1
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat
diselesaikan secara analitik. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku, yakni
rumus-rumus yang sudah dibuktikan kebenarannya dan memberikan hasil sebenarnya yang memiliki galat sama dengan nol. Integrasi numeris dilakukan
dengan mengevaluasi integral tentu pada batas integrasi. Ada beberapa metode pengintegralan numeris, yaitu metode Newton-Cotes dan metode Gauss.
Metode Newton-Cotes terdiri dari metode trapesium dan metode Simpson. Cara kerja metode tersebut biasanya diawali dengan membagi interval
integrasi menjadi beberapa subinterval dengan ukuran yang sama, kemudian mencari pendekatan luas dari setiap daerah yang terbentuk pada subinterval
dan kemudian menjumlahkannya. Jika perhitungan dilakukan secara manual pada umumnya dipilih sehingga ujung setiap interval jatuh pada nilai yang
mudah dihitung. Metode trapesium adalah metode yang digunakan untuk menghitung
nilai integrasi dengan menjumlahkan luas n buah trapesium. Cara ini
merupakan rumus paling sederhana untuk integrasi numeris. Galat rumus ini lebih besar dibandingkan dengan semua metode integrasi yang lainnya, tetapi
karena kemudahan pada tekniknya, yakni fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan fungsi linear, membuat aturan ini menjadi menarik. Metode
ini penting pada setiap kasus karena menunjukkan ide dasar rumus pengintegrasi dengan ukuran interval tertentu, yakni menghampiri fungsi
x f
dengan garis lurus yang menghubungkan
a f
dan
b f
. Dalam penerapannya, metode ini membagi seluruh interval menjadi sub-subinterval
dan mendekati kurva dalam beberapa subinterval dengan kurva yang lebih sederhana, yakni kurva linear, sehingga nilai integralnya dapat dihitung secara
analitis. Metode Simpson serupa dengan metode trapesium di mana keduanya
membagi interval batas integrasi menjadi beberapa subinterval, dan integran dievaluasi pada ujung dari semua sub interval ini. Perbedaannya terjadi dalam
hal bagaimana luas daerah di bawah kurva tersebut didekati nilainya. Dalam metode trapesium menggunakan luas trapesium untuk mendekati luas daerah
satu interval kecil. Dalam metode Simpson menggunakan luas daerah di bawah suatu parabola, sebagai nilai pendekatan luas daerah dua interval yang
berdekatan. Dengan demikian diharapkan bahwa metode trapesium tepat untuk polinomial berderajat satu, sedangkan metode Simpson tepat digunakan
untuk polinomial berderajat satu, dua, atau tiga. Ini memang metode yang
relatif lebih teliti dan rumusnya tidak lebih kompleks daripada metode trapesium , yakni mendekati fungsi yang akan diintegralkan dengan parabola
polinom interpolasi berderajat dua atau tiga. Karakteristik inilah yang menyebabkan metode Simpson lebih luas penggunaannya.
Berbeda dengan metode Newton-Cotes, metode Gauss dalam menghitung luas daerah di bawah garis dipilih titik sembarang secara bebas.
Titik-titik tersebut dipilih untuk meminimalkan galat. Jika galat minimum, maka nilai hampirannya akan mendekati nilai sebenarnya.
B. PERUMUSAN MASALAH