Titik-titik dan Garis-garis yang Terhubung de- ngan Segitiga

1 Titik-titik dan Garis-garis yang Terhubung de- ngan Segitiga

Pertama, kita buat beberapa konvensi ntuk mempermudah penulisan. Untuk se- tiap segitiga ABC, kita gunakan notasi untuk panjang, yaitu a = BC, b = CA,

c = AB, s = (a + b + c)/2 dan notasi untuk sudut, yaitu A = ∠BAC, B = ∠ABC, dan C = ∠BCA. Kemudian untuk luas, kita menggunakan notasi [XY Z] untuk menyatakan luas segitiga XY Z. Lebih umum, untuk setiap poligon P , maka [P ] menyatakan luas poligon tersebut.

1.1 Konkurensi dan Kolinearitas pada Segitiga: Teorema Ceva dan Teorema Menelaos

Kita mulai dengan segmen-segmen garis yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan sebuah titik yang terletak pada sisi di depan titik sudut tersebut. Segmen garis seperti itu disebut sebagai cevian (diambil dari nama Giovanni Ceva, seorang matematikawan Italia yang pertama kali menyinggung masalah konkurensi tiga buah cevian).

Teorema Ceva. Misalkan ABC sebuah segitiga dan D, E, F tiga titik yang berturut-turut terletak pada sisi-sisi BC, CA, AB. Maka garis-garis AD, BE, CF konkuren jika dan hanya jika

BD CE AF = 1. DC EA FB

Bukti. Teorema di atas membutuhkan pembuktian ”dua arah”, yaitu: jika AD, BE, CF konkuren, maka kesamaan di atas berlaku dan jika kesamaan berlaku, maka AD, BE, CF konkuren.

F E F'

P'

Gambar 1.

Pertama, kita buktikan dulu bahwa jika AD, BE, CF konkuren maka ke- samaan yang diberikan berlaku. Misalkan P adalah titik perpotongan ketiga garis AD, BE, CF . Perhatikan dua identitas berikut:

BD [ABD]

BD [P BD]

dan

DC [ACD]

DC [P CD]

yang diperoleh dari fakta bahwa jika dua buah segitiga memiliki ”tinggi” yang sama, maka perbandingan luasnya sama dengan perbandingan ”alas”-nya. Dari dua identitas tersebut, kemudian kita peroleh

BD [ABD] − [P BD]

[AP B]

(Mengapa?).

DC [ACD] − [P CD]

[CP A]

Dengan cara yang sama, kita peroleh

CE [BP C]

AF [CP A]

dan

EA [AP B]

FB [BP C]

Jadi,

BD CE AF [AP B] [BP C] [CP A] DC EA FB [CP A] [AP B] [BP C]

Sekarang misalkan kesamaan di atas berlaku. Akan dibuktikan bahwa AD, BE, CF berpotongan di satu titik. Untuk membuktikan hal ini, kita meng- gunakan teknik titik bayangan (phantom point). Perhatikan Gambar 1 sebelah kanan. Misalkan cevian AD dan BE berpotongan di titik P ′ dan garis CP ′ mem- otong sisi AB di titik F ′ . Kita cukup membuktikan bahwa F ′ = F , atau dengan kata lain, kedua titik tersebut berimpit (Mengapa?). Untuk membuktikan hal ini, pertama perhatikan bahwa tiga cevian AD, BE, CF ′ konkuren (bertemu di titik

F ′ ). Dengan demikian, kita punya

BD CE AF ′

BD CE AF

DC EA F ′ B DC EA FB

sehingga

AF

AF ′

F B FB

Dari sini kita simpulkan F = F ′ (Mengapa?) dan kita selesai. Pada kasus-kasus tertentu, teorema Ceva di atas lebih mudah digunakan dalam

bentuk trigonometri berikut: Akibat (”Trig Ceva”). Misalkan ABC sebuah segitiga dan P, Q, R tiga

titik yang berturut-turut terletak pada sisi-sisi BC, CA, AB. Maka garis-garis AP, BQ, CR konkuren jika dan hanya jika

sin ∠CAP sin ∠ABQ sin ∠BCR = 1. sin ∠AP B sin ∠QBC sin ∠RCA

Akibat di atas dapat dibuktikan dengan mudah dengan menggunakan aturan sinus dan teorema Ceva atau secara langsung dengan menggunakan aturan sinus pada beberapa segitiga. Bukti selengkapnya diserahkan kepada pembaca

Tiga buah titik dikatakan kolinear jika terletak pada satu garis. Kriteria kolin- earitas tiga titik yang berada pada ketiga sisi-sisi segitiga diberikan oleh Menelaos.

