10.
x
xdx 2
1
dx 11.
x x
3 sin
3 cos
dx 12.
dx
x e
x
1
13.
xdx x
2 5
sec tan
14.
2 cos
2 x
x
dx 15.
dx xe
x
2
16.
e
x 1
2
x 3
1
dx 17.
x
3
sec
dx 18.
3
x
2
4 x
dx 19.
x 3
ln
dx 20.
x x sin
2
dx 21.
x
x 1
2
dx 22.
dx x
x
2 2
sec
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk Fx =
x g
x f
, dimana fx , gx adalah fungsi pangkat banyak polinom dan gx
0. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
fx = a
o
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ … + a
n
x
n
, n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk
x g
x f
yang pembilang dan penyebutnya polinom. Contoh
1. fx =
2 3
1
2
x
x x
…………….fungsi rasional sejati 2. fx =
4 4
4
2 2
x
x x
…………….fungsi rasional tidak sejati 3. fx =
x x
x x
x 5
1 2
3 3
5
.............fungsi rasional tidak sejati
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
43
Pada contoh di atas, 1 disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, sedangkan 2 dan 3 disebut fungsi rasional tidak
sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka
fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
fx =
x x
x x
x 5
1 2
3 3
5
= x
3
2
+ x
x x
5 1
14
3
Fx =
x g
x f
, gx
0. Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati. 2. Faktorkan penyebut gx dari fungsi rasional Fx =
x g
x f
sampai tidak dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, gx dapat berupa kombinasi antara: -
fungsi linear berbeda, gx = x-ax-b….x-t dstnya. -
fungsi linear berulang, gx = x-a
n
= x-ax-ax-a … x-a -
fungsi liner dan kuadrat, gx = x-aax
2
+bx + c -
fungsi kuadrat berbeda, gx = ax
2
c bx
px
2
+ qx + c -
fungsi kuadrat berulang, gx = ax
2
c bx
n
dan seterusnya. 4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran
dapat ditentukan antiturunannya, Misal :
x
g x
f ...
2 2
2 1
1 1
b ax
A b
ax A
Penyebut kombinasi liner berbeda
...
3 3
2 2
1
b
ax A
b ax
A b
ax A
x g
x f
kombinasi lenear berulang
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
44
...
2 2
2 2
2 2
1 1
2 1
1 1
c
x b
x a
B x
A c
x b
x a
B x
A x
g x
f
kombinasi kuadrat berbeda
...
1 2
2 2
2 2
1 1
1
c
x b
x a
B x
A b
x a
A x
g x
f
kombinasi linear dan kuadrat 5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan
hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A
1
, A
2
, …A
n
dan B
1
, B
2
, …B
n
. 6. Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya
dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.
7. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh : Faktor linear berbeda 1. Tentukan
dx
x 1
2
2
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
1
2
2
x
dx =
dx x
x 1
1 2
=
dx
x B
x A
1 1
=
dx x
x x
B x
A
1
1 1
1
=
dx
x x
B A
x B
A 1
1
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
1
2
2
x
dx =
dx x
x 1
1 1
1
=
dx
x 1
1
-
dx
x 1
1
= ln
C x
x
1
ln 1
= ln
C x
x
1 1
2.
, 1
1 dx
x x
integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
45
dx
x dx
x x
1 2
1 1
1
=
dx x
dx 1
2
=
c x
x
1 ln
2
=
c x
x
2
1 ln
3.
