9.
dt t
t 2
cos 2
sin
3
10.
xdx
6
tan
11.
dx x
3 cot
4
12.
dx x
x
4
csc cot
13.
xdx x
2 sec
2 tan
2
14.
dx
x x
2
cot tan
15.
xdx x sin
3 sin
16.
ydy 4
csc
4
17.
qdq q
2 4
sec tan
18.
xdx x
3 sin
2 cos
19.
dx x
3 cot
4
20.
zdz z
3 2
1
cos sin
21.
xdx x
2 3
5
sec tan
22.
xdx x
3 cos
cos
23.
dx x
x
2 5
sin 2
sin
2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi fungsi trigonometri
digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk: a.
2 2
x a
, a
Real b.
2 2
a x
=
2 2
x a
, a
Real c.
2 2
a x
, a
Real atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
2 2
2
x b
a
=
2 2
x b
a
x b
a
2 2
=
2 2
x b
a
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
32
2 2
2
b x
a
=
2 2
a
b x
atau
c bx
ax
2
yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk integral yang integrannya memuat
2 2
x a
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi sejenisnya. Selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau sin t =
a x
dengan -
2
2
t
. Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x = a sin t maka
2 2
x a
=
2 2
sin t
a a
=
sin 1
2 2
t a
= a cos t dx = a cos t dt.
Selanjutnya bentuk
t c
x a
cos
2 2
dan
tdt a
dx cos
substitusikan ke dalam integral semula.
Contoh: Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
2
4 x
dx Jawab
Misal x = 2 sin t
sin t =
2 x
dx = 2 cos t dt
2
4 x
=
t t
cos 2
sin 4
4
2
Sehingga
dx x
2
4
tdt t
cos 2
. cos
2
=
tdt t cos
cos 4
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
33
t
x a
2 2
x a
t
x
2
2
4 x
= 4
tdt
2
cos
= 4
dt
t 2
2 cos
1
= 2
dt
+ 2
t 2
cos
dt =
c t
t t
cos sin
2 2
=
2 4
2 2
2 arcsin
2
2
x x
x
+c
Atau 4
tdt
2
cos
= 4
2 cos
sin t
t
+
C t
2 1
= 2 sint cost + 2t + C = 2
2 x
2 4
2
x
+ 2 arc sin
2 x
+ C =
C x
x x
2
arcsin 2
2 4
2
2.
2
4 x
x dx
Jawab
2
4 x
x dx
=
2
2 4
x dx
Misal x-2 = 2 sin t, sin t =
2 2
x
dx = 2 cos t dt
t x
cos 2
2 4
2
, sehingga
2
2 4
x dx
=
t tdt
cos 2
cos 2
=
dt
= t + C = arc sin
2
2 x
+ C 3.
2
6 16
x x
dx
Jawab
2
6 16
x x
dx
=
2
3 25
x dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
34
2
x
2
4 x
x
2
t
Misal x-3 = 5 sin t, dx = 5 cos t dt
2
3 25
x
= 5 cos t, sehingga
2
6 16
x x
dx
=
t tdt
cos 5
cos 5
=
dt
= t + C = arc sin
5 3
x
+ C
Soal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2 2
2 3
2
1 1
1 x
x dx
x dx
2.
dx
x x
2
25
3.
2 2
9 x x
dx
4.
2 2
3 x
x
dx Jawab
Substitusi x =
` sin
3 A
dx =
AdA cos
3
2 2
sin 3
3 3
A x
=
A cos
3
, sehingga
2 2
3 x
x
dx =
AdA A
A cos
3 .
cos 3
sin 3
2
= 9
AdA A
2 2
cos sin
= 9
dA A
A 2
2 cos
1 2
2 cos
1
=
dA A
2 cos
1 4
9
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
35
5
2
6 16
x x
3
x
t
x
t
3
2
3 x
=
dA A
2 4
cos 1
1 4
9
=
AdA dA
dA 4
cos 8
9 8
9 1
4 9
=
C A
A A
sin
32 9
8 9
4 9
=
C A
x
4
sin 4
. 8
9 3
arcsin 8
9
=
C A
A A
A x
sin
cos cos
sin 4
32 9
3 arcsin
8 9
2 2
=
A A
A A
x
2 2
sin cos
cos sin
3 arcsin
8 9
+ C
=
C x
x x
x x
3
3 3
3 3
3 3
arcsin 8
9
2 2
2
5.