Teorema Menelaos. Misalkan ABC sebuah segitiga dan D, E, F tiga titik pada garis-garis BC, CA, AB (D, E, F bisa terletak pada perpanjangan sisi-sisi segitiga ABC). Maka D, E, F kolinear jika dan hanya jika

BD CE AF = 1. DC EA FB

Bukti. Pertama, kita buktikan bahwa jika D, E, F kolinear, maka kesamaan yang diberikan berlaku. Buat garis tegak lurus dari tiga A, B, C terhadap garis yang melalui D, E, F dan misalkan P , Q, R adalah ketiga kaki tegaklurusnya (perhatikan Gambar 2).

QF

Gambar 2.

Kita punya tiga kesamaan berikut yang dapat diperoleh dengan meninjau kesebangunan-kesebangunan beberapa segitiga:

BD BQ CE CR

AF AP

, dan

DC CR EA AP

FB BQ

Dengan mengalikan ketiga kesamaan tersebut, kita peroleh

BD CE AF BQ CR AP DC EA FB CR AP BQ

Bukti untuk arah yang satunya (yaitu jika kesamaan berlaku, maka ketiga titik kolinear) dapat dibuktikan dengan menggunakan titik bayangan, sama seperti bukti teorema Ceva. Hal ini dilakukan dengan memisalkan F ′ sebagai perpotongan garis-garis AB dan DE lalu membuktikan bahwa F = F ′ . Bukti selengkapnya diserahkan kepada pembaca.

1.2 Panjang Cevian: Teorema Stewart

Panjang cevian dapat dihitung dengan menggunakan teorema berikut: Teorema Stewart. Misalkan AX adalah sebuah cevian dengan panjang p

yang membagi sisi BC menjadi dua segmen, yaitu BX dengan panjang m dan XC dengan panjang n. Maka berlaku

2 2 a(p 2 + mn) = b m+c n.

Bukti.

Gambar 3.

Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga ABX dan ACX, kita per- oleh

p 2 +n 2 −b 2 cos ∠AXB =

p 2 +m 2 −c 2

dan cos ∠AXC =

2pn Karena ∠AXB = 180 ◦ − ∠AXC, maka cos ∠AXB = − cos ∠AXC atau setara

2pm

dengan cos ∠AXB + cos ∠AXC = 0. Dengan demikian, kita punya

p 2 +m 2 2 2 2 −c 2 p +n −b

2pm

2pn

yang setara dengan

n(p 2 +m 2 2 −c 2 ) + m(p 2 +n 2 −b ) = 0,

atau setara juga dengan

2 2 (m + n)(p 2 + mn) = b m+c n

dan setara dengan kesamaan yang diinginkan, karena m + n = a. Dengan teorema di atas, panjang cevian AX dapat dihitung secara langsung,

yaitu

r b 2 m+c 2 n

p=

− mn.

1.3 Titik-titik dan Garis-garis Istimewa pada Segitiga

Pada sebuah segitiga, terdapat banyak titik dan garis istimewa, namun dalam subbab ini, hanya akan dijelaskan beberapa diantaranya, yaitu garis berat, titik berat, garis tinggi, titik tinggi, garis bagi sudut, titik pusat lingkaran dalam, garis sumbu dan titik pusat lingkaran luar.

1.3.1 Garis Berat (Median) dan Titik Berat (Centroid) Kita mulai dengan definisi garis berat. Garis berat sebuah segitiga adalah garis

yang melalui titik sudut segitiga tersebut dan titik tengah sisi di depannya. Dengan demikian, setiap segitiga akan memiliki tiga garis berat. Dengan menggunakan teorema Ceva, teorema berikut dapat dibuktikan dengan mudah:

Teorema. Misalkan ABC sebuah segitiga dan A ′ ,B ′ ,C ′ titik-titik tengah sisi- sisi BC, CA, AB. Maka garis-garis berat AA ′ , BB ′ , CC ′ konkuren.