dx x
x x
x
6
1
2 3
Jawab
dx x
x x
x
6
1
2 3
=
dx
x x
x x
3 2
1
=
dx x
C x
B x
A
3 2
= dx
x x
x x
x C
x x
B x
x A
6 2
3 3
2
2 3
=
dx x
x x
A x
C B
A x
C B
A 6
6 2
3
2 3
2
Diperoleh A + B + C = 0 A + 3B – 2C = 1
-6A = 1 Atau A = -
6 1
, B =
10 3
, C =
15 2
Sehingga
dx x
x x
x
6
1
2 3
=
3
15 2
2 10
3 6
1 x
dx x
dx x
dx
=
C x
x x
3 ln
15 2
2 ln
10 3
ln 6
1
Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan berikut:
1
9
2
x dx
2
6 7
2
x x
dx
3
dx x
x x
x 8
2 4
3
2 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
46
4
4 3
2
x x
xdx
5
dx x
x x
x x
2 1
3
2 3
2
6
dx x
x x
6 5
2 3
7
dx x
x x
2 2
2 3
Contoh Penyebut integran dalam faktor linear berulang
1.
dx
x x
x 4
4 1
2
, Jawab
Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
dx
x x
x 4
4 1
2
=
dx
x x
x 2
2 1
=
dx x
x
2
2 1
=
dx x
B x
A
2
2 2
=
dx x
B x
A
2
2 2
=
2
2 2
x A
B Ax
dx Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
dx
x x
x 4
4 1
2
=
2
2 2
x B
x A
dx =
dx
x x
dx
2
1 3
2
= ln
C x
x
2
3 2
2.
dx
x x
x 4
4 1
2 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
47
Jawab Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi
fungsi rasional sejati. Sehingga:
dx
x x
x 4
4 1
2 2
=
dx
x x
x 4
4 4
5 1
2
=
dx x
x x
dx 4
4 4
5
2
Selanjuntnya
dx x
x dx
x x
x
2 2
2 4
5 4
4 4
5
=
dx
x B
x A
2
2 2
=
dx
x B
x A
2
2 2
=
dx
x B
A Ax
2
2 2
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
2 2
2 6
2 5
2 4
5 x
x dx
x x
dx = 5 ln
C x
x
2
6 2
3.
dx x
x x
dx x
1 5
3
2 3
Jawab Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
dx x
x x
dx x
1 5
3
2 3
=
2
1 1
5 3
x
x dx
x
=
dx x
C x
B x
A
2
1 1
1
=
dx x
x x
C x
x B
x A
2 2
1 1
1 1
1 1
=
dx x
x C
B A
x A
C x
B A
2 2
2 1
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
48
Diperoleh A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -12, C = 4, sehingga
dx x
x x
dx x
1 5
3
2 3
=
dx x
C x
B x
A
2
1 1
1
=
2 1
2
2 4
2 2
1 1
x dx
x dx
x dx
= ½ ln
C x
x x
2 4
2 ln
2 1
1
4.
2 3
3 6
4 4
4 x
x x
x
dx Jawab
Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati
2 3
3 6
4 4
4 x
x x
x
dx =
dx x
x x
x x
x
2 3
2 2
3
4 4
272 68
16 4
=
dx
x x
x 68
16 4
2 3
+
dx x
x x
2 3
2
4 4
272
=
x x
x x
68 8
3 4
4 1
2 3
4
+
dx x
x x
2 3
2
4 4
272
Selanjutnya dicari
dx x
x x
2 3
2
4 4
272
=
dx x
x x
4
4 272
2 2
=
dx
x C
x B
x A
4
2
=
dx x
x x
C x
x B
x A
2 3
2
4 4
4
=
dx
x x
Cx Bx
Bx A
Ax
2 3
2 2
4 4
4
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B =
4 1
, C =
4 1089
Hasil akhir pengintegralan
dx x
x x
x
2 3
3 6
4 4
4 x
x x
x 68
8 3
4 4
1
2 3
4
-
C x
x x
4 ln
4 1089
ln 4
1 1
Soal-soal
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
49
Tentukan 1.
dx x
x
2
3 1
2.
dx x
x x
5 2
8
1 2
3.
dx x
x x
x
3 4
2
5 2
10 19
4.
dx x
x x
2
4 2
2 1
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut
dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
r qx
px C
Bx b
ax A
x g
x f
2
, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.
