= ln
C x
x x
3
8 2
3 1
2
Soal-soal Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1.
dx
x 1
2
dx 2.
25
2 2
x dx
x
3.
dt t
t
3 2
4
4.
2
16 16
x x
dx
5.
6
2
x x
dx
6.
1
2 2
t t
dt
2.4 Integral Parsial Integral Bagian
Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dan u = fx, v = gx.
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = duv
duv = u dv + v du Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
vdu udv
uv d
vdu uv
d udv
vdu uv
udv
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan
dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan
udv
tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
40
1.
xdx x cos
Jawab Bentuk
xdx x cos
diubah menjadi
udv, Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v =
x cos
dx = sin x Akibatnya
xdx x cos
=
x dsin x. Dengan rumus integral parsial
vdu uv
udv
, diperoleh
x dsin x = x sin x -
x sin
dx = x sin x -
x sin
dx = x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh
xdx x cos
= x sin x + cos x + C
2.
x
x 1
dx Pilih u = x , du = dx
dv =
x
1
, v =
x
1
dx =
3
1 3
2 x
Sehingga
x
x 1
dx =
1
3 2
3
x xd
Berdasarkan rumus integral parsial
vdu uv
udv
, diperoleh
x
x 1
dx =
1
3 2
3
x xd
=
3
1 1
3 2
x
-
1
3 2
3
x d
x
=
3
1 1
3 2
x
-
dx
x
3
1 3
2
=
3
1 1
3 2
x
-
C x
1
5 2
3 2
5
=
3
1 1
3 2
x
-
C x
1
15 4
5
3.
x sin
e
x
dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
41
Pilih u = sin x maka du = dsinx = cos dx dv =
dx e
x
, v =
dx e
x
=
x
e
, sehingga:
x sin
e
x
dx =
sin x d
x
e
=
sin
sin x
d e
x e
x x
=
xdx
e x
e
x x
cos sin
Diperoleh bentuk
xdx e
x
cos
yang juga diselesaikan dengan metode parsial Pilih u = cos x , dv = dcos x = sin x dx
dv =
dx e
x
, v =
dx e
x
=
x
e
, sehingga:
x cos
e
x
dx =
cos x d
x
e
=
cos
cos x
d e
x e
x x
=
dx x
e x
e
x x
sin cos
=
,
sin cos
dx x
e x
e
x x
Akhirnya diperoleh
x sin
e
x
dx =
xdx
e x
e
x x
cos sin
=
x
e
x
sin
,
sin cos
dx x
e x
e
x x
x sin
e
x
dx =
2 1
x
e
x
sin 2
1 C
x e
x
cos
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan. 1.
dx x
x
2
sec
2.
dx x
x
tan sec
3.
dx x
3
sin
4.
dx x
x tan
5.
dx x
arc tan
6.
dx x
x ln
7.
3
7 2x
x
dx 8.
dx x
arc 2
cos
9.
2
x
e
x 2
dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
42
10.
x
xdx 2
1
dx 11.
x x
3 sin
3 cos
dx 12.
dx
x e
x
1
13.
xdx x
2 5
sec tan
14.
2 cos
2 x
x
dx 15.
dx xe
x
2
16.
e
x 1
2
x 3
1
dx 17.
x
3
sec
dx 18.
3
x
2
4 x
dx 19.
x 3
ln
dx 20.
x x sin
2
dx 21.
x
x 1
2
dx 22.
dx x
x
2 2
sec
2.5 Integral Fungsi Rasional.