Gambar 4.

Titik potong ketiga garis berat sebuah segitiga kemudian dinamakan titik berat. Karena berpotongan di satu titik, maka ketiga garis berat sebuah segitiga akan membagi segitiga tersebut menjadi enam bagian. Selain itu, setiap garis berat akan membagi garis berat lainnya menjadi dua bagian. Kita punya teorema berikut:

Teorema. Misalkan AA ′ , BB ′ , CC ′ adalah tiga garis berat segitiga ABC yang berpotongan di titik berat G. Maka keenam segitiga AGB ′ , AGC ′ , BGA ′ , BGC ′ , CGA ′ dan CGB ′ memiliki luas yang sama.

Bukti. Perhatikan kembali Gambar 4. Karena A ′ ,B ′ ,C ′ berturut-turut adalah titik-titik tengah BC, CA, AB, kita punya bahwa [BGA ′ ] = [CGA ′ ],

[AGB ′ ] = [CGB ′ ], dan [AGC ′ ] = [BGC ′ ]. Kita juga punya bahwa [ABA ′ ]= [ACA ′ ], sehingga

2[AGC ′ ] = [ABG] = [ABA ] − [BGA ]

= [ACA ′

] − [CGA ′ ] = [ACG]

= 2[AGB ′ ],

sehingga [AGC ′ ] = [AGB ′ ]. Dengan cara yang sama diperoleh [BGA ′ ] = [AGB ′ ]= [AGC ′ ], dan kesimpulan mengikuti.

Teorema. Misalkan AA ′ , BB ′ , CC ′ adalah tiga garis berat segitiga ABC yang berpotongan di titik berat G. Maka

AG BG CG

GA ′

GB ′

GC ′

Bukti. Kita gunakan lagi teorema sebelumnya. Kita punya bahwa

AG [ABG]

[AGC ′ ] + [BGC ′ ]

GA [GBA ]

[GBA ′ ]

karena [AGC ′ ] = [BGC ′ ] = [GBA ′ ]. Kesamaan lain dapat diperoleh dengan cara yang sama.

Panjang garis berat sendiri dapat dihitung dengan mudah menggunakan teo- rema Stewart.

1.3.2 Garis Bagi Sudut (Bisector) Garis yang membagi sebuah sudut segitiga menjadi dua bagian yang sama besar

dinamakan garis bagi sudut. Pertama, kita punya teorema berikut: Teorema. Misalkan AA ′ , BB ′ , CC ′ adalah garis-garis bagi sudut segitiga ABC

(dengan demikian, ∠A ′ AB = ∠A ′ AC = 1 2 A, dan seterusnya). Maka

= , dan

Bukti.

B A'

Gambar 5.

Dengan aturan sinus pada segitiga-segitiga AA ′

B dan AA ′

C, kita peroleh

A ′ B sin ∠A ′ AB A ′ C sin ∠A ′ AC

dan

AB sin ∠AA ′

B AC sin ∠AA ′ C

Karena ∠A ′ AB = ∠A ′ AC dan sin ∠AA ′

B = 180 ◦

−sin ∠AA ′

C, maka sin ∠A ′ AB =

sin ∠A ′ AC dan sin ∠AA B = sin ∠AA

C. Akibatnya,

sin ∠A ′ AB sin ∠A AC A ′ C

AB sin ∠AA ′ B sin ∠AA ′ C AC

sehingga kita peroleh

A ′ B AB c

A C AC b

Dua kesamaan sisanya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Dengan menggunakan teorema di atas dan teorema Ceva atau langsung dengan

menggunakan Trig Ceva, kita peroleh teorema berikut: Teorema. Misalkan AA ′ , BB ′ , CC ′ adalah tiga garis bagi sudut segitiga ABC.

