15.
dx
x x
7 12
2
3
16.
dx
x x
x 1
3 2
2
17.
dx e
e e
e
x x
x x
2 2
2 2
18.
dt e
e
t t
6 3
4
19.
dx
x x
4
4 2
20.
4
4
x xdx
21.
dx
x x
cos 2
1 sin
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk
menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:
1.
c x
dx x
cos sin
2.
c x
dx x
sin cos
3.
c x
dx x
sec ln
tan
=
c x
cos
ln
4.
c
x dx
x csc
ln cot
=
c x
sin ln
5.
c
x x
dx x
tan sec
ln sec
6.
c
x x
dx x
cot csc
ln csc
Berdasarkan bentuk-bentuk integral di atas, selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
a. Bentuk
, sin xdx
m
xdx
m
cos
dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
22
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi m-1 + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas
1 cos
sin
2 2
x x
atau sin
x
2
= 1 - cos
x
2
atau cos
x
2
= 1 - sin
x
2
dan . Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan
tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan. Contoh:
m bilangan ganjil 1.
xdx
3
sin
Jawab
xdx
3
sin
=
dx x
1 1
3
sin
=
x x sin
sin
2
dx =
cos cos
1
2
x d
x
=
cos cos
cos 1
2
x d
x d
=
C x
x
3
cos 3
1 cos
2.
dx x
5
cos
Jawab
dx x
5
cos
=
x
1 1
5
cos
dx =
xdx x cos
cos
4
=
sin
sin 1
2 2
x d
x
=
sin sin
sin 2
1
4 2
x d
x x
=
sin sin
sin sin
2 sin
1
4 2
x xd
x xd
x d
=
c x
x x
5 3
sin 5
1 sin
3 2
sin
3.
dx x
2 sin
5
Jawab: Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
2 du
Sehingga
2
sin 2
sin
5 5
du u
dx x
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
23
=
udu
5
sin 2
1
=
udu u sin
sin 2
1
4
=
cos cos
1 2
1
2 2
u d
u
=
cos
cos cos
2 1
2 1
4 2
u d
u u
=
C u
u u
5 3
sin 10
1 sin
3 1
cos 2
1
=
C x
x x
2 sin
10 1
2 sin
3 1
2 cos
2 1
5 3
Bentuk
xdx
m
cos
,
dx
m
sin
, jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin
x
2
=
2 2
cos 1
x
dan cos
2 2
cos 1
2
x x
Contoh: 1.
xdx
2
sin
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
xdx
2
sin
=
dx
x 2
2 cos
1
=
dx
x 2
2 cos
2 1
=
xdx
dx 2
cos 2
1 2
1
=
C x
x
4
2 sin
2
2.
xdx
4
cos
Jawab
xdx
4
cos
=
2 2
cos x
dx =
dx x
2
2 2
cos 1
=
dx
x x
4 2
cos _
2 2
cos 4
1
=
xdx dx
x dx
2 cos
4 1
2 2
cos 4
1
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
24
= 4
2 sin
4 x
x
+
dx x
2 4
cos 1
4 1
=
C x
x x
x
32
4 sin
8 4
2 sin
4
=
C x
x x
32
4 sin
4 2
sin 8
3
3.
xdx 2
sin
4
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx =
2 du
, sehingga
xdx 2
sin
4
=
2 sin
4
du u
=
du u
2
2 2
cos 1
2 1
=
du u
u 2
cos 2
cos 2
1 4
1 2
1
2
=
udu udu
du 2
cos 8
1 2
cos 4
1 8
1
2
=
du u
udu du
2 4
cos 1
8 1
2 cos
4 1
8 1
=
udu
du udu
du 4
cos 16
1 16
1 2
cos 4
1 8
1
=
C u
u u
u
4
sin 64
1 16
1 2
sin 8
1 8
1
Karena u = 2x, maka
xdx 2
sin
4
=
C x
x x
x
2
4 sin
64 1
2 16
1 2
2 sin
8 1
2 8
1
Soal-soal Tentukan
1.
dx x
4 sin
3
2.
dx x
2 sin
4
3.
dx x
3 cos
4
4.
dx x
5 2
cos
3
5.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
25
b. Bentuk
