Persamaan dan Sistem Persamaan dalam Bilangan Bulat

4.2 Persamaan Diophantine Non Linear Persamaan ini sangat banyak bentuknya, kita tidak mungkin mengkarakteristik satu persatu. Di

sini kita hanya memaparkan dengan beberapa teknik melalui contoh-contoh soal: Contoh 5 (teknik pemfaktoran) Tentukan solusi bulat dari persamaan xy = 2x − y. Jawab: Perhatikan bahwa soal di atas ekivalen dengan xy − 2x + y = 0, dengan menambahkan masing-

masing ruas dengan −2, akan diperoleh xy − 2x + y − 2 = −2 dan ini dapat difaktorkan menjadi (x + 1) (y − 2) = −2. Karena x dan y bilangan bulat, maka demikian juga dengan x + 1 dan y − 1. Dengan demikian, ada 4 kejadian yang mungkin

(i). x + 1 = −1 dan y − 2 = 2. Dari sini diperoleh solusi x = −2, y = 4, (ii). x + 1 = 1 dan y − 2 = −2. Dari sini diperoleh solusi x = 0, y = 0, (iii). x + 1 = 2 dan y − 2 = −1. Dari sini diperoleh solusi x = 1, y = 1, (iv). x + 1 = −2 dan y − 2 = 1. Dari sini diperoleh solusi x = −3, y = 3.

Mudah dicek bahwa keempat pasang solusi memenuhi persamaan yang diberikan. Jadi semua solusinya dapat kita nyatakan dalam pasangan (−2, 4) , (0, 0) , (1, 1) , dan (−3, 3) . Cotoh 6 (teknik pembatasan)

Tentukan bilangan asli a, b, c sehingga 1 a + 1 b + 1 c = 1.

Jawab: Perhatikan bahwa persamaan di atas simetri, artinya jika a kita tukar dengan b dan b kita

tukar dengan a persamaan tidak berubah. Sehingga dapat kita asumsikan a ≥ b ≥ c. Akibatnnya 1= 1 a + 1 1 1 1 1 b 3 + c ≤ c + c + c = c ⇔ c ≤ 3. Dari sini kita hanya cukup mengecek untuk c = 1, 2, 3.

• c = 1, kita substitusikan ke persamaan awal akan kita peroleh 1

a + 1 b = 0, dan ini tidak punya penyelesaian bilangan asli.

1 1 • c = 2, kita substitusikan ke persamaan awal akan kita peroleh 1

1 = 1 + 1 Karena a ≥ b, maka kita peroleh 2

2 a b ≤ b ⇔ b ≤ 4. dan juga kita punya b ≥ c = 2. .

• b = 2 tidak ada a yang memenuhi. . b = 3, kita peroleh a = 6.

. b = 4, kita peroleh a = 4.

1 1 • c = 3, kita substitusikan ke persamaan awal akan kita peroleh 2

3 = a + b ≤ b ⇔ b ≤ 3. dan juga kita punya b ≥ c = 3 jadi b = 3, sehingga kita peroleh a = 3.

2 1 1 Karena a ≥ b, maka kita peroleh 2

Kita peroleh pasangan solusi (6, 3, 2) , (4, 4, 2) , (3, 3, 3). Perhatikan bahwa awalnya kita asum- sikan a ≥ b ≥ c, padahal bisa saja a ≥ c ≥ b atau yang lainnya. Tetapi karena persamaan- nya simetris, maka solusi yang lainnya tingal diubah urutannya. Jadi semua solusinya adalah

(6, 3, 2) , (6, 2, 3) , (3, 2, 6) , (3, 6, 2) , (2, 3, 6) , (2, 6, 3) , (4, 4, 2) , (4, 2, 4) , (2, 4, 4) , dan (3, 3, 3) . Contoh 7 (teknik keterbagian) Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi pesamaan

2 2 (x + 1) 2 + (x + 2) + ... + (x + 99) =y 2

Jawab: Andaikan terdapat bilangan bulat x dan y yang demikian. Kita jabarkan yang ruas kiri, yakni:

(x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 99) = 99x 2 + 99 (100) x +

= 99 x 2 + 100x

2 . Perhatikan bahwa ruas kiri habis dibagi 3, akibatnya ruas kanan juga habis dibagi 3. Akan tetapi, karena ruas kanan merupakan

dengan demikian kita punya 99 x 2 + 100x

kuadrat sempurna maka ruas kanan juga kan dibagi 9. Tentu saja ruas kiri juga havis dibagi 9, akibatnya 33.50.199 habis dibagi 9 yang jelas ini tidak mungkin.

Contoh 8 (teknik parameter) Tunjukkan bahwa persamaan x 2 +y 2 =x 3 mempunyai tak hingga banyaknya solusi asli. Jawab: Persamaan di atas dapat kita tulis sebagai y 2 =x 3 2 2 −x 2 atau ekivalen dengan y =x (x − 1) . Oleh karena itu, agar persamaan tersebut punya solusi, kita harus punya x − 1 merupakan kuadrat

sempurna. Dengan mengambil x = n 2 + 1 dan y = n n 2 +1 mudah ditunjukkan bahwa pasangan n 2 + 1, n n 2 +1

ada tak hingga.

4.3 Sistem Persamaan Diophantine Telah kita bahas beberapa jenis dan contoh Persamaan Diophantine serta cara menyelesaikannya.

Nah, untuk menyelesaikan sistem persamaan Diophantine kita dapat membawa ke dalam bentuk Persamaan Diophantine seperti yang telah kita kenal. Pada dasarnya, kita akan mencari solusi bilangan asli yang memenuhi semua persamaan yang diberikan secara simultan.

4.4 Soal-soal Latihan

1. Ada berapa banyak pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi persamaan 2x+3y = 1000?

2. Banyak pasangan bilangan asli (x, y) yang memnuhi persamaan 1 x 1 − y = 1 3 adalah...

3. Banyaknya bilangan asli n sehingga 3 n + 81 merupakan kuadrat sempurna adalah..

4. Bilangan bulat positif terkecil n sehingga 31 membagi 5 n + n adalah...

5. Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang menyebabkan 1 a + 1 b + 1 c merupakan bilangan asli.

6. Tentukan semua pasangan bilangan bulat non negatif yang memenuhi persamaan

(xy − 7) 2 =x 2 +y 2

7. Diketahui x, y, z, dan n adalah bilangan-bilangan asli yang memenuhi

x n +y =z

Tunjukkan bahwa x, y, dan z semuanya lebih besar dari n.

8. Tentukan semua bilangan real a sehingga persamaan kuadrat x 2 + ax + 6a = 0 mempunyai dua solusi yang keduanya bulat.

9. Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi

x 4 +x 3 +x 2 +x+1=y 2

10. Carilah semua bilangan prima p sehingga sistem persamaan

p + 1 = 2x 2 p 2 + 1 = 2y 2

mempunyai solusi bulat.