Maka ketiga garis tersebut konkuren. Selain itu, karena perbandingan A ′ B/A ′

C dapat dinyatakan dalam panjang sisi-sisi a, b, c, maka panjang A ′

C dan A ′ B+A ′

C juga dapat dinyatakan dalam a, b, c. Selanjutnya, dengan teorema Stewart, panjang garis bagi sudut AA ′ juga dapat dihitung. Perhitungan ini diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

B dan A ′

1.3.3 Garis Tinggi (Altitude) dan Titik Tinggi (Orthocenter) Garis tinggi sebuah segitiga adalah garis yang melalui titik sudut sebuah segitiga

dan tegak lurus dengan sisi di depannya. Kita punya teorema berikut

Teorema. Misalkan AA ′ , BB ′ , CC ′ garis-garis tinggi sebuah segitiga (dengan demikian, AA ′ tegak lurus BC, dan seterusnya). Maka ketiga garis tersebut konkuren.

Bukti.

Gambar 6.

Kasus dimana ABC segitiga siku-siku trivial (sangat jelas dan tidak ada yang perlu dibuktikan), karena ketiga garis tinggi akan berpotongan pada titik sudut siku-siku segitiga ABC). Jadi kita cukup meninjau dimana ABC bukan segitiga siku-siku.

Sekarang akan kita buktikan teorema tersebut untuk kasus dimana ABC se- gitiga lancip. Kita punya bahwa

AA ′

AA ′

′ = tan B dan

= tan C.

BA CA ′

Dengan demikian,

BA ′

tan C

CA ′

tan B

Dengan cara yang sama, diperoleh

CB ′

tan A

AC ′

tan B

dan

AB ′

tan C

BC ′

tan A

Akibatnya,

BA ′ CB ′ AC ′

tan C tan A tan B

A ′ C B ′ A C ′ B tan B tan C tan A

sehingga AA ′ , BB ′ , CC ′ konkuren. Kasus terakhir dimana segitiga ABC tumpul diserahkan kepada pembaca. Satu

hal yang perlu diperhatikan dalam pembuktian kasus tersebut adalah bahwa titik perpotongan ketiga garis tinggi terletak di luar segitiga ABC.

Titik potong ketiga ketiga garis tinggi sebuah segitiga selanjutnya disebut se- bagai titik tinggi (orthocenter) segitiga. Kemudian, sama seperti pada garis bagi sudut, panjang BA ′ dan CA ′ dapat dinyatakan dalam panjang sisi-sisi a, b, c dan fungsi trigonometri sudut-sudut A, B, C. Dengan menyatakan fungsi trigonometri sudut dalam panjang sisi (misalnya dengan aturan cosinus), panjang BA ′ dan CA ′ dapat dinyatakan dalam panjang sisi-sisi a, b, c. Selanjutnya, teorema Stewart dapat digunakan untuk menghitung panjang garis tinggi AA ′ .

1.3.4 Garis Sumbu (Perpendicular Bisector) Garis sumbu sebuah segitiga adalah garis yang melalui titik tengah sebuah sisi dan

tegak lurus terhadap sisi tersebut. Kita punya teorema berikut: Teorema. Misalkan l A ,l B ,l C adalah garis-garis sumbu segitiga ABC yang

berturut-turut tegak lurus terhadap sisi-sisi BC, CA, AB (dengan demikian, l A melalui titik tengan BC, dan seterusnya). Maka l A ,l B ,l C konkuren. Bukti. Kita tidak dapat menggunakan teorema Ceva untuk membuktikan teorema ini karena garis-garis sumbu sebuah segitiga bukan merupakan cevian. Untuk membuktikan teorema ini, kita cukup membuktikan bahwa titik potong dua buah garis terletak pada garis yang ketiga (Mengapa?).

B'

B A'

Gambar 7.