Contoh 1.
dx x
x x
x 1
1 4
1 3
6
2 2
Karena integran fungsi rasional sejati maka
dx x
x x
x 1
1 4
1 3
6
2 2
=
dx x
C Bx
x A
1 1
4
2
=
dx x
x x
C Bx
x A
1 1
4 1
4 1
2 2
=
dx x
x C
A x
C B
x B
A
1
1 4
4 4
2 2
Diperoleh A+4B = 6, B+4C = -3, A+C = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
dx x
x x
x 1
1 4
1 3
6
2 2
=
dx x
x x
1 1
1 4
2
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
50
=
dx
x dx
x x
dx x
1 1
1 1
4 2
2
2
=
C arctgx
x x
1
ln 2
1 1
4 ln
4 2
2
2.
dx
x x
x x
x 2
3 2
2 4
2 3
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
dx
x x
x x
x 2
3 2
2 4
2 3
=
dx
x x
x x
x 2
1 2
2 2
2 3
=
dx
x D
Cx x
B Ax
2 1
2 2
=
dx
x x
x D
Cx x
B Ax
2 1
1 2
2 2
2 2
=
dx
x x
D B
x C
A x
D B
x C
A 2
1 2
2
2 2
2 3
Diperoleh A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
dx
x x
x x
x 2
3 2
2 4
2 3
=
dx
x x
x 2
1 1
2 2
=
dx
x x
dx x
2 1
1
2 2
= arctg x +
C x
1 ln
2 1
2
3.
dx
x x
x x
x 1
2 3
1 8
2 2
3
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda x+3 dan x-2 dengan kuadrat x
1
2
, sehingga:
dx
x x
x x
x 1
2 3
1 8
2 2
3
=
dx x
D Cx
x B
x A
1 2
3
2
=
dx x
x x
x x
D Cx
x x
B x
x A
1 2
3 2
3 1
3 1
2
2 2
2
=
dx x
x x
D B
A x
C D
B A
x D
C B
A x
C B
A 1
2 3
6 3
2 6
3 2
2 2
3
Maka diperoleh
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
51
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
dx x
D Cx
x B
x A
1 2
3
2
=
dx
x x
x 1
1 2
1 3
2
2
=
c x
x x
arctan
2 ln
3 ln
2
=
c x
x x
arctan
2 ln
3 ln
2
=
c x
x x
arctan 2
3 ln
2
Jadi
dx
x x
x x
x 1
2 3
1 8
2 2
3
=
c x
x x
arctan 2
3 ln
2
4.
dx x
x x
x
4
8 2
3 2
Jawab
dx x
x x
x
4
8 2
3 2
=
dx
x x
x x
4 8
2
2 2
=
dx
x C
Bx x
A 4
2
=
dx x
x x
C Bx
x A
4 4
3 2
=
x x
A Cx
x B
A 4
4
3 2
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
dx
x C
Bx x
A 4
2
=
dx x
x dx
x 4
1 4
2
2
=
dx
x dx
x x
dx x
4 1
4 4
2
2 2
= ln
4 ln
2
2 2
x x
+ ½ arc tan
C x
2
5.
dx x
x x
1 4
2 3
Jawab:
dx x
x x
1 4
2 3
=
dx x
x x
1 5
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
52
=
dx x
x xdx
1 5
2
= ½ x
2
- 5
dx
x x
1
2
=
2 1
x
2
– 5.
2 1
dx
x x
1 2
2
= ½ x
2
-
C x
1 ln
2 5
2
= ½ x
2
– ln x
2
+1
52
+ C = ½ x
2
– ln
5 2
1
x
+ C Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 1
dx x
x x
x x
16 8
16 5
2
3 5
2 3
2
dx
x x
x x
x 2
3 2
2 4
2 3
3
dx
x x
x
2 2
3
1 1
4
dx x
x x
x x
x 3
2 5
15 5
2 2
2 3
2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri
