Fungsi Tangga

5 Fungsi Tangga

Dalam dunia jual beli, biasanya penjual ingin menjual harganya semahal mungkin, dan sebaliknya pembeli ingin membeli barang yang ia inginkan semurah mungkin. Bahkah, kadang-kadang jika harganya tidak bulat ribuan misalnya 7.300 maka penjual ingin dibayar 7.500, sebaliknya pembeli ingin membayar dengan harga yang dibulatkan ke bawah yaitu 7.000. Nah, dalam ilmu matematika kita akan mengenal fungsi yang digunakan oleh penjual dan pembeli di atas. Fungsi yang akan kita pelajari jika digambarkan pada bidang kartesius akan berbentuk seperti tangga. Ada 3 macam fungsi tangga yang akan kita bahas dalam bab ini, yaitu fungsi floor (pembulatan ke bawah), fungsi ceiling (pembulatan ke atas), dan fungsi bulat (pembulatan ke bilangan bulat yang terdekat).

5.1 Fungsi floor Fungsi floor disebut juga fungsi pembulatan ke bawah, yakni dengan mengambil bagian bulatnya.

Untuk sebarang bilangan real x,nilai fungsi floor dari x kita tulis dengan ⌊x⌋ . Definisi 1

Misalkan x adalah sebarang bilangan real. Nilai fungsi floor x kita tulis dengan ⌊x⌋ merupakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.

Contoh: ⌊3, 14⌋ = 3, ⌊−2, 5⌋ = −3,

Definisi 2 Untuk sebarang bilangan real x, notasi {x} menyatakan bagian pecahan dari x.

Secara matematika, definisi di atas dapat kita tuliskan

{x} = x − ⌊x⌋

Dari sini jelas bahwa untuk sebarang bilangan real x berlaku 0 ≤ {x} < 1. Contoh:

= 0, 41..., dan lain sebagainya.

Langsung dari definisi, kita dapat menurunkan beberapa sifat sebagai berikut:

1. Untuk sebarang bilangan real x selalu berlaku x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x,

2. ⌊x⌋ = x jika dan hanya jika x ∈ Z,

3. ⌊x + k⌋ = ⌊x⌋ + k untuk sebarang bilangan bulat k,

4. ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ untuk setiap x, y ∈ R,

5. ⌊xy⌋ ≤ ⌊x⌋ ⌊y⌋ untuk setiap x, y ∈ R. Sifat 1, 2, dan 3 trivial. Di sini kita hanya akan membuktikan sifat 4, sedangkan untuk sifat 5

buktinya hampir sama dengan pembuktian sifat 4 dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti sifat 4. Tulis x = ⌊x⌋ + {x} dan y = ⌊y⌋ + {y} , akan kita peroleh

⌊x + y⌋ = ⌊⌊x⌋ + ⌊y⌋ + {x} + {y}⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + ⌊{x} + {y}⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋

Contoh 1 Untuk sebarang bilangan real x, tunjukkan bahwa

Bukti: Tulis x = ⌊x⌋ + {x} dengan 0 ≤ {x} < 1. Kita bagi 2 kasus, yaitu jika 0 ≤ {x} < 1

2 dan

2 ≤ {x} < 1. (i). untuk 0 ≤ {x} < 1

2 , kita punya

⌊2x⌋ = ⌊2 ⌊x⌋ + 2 {x}⌋ = 2 ⌊x⌋ + ⌊2 {x}⌋ = 2 ⌊x⌋

yang jelas bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

(ii). untuk 1 2 ≤ {x} < 1, kita punya

dan ⌊2x⌋ = ⌊2 ⌊x⌋ + 2 {x}⌋ = 2 ⌊x⌋ + ⌊2 {x}⌋ = 2 ⌊x⌋ + 1

yang juga jelas bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Perhatikan bahwa jika n dan a adalah sebarang bilangan asli, mudah dipahami bahwa ⌊n/a⌋ merupakan banyaknya bilangan kelipatan a di antara 1, 2, ..., n. Fakta ini sederhana tetapi dapat kita gunakan untuk menyelesaikan beberapa permasalahan seperti pada contoh berikut.

Contoh 2 Tentukan banyak anggota himpunan {1, 2, ..., 100} yang habis dibagi 2 atau 3. Jawab: Banyak bilangan kelipatan 2 ada ⌊100/2⌋ = 50, banyak bilangan kelipatan 3 ada ⌊100/3⌋ = 33,

dan banyak bilangan kelipatan 2 dan 3 ada ⌊100/6⌋ = 16. Oleh karena itu, dengan prinsip inklusi eksklusi kita peroleh bahwa banyak kelipatan 2 atau 3 ada ⌊100/2⌋ + ⌊100/3⌋ − ⌊100/6⌋ = 50 +

33 − 16 = 67 bilangan. Contoh 3 Hitung banyak nol di sebelah kanan tanpa terputus dari 31!.