Misalkan A ′ ,B ′ ,C ′ berturut-turut adalah titik-titik tengah sisi-sisi BC, CA, AB. Misalkan juga O adalah perpotongan garis l A dan l B . Sekarang akan dibuk- tikan bahwa O terletak pada garis l C . Pertama, tinjau segitiga OA ′

B dan OA ′ C. Dengan teorema Pythagoras pada kedua segitiga tersebut dan karena A ′ adalah titik tengah sisi BC, kita punya

OB = A ′ B 2 +A ′ O 2 = A ′ C 2 +A ′ O 2 = OC. Dengan cara yang sama, kita punya bahwa OC = OA. Jadi, kita punya OA = OB,

sehingga OAB segitiga sama kaki. Oleh karena itu, garis tinggi segitiga OAB dari

1.4 Lingkaran Dalam (incircle) dan Lingkaran Luar Segit- iga (circumcircle)

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga dari dalam dan lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik- titik sudut segitiga. Kita punya beberapa teorema berikut mengenai titik pusat lingkaran dalam dan luar serta panjang jari-jarinya.

Teorema. Titik perpotongan ketiga garis bagi sudut segitiga ABC adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga ABC dan panjang jari-jarinya sama dengan [ABC]/s.

Bukti.

Gambar 8.

Misalkan AA ′ , BB ′ dan CC ′ adalah ketiga garis bagi sudut segitiga ABC yang berpotongan di titik I. Misalkan juga P , Q, R berturut-turut adalah kaki tegak lurus titik I pada sisi-sisi BC, CA, AB, atau dengan kata lain, P , Q, R terletak pada sisi-sisi BC, CA, AB sedemikian hingga IP tegak lurus BC, IQ tegak lurus CA dan IR tegak lurus AB. Karena ∠QAI = ∠CAA ′ = ∠BAA ′ = ∠RAI dan ∠AQI = 90 ◦ = ∠ARI maka kedua segitiga siku-siku AQI dan ARI sebangun. Kemudian karena sisi miring kedua segitiga siku-siku tersebut berimpit (sehingga sama panjang), maka kedua segitiga tersebut sebangun. Oleh karenanya, kita punya bahwa IQ = IR. Dengan cara yang sama, diperoleh juga bahwa IP = IQ. Jadi kita peroleh IP = IQ = IR. Akibatnya, lingkaran dengan pusat I dan berjari-jari IP = IQ = IR menyinggung sisi-sisi BC, CA, AB. Lingkaran tersebut

Sekarang misalkan r menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Karena segitiga AQI dan ARI kongruen maka AQ = AR dan

[AQIR] = 2 × [AQI] = 2 × · AQ · IQ = (AQ + AR) · r.

Dengan cara yang sama, diperoleh

[BRIP ] = (BR + BP ) · r dan [CP IQ] = (CP + CQ) · r.

Akibatnya, [ABC] = [AQIR] + [BRIP ] + [CP IQ]

= (AQ + AR) · r + (BR + BP ) · r + (CP + CQ) · r

(AR + BR + BP + CP + CQ + AQ) · r

(AB + BC + CA) · r

2 = sr,

atau setara dengan r = [ABC]/s.

Teorema. Titik perpotongan ketiga garis sumbu segitiga ABC adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC dan panjang jari-jarinya sama dengan abc/4[ABC]. Bukti.

Gambar 9.

Misalkan l A ,l B ,l C adalah ketiga garis sumbu segitiga ABC dan O adalah per- potongan ketiga garis tersebut. Dengan cara yang sama seperti bukti teorema konkurensi garis sumbu, kita peroleh bahwa OA = OB = OC. Akibatnya, O adalah titik pusat lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga ABC (yaitu lingkaran yang berpusat di O dengan panjang jari-jari OA = OB = OC). Ling- karan tersebut selanjutnya dinamakan lingkaran luar segitiga (circumcircle) ABC dan titik pusatnya disebut titik pusat lingkaran luar segitiga (circumcenter) ABC.

Sekarang misalkan AL adalah sebuah garis tinggi segitiga ABC, sehingga AL

= sin B dan [ABC] = × BC × AL. AB 2

Jadi,

1 1 1 [ABC] = × BC × AL = × BC × AB sin B =

ac sin B.

2 2 2 Selanjutnya dengan aturan sinus, kita punya bahwa

b = 2R, sin B

sehingga

1 1 b abc

[ABC] =

ac sin B =

ac ×

2 2 2R

4R

atau setara dengan

abc

R=

4[ABC]