Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Jumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B.

Misalnya:

• e Matriks f —

• ac —

µ dapat dijumlahkan dengan matriks ³ ; µ

– bd ˜

– gh ˜

• abc Matriks —

• ghi — dapat dijumlahkan dengan matriks

– de f µ

– jkl µ ˜

dan seterusnya. Secara umum, jika matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] maka matriks

A + B = [a ij ] + [b ij ] = [a ij +b ij ].

Mari Bagaimana jika kedua matriks mempunyai ordo yang tidak Berdiskusi sama?

Misalnya:

matriks ³

µ dengan matriks µ . Dapatkah

– bd

– de f ˜

kedua matriks itu dijumlahkan? Coba kalian diskusikan dengan teman-temanmu.

Setelah melakukan diskusi tentang permasalahan di atas, tentu kalian dapat menyimpulkan sebagai berikut.

Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah mempunyai ordo yang sama.

94 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Contoh:

Diketahui A = ³

tidak dapat dijumlahkan

karena ordonya tidak sama.

Problem

• 2 x + 1 — • 4 x — • 4 — Solving Carilah nilai x dan y yang memenuhi ³ 3 y µ + ³ µ = ³ 8 µ .

Jawab:

Terlihat dari persamaan matriks ini, diperoleh 6x + 1 = 3

‹ x=

dan 4y = 8 ‹ y = 2. Jadi, diperoleh nilai x = dan

y = 2.

Matriks 95

2. Pengurangan Matriks

a. Lawan Suatu Matriks

Sebelum kita membahas tentang pengurangan matriks, terlebih dahulu akan kita bicarakan mengenai lawan suatu matriks.

Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen- elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara lebih jelas, dari suatu matriks A = [a ij ] dapat ditentukan lawan matriks yang ditulis dengan –A sehingga –A = [–a ij ]. Misalnya sebagai berikut.

Jika A = ³

µ , lawan matriks A adalah –A = ³ .

Jika B = ³

< 1 µ µ , lawan matriks B adalah –B =

b. Pengurangan terhadap Matriks

Pengurangan matriks A dan B, ditulis A – B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian letak dari matriks A dan B. Atau, matriks A – B adalah matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan matriks A dengan lawan dari matriks B, yaitu

A – B = A + (–B)

dengan –B adalah lawan matriks B. Seperti halnya dengan penjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau lebih dapat dikurangkan adalah mempunyai ordo yang sama. Secara umum, jika A = [a ij ] dan B = [b ij ] maka A – B = [a ij ] – [b ij ] = [a ij ] – [b ij ]

Contoh 1:

Diketahui A = ³

dan B =

. Tentukan A – B.

Jawab:

Cara 1 : • 2 1 •< 2 Karena –B = – 1 < — —

µ = maka

96 Khaz Matematika SMA 3 IPS

A – B = A + (–B) = ³

Cara 2 :

A –B= ³

Contoh 2:

Hitunglah X jika diketahui ³

3. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

Agar kalian dapat menemukan sendiri sifat-sifat penjum- lahan matriks, lakukan Aktivitas berikut.

Aktivitas

Tujuan

: Menemukan sifat-sifat penjumlahan

matriks

Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada penjumlahan matriks?

Kegiatan

: Kerjakan soal-soal berikut di buku tugas. • 3 1 —

1. Diketahui matriks A = ³

, dan C = .

– 7 8 ˜ Tentukan hasil penjumlahan berikut, kemudian tentukan sifat apa yang berlaku.

2. Untuk matriks A = ³

2 < 2 7 µ – dan O ˜

0 0 µ – , dengan ordo A adalah 2 0 ˜ dan ordo O adalah 2 ×

3, apakah A + O = O + A? Apakah A + O = O + A berlaku untuk semua matriks yang dapat dijumlahkan?

3. Diketahui matriks A = ³ . – 5 < 7 < 4 µ ˜ Tentukan A + (–A) dan (–A) + A. Matriks apakah yang kalian peroleh?

Kesimpulan : Berdasarkan kegiatan di atas, sifat apa saja yang kalian peroleh?

Perhatian Berdasarkan Aktivitas di atas dapat ditemukan sifat-sifat

penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut.

Untuk pengurangan matriks

Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka pada

tidak berlaku sifat komu-

penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut.

tatif, sifat asosiatif, dan tidak mempunyai unsur

a. A + B = B + A (sifat komutatif)

identitas.

b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)

c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga

A + O = O + A = A.

d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = (–A) + A = O.

Mari Coba kalian buktikan sifat-sifat penjumlahan matriks di atas, Berdiskusi dengan memisalkan matriks A = [a ij ], B = [b ij ], C = [c ij ], dan O = [o ij ],

Inkuiri

• a 11 a 12 .... a 1 n —

a a .... a n µ ij = 0. Ingat matriks A = ³ 21 22 2 µ dapat

untuk o

MM M µ

µ – a m 1 a m .... 2 a mn ˜

ditulis [a ij ];

i = 1, 2, 3 ... m j = 1, 2, 3 ... n

98 Khaz Matematika SMA 3 IPS

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 3

4 dan B = 5 0 µ

1. Diketahui matriks A =

2. Diketahui matriks P = ³

3. Tentukan lawan dari matriks-matriks berikut. • < 2 < 5 8 —

a. A = [ 3 < 45 ]

4. Carilah nilai a, b, c, dan/atau d yang memenuhi persamaan berikut.

a. [ abc ] + [ < 567 ] = [ 32 < 1 ]

b. ³ b µ ³ 5 µ

• a 3 b — • 16 10 — • < 12 4 —

c. ³

5. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut. • 5 < 1 —

6. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut. • x —

Tentukan nilai

8. Tabel berikut menunjukkan nilai ujian yang diperoleh Nia dan Doni untuk mata pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggris.

100 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Ujian Ke-3 Mata Pelajaran

Ujian Ke-1

Ujian Ke-2

Nia Doni

Matematika 96 75 80 83 95 93 Sejarah

67 73 81 87 68 75 TIK

76 79 82 81 85 86 Bahasa Inggris

a. Misalkan matriks A menyatakan ujian ke-1, matriks B menyatakan ujian ke-2, dan matriks C menyatakan ujian ke-3. Nyatakan nilai-nilai tersebut dalam bentuk matriks.

b. Tentukan hasil A + B + C.

c. Untuk mata pelajaran apakah jumlah nilai Doni lebih tinggi dari nilai Nia?

9. Vina dan Adi belanja barang-barang keperluan sekolah di toko yang sama. Vina membeli 2 buku dan 3 pena dengan membayar Rp6.000,00. Adi membeli 4 buku dan 3 pena dengan membayar Rp9.000,00. Nyatakan jumlah barang- barang yang dibeli kedua anak tersebut dalam matriks. Nyatakan pula harga-harga barang itu dalam suatu matriks. Dapatkah matriks jumlah barang dan matriks harga-harga barang di atas dijumlahkan? Mengapa?

10. Berikut diberikan daftar harga barang kebutuhan pokok (per kg) dalam 4 hari di 3 toko yang berbeda dalam rupiah.

a. Nyatakan daftar harga barang kebutuhan pokok di atas dalam bentuk matriks.

b. Tentukan jumlah harga barang selama 4 hari berturut- turut.

c. Dari hasil b, harga barang apakah dan di toko manakah yang paling murah dan paling mahal?

Nama Minggu

Barang Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C