya satu solusi yang memenuhi yaitu
2 1
x x
. Bila persamaan
2 2
1 1
x c
x c
dibagi dengan
1
x di ruas kiri dan
2
x di ruas
kanan didapatkan
2 1
c c
Dengan mensubtitusikan persamaan
2 1
c c
ke dalam 2
2 1
c
c maka
mengakibatkan 2
2 2
c
c . Sebab itu
1
2 1
c
c . Bila disubtitusikan ke
persamaan 3.15 akan dihasilkan 3
2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
x x
x c
x c
atau 3
1
2 2
x
atau 577350269
. 3
1
1
x 3.17
maka 577350269
. 3
1
2
x 3.18
Jadi diperoleh persamaan akhir
3 1
3 1
1 1
f f
dx x
f
3.19 Dengan demikian, menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik dapat
diperoleh 1
2 1
c
c dan
577350269 .
1
x
, 577350269
.
2
x . Persamaan
3.19 tersebut dinamakan metode Gauss-Legendre 2-titik. Batas-batas integral pada persamaan tersebut adalah dari -1 sampai dengan 1, sehingga
memudahkan hitungan dan membuat rumus yang dapat digunakan secara umum.
Berdasarkan Teorema 2.16, galat dari metode Gauss-Legendre 2-titik dapat ditentukan dengan
2 2
2
c f
K f
E
n n
3.20 Teorema 2.16 menjelaskan tentang galat dari selisih nilai fungsi dengan
polinomial hampirannya, maka
2
f E
x p
x f
n
sehingga
2
f E
x p
x f
n
menurut Teorema 2.16
dx x
x x
x x
x n
c f
f E
n n
2 1
2 2
2
... 2
2
dx x
x x
x x
x n
c f
n n
2 1
2 2
... 2
2 1
dengan
dx
x x
x x
x x
n K
n n
2 1
... 2
2 1
jadi
2 2
2
c f
K f
E
n n
Untuk metode Gauss-Legendre 2-titik, maka ditentukan 1
n
, sehingga dari persamaan 3.20 dapat ditentukan
4 1
2
c f
K f
E
dengan
1 1
2 1
1
4 1
dx x
x x
x K
1 1
2
3 1
3 1
4 1
dx x
x
1 1
2 2
3 1
4 1
dx x
1 1
2 4
9 1
3 2
4 1
dx x
x
1 1
3 5
9 1
9 2
5 1
4 1
x
x x
9
1 9
2 5
1 9
1 9
2 5
1 24
1
45 5
9 45
5 9
24 1
45 4
45 4
24 1
45 8
24 1
135 1
Dengan demikian 135
1
4 2
2 2
c f
c f
K f
E
n n
Contoh 3.1
Hitunglah
1
1
dx e
x
dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik
Penyelesaian
Dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik diperoleh 1
1
c
, 577350269
,
1
x 1
2
c
, 577350269
,
2
x
Sehingga
342696087 ,
2 4
1,78131217 561383913
,
577350269 ,
577350269 ,
1 1
e e
dx e
x
Sedangkan dengan menggunakan metode analitik, hasilnya adalah
350402387 ,
2 367879441
, 718281828
, 2
1 1
1 1
e e
dx e
x
Bila menggunakan rumus galat metode Gauss-Legendre 2-titik, maka menurut Teorema 3.1
02013542 ,
135 135
1
1 4
2
e
f f
E dengan
1 ,
1
c
Sehingga
362831508 ,
2 02013542
, 342696087
, 2
342696087 ,
2
2 1
1
f E
dx e
x
D. METODE GAUSS-LEGENDRE TIGA TITIK