Jawab: Angka nol di sebelah kanan tanpa terputus pada 31! akan dihasilkan pada saat kita menga-

likankelipatan 10, dan faktor 10 ini didapat dari kelipatan genap dan kelipatan 5. Karena banyak kelipatan 2 lebih banyak daripada banyak kelipatan 5, maka kita cukup menghitung kelipatan 5. Perhatikan juga bahwa mungkin bilangan kelipatan 5 yang kita kalikan tersebut juga merupakan kelipatan 25 dan jika dikalikan dengan bilangan kelipatan 4 akan menghasilkan bilangan kelipatan 100 yang akan menambah nol di sebelah kanan sebanyak 2, akan tetapi sebanyak 1 nol telah telah kita masukkan saat kita menghitung kelipatan 5. Dengan demikian, banyak nol di sebelah kanan tanpa terputus dari 31! adalah ⌊31/5⌋ + ⌊31/25⌋ = 6 + 1 = 7 nol.

5.2 Fungsi ceiling Fungsi floor disebut juga fungsi pembulatan ke atas. Untuk sebarang bilangan real x,nilai fungsi

ceiling dari x kita tulis dengan ⌈x⌉ . Definisi 3 Misalkan x adalah sebarang bilangan real. Nilai fungsi ceiling x kita tulis dengan ⌈x⌉ merupakan

bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Contoh: ⌈3, 14⌉ = 4, ⌈−2, 5⌉ = −2,

5.3 Fungsi bulat Fungsibulat disebut juga fungsi pembulatan ke bilangan bulat terdekat. Untuk sebarang bilangan

real x,nilai fungsi bulat dari x kita tulis dengan [x] . Definisi 4

Misalkan x adalah sebarang bilangan real. Nilai fungsi bulat x kita tulis dengan [x] merupakan bilangan bulat terdekat dengan x. Jika x = k+ 1 2 untuk suatu bilangan bulat k, maka kita definisikan [x] = k + 1. Contoh: [3, 14] = 3, [−2, 5] = −2,

Dari definisi di atas, kita dapat menurunkan beberapa sifat berikut:

1. ⌊x⌋ ≤ [x] ≤ ⌈x⌉ untuk setiap bilangan real x.

2. ⌈x⌉ = x jika dan hanya jika [x] = x,

3. ⌈x + k⌉ = ⌈x⌉ + k dan [x + k] = [x] + k untuk sebarang bilangan bulat k,

4. ⌈x⌉ + ⌈y⌉ ≥ ⌈x + y⌉ untuk setiap x, y ∈ R,

5. ⌈xy⌉ ≤ ⌈x⌉ ⌈y⌉ untuk setiap x, y ∈ R. Contoh 4

Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan real x selalu berlaku

Jawab: Tulis x = ⌊x⌋ + {x} , dengan 0 ≤ {x} < 1. Jika 0 ≤ {x} < 1

2 maka

Jika 2 ≤ {x} < 1 maka

Contoh 5 Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan

(soal OSN SMA tahun 2003, bidang matematika) Jawab:

Perhatikan bahwa jika x 2 bulat maka

2 yang jelas

bukan bilangan bulat. Jadi, x 2 harus bukan bilangan bulat. Akibatnya

√ √ 1001 atau < 1002 yang kemudian kita dapatkan penyelesaiannya adalah − √ 1002 < x ≤ −

1001 ≤ x < 1002.

5.4 Soal-soal Latihan

1. Buktikan atau beri contoh penyangkal dari pernyataan-pernyataan berikut (a) [x + y] ≤ [x] + [y] untuk setiap x, y ∈ R,

(b) [xy] ≤ [x] [y] untuk setiap x, y ∈ R, j ⌊x⌋ (c) k

2. Misalkan x dan y adalah bilangan real yang memenuhi ⌊x + y⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋ dan ⌊−x − y⌋ = ⌊−x⌋ + ⌊−y⌋ . Buktikan bahwa x atau y merupakan bilangan bulat.

3. Untuk setiap bilangan real x didefinisikan ⌊x⌋ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Misalkan a dan b adalah bilangan real positif sehingga a ⌊a⌋ = 17 dan b ⌊b⌋ = 11. Tentukan nilai dari a − b.

5. Cari semua bilangan asli n sehingga banyak nol di sebelah kanan tanpa terputus dari n! tepat ada 10 nol.

6. Diketahui S = {1, 2, ..., 100} . Hitung banyaknya anggota S yang merupakan kelipatan 2 atau kelipatan 3 tetapi bukan kelipatan 5.

7. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan ⌊x⌋ ⌈x⌉ = x 2

8. Hitung banyak bilangan real x dengan 1 ≤ x ≤ 100 yang memenuhi persamaan

(m+1) 2 k j (m+2) 2 9. Tunjukkan bahwa untuk setiap m bilangan asli, k

3 merupakan kuadrat sempurna.

10. Misalkan a n = 1+ 2 . Tunjukkan bahwa a n ganjil jika n genap, dan genap jika n ganjil.