BAB II TEKNIK INTEGRAL
Terdapat beberapa macam teknik atau cara pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan integral tak tentu suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk
memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik
pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah:
1 Teknik substitusi, 2 Integral fungsi trigonometri,
3 Subtitusi fungsi trigonometri, 4 Integral parsial
5 Integral fungsi rasional, dan
6 Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
2.1 Teknik Substitusi
Teknik substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a.
n
x
dx =
1
1
n x
n
+ c, asalkan n
-1 atau b.
dx x
f x
f
n
=
1
1
n x
f
n
+ c, asalkan n
-1 Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya
menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran
sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan
dengan metode substitusi. Perhatikan beberapa contoh berikut:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
16
1.
x
1
dx Misal u =
x
1
x u
1
2
1
2
x d
u d
dx udu
2
Substitusi bentuk terakhir ke
x
1
dx, diperoleh
du
u u
2
= -2
du u
2
Dengan rumus dasar di dapat
x
1
dx = -2
du u
2
= -2
c u
3
3
= -
c x
3
1 3
2
2.
dx x
3
2 1
=
dx x
2 3
2 1
Substitusi E =
2 3
2 1
x
2
E =
3
2 1
x
d
2
E = d
3
2 1
x
2E dE = 3
2 2
1
2
x
dx
dx =
2
2 1
3 x
EdE
dx x
3
2 1
=
E
dE x
E
2
2 1
3
= dE
E E
4 3
2
3 =
dE E
3 2
3 1
=
c E
3 5
3 1
3 5
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
17
=
3 5
5 1
E
+ c =
c x
3 5
2 3
2 1
5 1
2.
dx
x
11
12 3
Misal A = 3x + 12 dA = d3x+12
dA = 3 dx dx =
3 dA
Sehingga
dx
x
11
12 3
=
3
11
dA A
=
dA A
11
3 1
=
c A
12
3 1
12
=
c A
12
36 1
=
c x
36 12
3
12
3.
x Cos 2
2
dx Misal A = 2x
dA = d2x dA = 2 dx
dx =
2 dA
x 2
cos
2
dx =
2 cos
2
dA A
=
A
2
cos
dA 2
1
=
AdA
2
cos 2
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
18
=
dA
A 2
2 cos
1 2
1
=
AdA
dA 2
cos 4
1 4
1
=
c A
A
8
2 sin
4
=
c x
x
8
4 sin
4 2
=
c x
x
8
4 sin
2
4.
x
x 4
4
2
4x+2 dx Jawab
Misal A =
x x
4 4
2
A
2
= 4x
2
4x 2A dA = 8x+4 dx
2A dA = 24x+2 dx A dA = 4x+2 dx
Sehingga
x
x 4
4
2
4x+2 dx =
A
.A dA =
dA A
2
=
c A
3
3 1
=
3 2
4 4
3 1
x x
+ c 5.
4
3t tdt
Jawab Misal P =
4 3
t
P
2
= 3t + 4
t =
3 4
2
P
dP
2
= d3t+4 2P dp = 3 dt
dt =
Pdp 3
2
, sehingga
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
19
4
3t tdt
=
p
dp p
P 3
2 3
4
2
=
dp
P 8
2 9
1
2
6.
2 2
16 x
dx x
Jawab Misal U =
2
16 x
U
2
= 16 - x
2
x
2
= 16 - U
2
dU
2
= d16 - x
2
2U du = -2xdx dx
=
du x
U
2 2
16 x
dx x
=
u x
u u
16
2
du
=
du x
u
2
16
= -
du
u x
16 1
2
=
2 3
1
3 16
C x
u C
x u
=
C x
x x
x x
3 16
16 16
16
2 2
2
=
C x
x x
x
3 16
16 16
2 3
2 2
1 2
7.
dt
t t
2 3
2
Jawab Misal M = t+2
2 3
M
2
= t+2
3
2M dM = 3t+2
2
dt
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
20
dt
t t
2 3
2
=
2
2 3
2 .
. t
MdM t
M
=
dM
M t
t
2 2
2 3
2
=
3 2
3 1
2 3
2 M
t t
+ C =
2 9
2
2 2
9 2
t t
t
+ C
=
C t
t
2 5
2 9
2
Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1
dx x
x
sin
2
1
2 3
t dt
3
dx
x x
2 sin
2 cos
1
2
4
dt
t t
t t
t 1
3 1
3 sin
1 6
2 2
5
9
2
x xdx
8.
dx
x x
2 3
2 3
9.
dx
x x
16
2
10.
dx x
3 sin
11.
x
xdx
2
cos 16
sin
12.
dx
x 4
2 cos
13.
dx
x x
1 sin
2
14.
dx
x x
1 cos
3 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
21
15.
dx
x x
7 12
2
3
16.
dx
x x
x 1
3 2
2
17.
dx e
e e
e
x x
x x
2 2
2 2
18.
dt e
e
t t
6 3
4
19.
dx
x x
4
4 2
20.
4
4
x xdx
21.
dx
x x
cos 2
1 sin
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Kategori