2 3
2
4 x
x dx
Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk
2 2
x a
atau bentuk lain yang dapat diubah sejenisnya, selesaiannya menggunakan
substitusi x = a tan t atau
a x
t tan
dan dx = a sec
t
2
, dengan -
2
2
t
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x = a tan t maka
2 2
x a
=
2 2
tan t
a a
=
tan 1
2 2
t a
= a sec t Selanjutnya bentuk
t c
x a
cos
2 2
dan dx = a sec
t
2
.substitusikan ke dalam integral semula.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
36
t
x
2 2
a x
a
Contoh: Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
2
9 x
dx
Jawab Misal x = 3 tan t
dx = 3 sec t
2
dt
2
9 x
3 sec t, sehingga
2
9 x
dx
=
t dt
sec 3
sec 3
3
=
tdt sec
= ln
C t
t
tan
sec
= ln
3 3
9
2
x x
+ C = ln
C x
x
2
9
2.
5
4 1
2
2
x x
dx x
Jawab
5
4 1
2
2
x x
dx x
=
dx x
x x
x x
5 4
1 5
4 2
2 2
=
1
2 1
2 2
2 2
x dx
x xdx
Misal x+2 = tan t x = tan t - 2
dx = sec
2
t dan
1 2
2
x
= sec t, sehingga
1
2 1
2 2
2 2
x dx
x xdx
=
t tdt
t tdt
t sec
sec sec
sec .
2 tan
2
2 2
=
tdt
tdt t
sec 4
sec tan
2
-
t sec
dt
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
37
2
9 x
x
3
t
2
x
5 4
2
x x
1
t
= 2 sec t – 5 ln
C t
t
tan
sec
= 2
C x
x x
x x
2 5
4 ln
5 5
4
2 2
Soal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1.
2 2
9 x
dx
2.
dx x
2
3
3.
dx
x x
1
2
4.
13 4
2
x x
dx
5.
5 2
3
2
x x
xdx
6.
dt t
t
4
2
Bentuk integral yang integrannya memuat
2 2
a x
atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec t tan t dt,
-
2
2
t
. Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x = a tan t maka
2 2
a x
=
2 2
sec a
t a
=
1 sec
2 2
t
a
= a t
tan Selanjutnya bentuk
2 2
a x
= a t
tan dan dx = a
dt t
t tan sec
substitusikan ke dalam integral semula.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
38
t
2 2
a x
x
a
Contoh: Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
dx x
x 9
2
Jawab Misal x = 3 sec t
dx = 3 sec t tan t dt
9
2
x
= 3 tan t, sehingga
dx x
x 9
2
=
tdt t
t t
tan sec
3 sec
3 tan
3
= 3
tdt
2
tan
= 3
dt
t 1
sec
2
= 3 tan t – 3 t + C = 3
C x
arc x
3
sec 3
3 9
2
2.
8 2
2
x x
dx
Jawab
8 2
2
x x
dx
=
9 1
2
x dx
Misal x-1 = 3 sec t, gg dx = 3 sec t tgn t dt
9 1
2
x
= 3 tgn t, sehingga
9 1
2
x dx
=
t tdt
tan 3
tan sec
3
=
tdt sec
= ln
C t
t
tan
sec
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
39
3
x
9
2
x
t
8 2
2
x x
1
x
t
3
= ln
C x
x x
3
8 2
3 1
2
Soal-soal Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1.
dx
x 1
2
dx 2.
25
2 2
x dx
x
3.
dt t
t
3 2
4
4.
2
16 16
x x
dx
5.
6
2
x x
dx
6.
1
2 2
t t
dt
2.4 Integral Parsial Integral Bagian
