sebagai titik yang terpisah sehingga disebut sebagai pencilan Hoaglin et al. 1991.
Gambar 1 Boxplot dan keterangannya.
2.3 Korelasi
Korelasi adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linear antara dua
peubah acak. Nilai korelasi antara peubah x dan y dapat diperoleh dengan rumus berikut
Walpole 2005
dengan i = 1, 2, 3, . . ., n. Nilai korelasi positif menunjukkan bahwa
nilai dua peubah tersebut memiliki hubungan linear positif dan begitu juga sebaliknya.
Semakin dekat nilai korelasi ke -1 atau +1, semakin kuat korelasi antara kedua peubah
tersebut, sebaliknya jika nilai korelasinya mendekati 0 maka semakin lemah korelasi
antara kedua peubah tersebut.
2.4 Analisis Biplot
Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel 1971. Pada dasarnya, analisis ini merupakan
suatu alat statistika yang menyajikan posisi relatif n objek pengamatan terhadap p peubah
secara simultan dalam ruang berdimensi lebih rendah. Jolliffe 1986 mengemukakan dari
analisis biplot dikaji hubungan antar objek dan
peubah, hubungan
antar peubah,
kesamaan antar objek dan penciri masing- masing objek. Melalui analisis biplot akan
diperoleh visualisasi dari segugus objek dan peubah dalam bentuk grafik bidang datar.
Analisis ini dikembangkan berdasarkan Dekomposisi Nilai Singular DNS atau
Singular Value
Decomposition SVD.
Misalkan
n
merupakan matriks data dengan n objek dan p peubah. Kemudian
dikoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya sehingga didapat matriks
, 1
dengan 1 adalah vektor berdimensi
yang semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam S peubah ganda dari data adalah
2
sedangkan matriks korelasi dari
matriks X adalah 3
dengan adalah matriks diagonal dengan unsur
adalah matriks koragam. Misalkan matriks
maka jarak Euclid antara objek ke-i dan objek ke-j
didefinisikan sebagai
dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j sebagai
. Matriks
berukuran , adalah banyaknya objek dan
adalah banyaknya peubah, serta matriks
berpangkat dengan r min{n,p}. Penerapan konsep DNS terhadap
matriks X sebagai berikut: 4
Keterangan:
U dan W masing-masing berukuran
n r dan p r serta
= matriks identitas berdimensi
r L adalah matriks diagonal berukuran
r r dengan unsur-unsur diagonalnya
adalah akar kuadrat dari nilai eigen
sehingga Kolom matriks W adalah vektor
eigen dari matriks
Sedangkan kolom matriks U dapat
dihitung melalui persamaan : 5
dengan adalah nilai eigen ke-i dari matriks
dan
adalah kolom ke-i matriks W.
Menurut Jolliffe 1986 didefinisikan matriks
dan matriks dengan
0 ≤ α ≤ 1. Sehingga persamaan 4 dapat dituliskan
6 dengan demikian setiap unsur ke-
matriks
dapat dituliskan sebagai berikut:
4
1 D
A TA
2 3
Nilai maksimum
Nilai minimum Q
3
Q
1
Me Q
2
7
di mana dan .
Vektor menjelaskan unsur baris objek
ke-i matriks X, dan vektor menjelaskan
unsur kolom peubah ke-j matriks X. Jika X berpangkat dua, maka vektor baris
dan vektor kolom dapat digambarkan
dalam ruang berdimensi dua. Sementara itu, bagi matriks X yang berpangkat lebih dari dua
dapat didekati dengan matriks berpangkat dua, sehingga persamaan 6 dapat ditulis menjadi:
8 dengan
masing-masing dan
mengandung dua unsur vektor dan
, dan
berturut-turut berisi unsur-unsur dua kolom pertama matriks
dan
. Dengan
pendekatan tersebut matriks X dapat disajikan dalam ruang dimensi dua.
Nilai α yang digunakan dapat merupakan
nilai sebarang ∈ [0,1], tetapi pengambilan
nilai- nilai ekstrim yaitu α = 0 dan α = 1
berimplikasi pada interpretasi biplot. 1.
Jika α = 0, maka dan ,
akibatnya:
9
sehingga diperoleh : a.
, dengan
adalah koragam peubah ke-i dan ke-j. Artinya, penggandaan titik antara
vektor dan
akan memberikan gambaran koragam antara peubah ke-
i dan ke-j. b.
, dengan artinya panjang vektor tersebut akan
memberikan gambaran
tentang keragaman peubah
ke-i. Makin panjang vektor
dibandingkan dengan vektor
maka makin besar keragaman peubah
dibanding peubah
. c.
Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh cosinus sudut antara
dan misal :
θ, yaitu: .
Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor
dan , korelasi
peubah ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut:
1 semakin
besar korelasi
positifnya jika θ mendekati 0,
dan korelasi sama dengan 1 jika θ = 0.
2 semakin
besar korelasi
negatifnya jika θ mendekati π,
dan korelasi sama dengan -1 jika θ = π, dan
3 semakin kecil korelasi positif
dan negatifnya jika θ mendekati
dan tidak berkorelasi apabila θ
= .
d.
Jika X berpangkat p maka:
dengan
S adalah matriks koragam yang
diperoleh dari X. Artinya, kuadrat jarak Mahalanobis antara
dan sebanding dengan kuadrat jarak
Euclid antara dan
. 2.
Jika α = 1, maka dan ,
akibatnya:
10
artinya: atau kuadrat jarak Euclid antara
dan akan sama dengan kuadrat jarak Euclid
antara dan
. Informasi penting yang bisa didapatkan
dari tampilan biplot adalah: 1.
Kedekatan antar objek. Dua objek dengan karakteristik sama akan
digambarkan sebagai dua titik yang posisinya berdekatan.
2. Keragaman peubah.
Peubah dengan
keragaman kecil
digambarkan sebagai vektor yang pendek. Begitu pula sebaliknya, sedangkan peubah
dengan keragaman besar digambarkan sebagai vektor yang panjang.
3. Korelasi antar peubah.
Peubah digambarkan sebagai vektor. Jika sudut dua peubah lancip maka korelasinya
bernilai positif. Apabila sudut dua peubah tumpul maka korelasinya bernilai negatif.
Sementara itu, jika sudut dua peubah siku- siku maka tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek.
Karakteristik suatu objek bisa disimpulkan dari posisi relatifnya terhadap suatu
peubah. Jika posisi objek searah dengan arah vektor peubah maka objek tersebut
bernilai diatas rata-rata, jika berlawanan maka nilainya di bawah rata-rata, dan jika
hampir di tengah-tengah maka nilainya mendekati rata-rata.
Ukuran Kesesuaian Biplot
Menurut Gabriel 2002, biplot tidak
hanya sebagai pendekatan matriks data X
dengan menggunakan matriks , tetapi
juga hasil perkalian sebagai pendekatan
dari matriks yang berkaitan dengan
ragam koragam dan korelasi antar peubah dan matriks
sebagai pendekatan bagi yang berkaitan dengan ukuran ketakmiripan
antar objek. Secara umum dan
sebagai pendekatannya. Jika maka
dengan .
Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian GF,
Goodness of Fit analisis biplot ini adalah sebagai berikut :
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi :
X dan H adalah suatu matriks, dimana H
merupakan pendekatan X. Ukuran kesesuaian data untuk biplot pada ruang berdimensi dua,
yaitu:
dengan dinamakan teras dari matriks
segi M atau jumlah elemen diagonal dari M sehingga dapat dituliskan:
.
III PEMBAHASAN
3.1 Data
