a M Newton-Cotes tertutup
b M Newton-Cotes terbuka Gambar 2.3
Salah satu metode yang termasuk metode Newton-Cotes bentuk terbuka adalah metode titik tengah, sedangkan metode yang termasuk metode Newton-
Cotes bentuk tertutup adalah metode Simpson, Boole, dan trapesium. Selanjutnya akan dibahas metode Newton Cotes bentuk tertutup, yaitu metode
trapesium.
C. METODE TRAPESIUM
Metode trapesium merupakan salah satu bentuk metode Newton Cotes tertutup. Metode ini berhubungan dengan persamaan 2.4, dimana polinom
interpolasi yang digunakan adalah polinomial berderajat 1 seperti diilustrasikan pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Metode Trapesium
Secara Geometris, metode trapesium adalah metode yang menghampiri luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang menghubungkan
a f
dan b
f seperti pada Gambar 2.4. Rumus untuk menghitung luas
daerah trapesium adalah dengan mengalikan tinggi dengan rata-rata alasnya. Dalam kasus metode trapesium ini integral dapat ditafsirkan dengan Luas
I = lebar x rata-rata tinggi, dimana lebar ditafsirkan sebagai a
b dan
rata-rata tinggi ditafsirkan sebagai
2 b
f a
f
karena rata-rata tinggi adalah rata-rata dari nilai fungsi pada titik batas.
Teorema 2.17
Jika f fungsi kontinu pada
b a
, maka dengan metode trapesium
3
12 1
2 a
b c
f b
f a
f a
b x
f
b a
, dengan ,
b a
c
2.6
Bukti
Pada Gambar 2.4 fungsi x
f dihampiri dengan garis lurus yang melalui titik
, a
f a
dan
, b
f b
. Persamaan garis lurus yang melalui kedua titik tersebut adalah
a b
a x
a f
b f
a f
x f
atau
a f
b f
a x
a b
a f
x f
a b
a f
b f
a x
a f
x f
a x
a b
a f
b f
a f
x f
2.7
dengan demikian persamaan 2.4 dapat ditulis sebagai dx
a x
a b
a f
b f
a f
dx x
f I
b a
b a
b a
a x
a b
a f
b f
x a
f
2
2
2
2 a
b a
b a
f b
f a
b a
f
2 a
f b
f a
f a
b
2 a
f b
f a
b
sehingga menghasilkan persamaan
2 b
f a
f a
b I
2.8
Persamaan 2.8 disebut metode Trapesium. Ketika bekerja pada daerah integral di bawah garis lurus untuk
menghampiri integral di bawah kurva, akan memunculkan sebuah galat. Penafsiran untuk galat pemotongan dari penggunaan metode trapesium adalah
2 b
f a
f h
dx x
f E
b a
t
, dengan a
b h
Menguraikan x
f ke dalam deret Taylor di sekitar
a x
a
diperoleh
... 6
1 2
1
3 2
a
f x
a f
x a
xf a
f x
f Menguraikan
h f
x f
b f
b
ke dalam deret Taylor di sekitar a
x
a
diperoleh
2 1
2
a f
h a
hf a
f h
f x
f b
f
b
+...
Maka
... 2
1 2
2 ...
6 1
| 2
1
2 3
2
a f
h a
hf a
f h
a f
h dx
a f
x a
f x
a xf
a f
E
b a
... 4
1 2
... 6
1 2
1 ...
6 1
2 1
3 2
3 2
3 2
a f
h a
f h
a hf
a f
a a
f a
a af
a f
b a
f b
a bf
... 4
1 2
... 6
1 2
1
3 2
3 2
a f
h a
f h
a hf
a f
h a
f h
a hf
... 12
1
3
a
f h
b c
a c
f h
, 12
1
3
Jadi
3
12 1
a b
c f
E
t
2.9
dimana c berada pada selang interval a ke b . Persamaan 2.9 menunjukkan bahwa jika fungsi yang diintegrasikan linear maka metode trapesium akan
memperoleh hasil yang tepat karena turunan kedua dari garis lurus adalah nol. Sebaliknya, untuk fungsi dengan derajat dua dan derajat lebih tinggi, galatnya
akan muncul.
Contoh 2.9
Gunakan metode trapesium untuk menghampiri nilai integral
5 4
3 2
400 900
675 200
25 2
. x
x x
x x
x f
dari
a ke
8 .
b
Penyelesaian
Nilai fungsi x
f di titik
a
dan 8
,
b masing-masing adalah
5 4
3 2
400 900
675 200
25 2
.
f
2 .
dan
5 4
3 2
8 .
400 8
. 900
8 .
675 8
. 200
8 .
25 2
. 8
.
f
232 .
072 .
131 64
. 368
6 .
345 128
20 2
.
Bila kedua hasil diatas disubstitusikan ke dalam persamaan 2.8 maka diperoleh
1728 .
2 232
. 2
. 8
.
I
Bila
8 ,
x f
ditentukan secara analitik maka diperoleh
dx x
x x
x x
8 ,
5 4
3 2
400 900
675 200
25 2
.
8 ,
6 5
4 3
2
6 400
5 900
4 675
3 200
2 25
2 .
x x
x x
x x
6438 ,
1 48
, 17
9824 ,
58 12
, 69
13 ,
34 8
16 ,
Dengan demikian nilai analitiknya adalah 6438
, 1
Menghampiri nilai galat sangat diperlukan agar dapat diketahui besar kesalahan perhitungan. Untuk mendapatkan nilai hampiran galat tersebut,
turunan kedua fungsi pada interval dapat ditentukan dengan menurunkan fungsi asli dua kali sehingga menghasilkan
4 512
1728 1620
400 8
. ,
, 4
. 8000
4 .
10800 4
. 4050
400 8000
10800 4050
400
3 2
3 2
x
dengan x
x x
x f
1706 .
8 .
4 12
1
3
t
E Sehingga
00213 .
1706 .
1728 .
t
E I
45
BAB III PENGINTEGRALAN NUMERIS
