Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

1. Pengertian Matriks

Untuk memahami pengertian tentang matriks, perhatikan contoh berikut. Seorang siswa mencatat hasil ulangan hariannya untuk pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggris dalam tabel berikut.

Mata Pelajaran

Ulangan I

Ulangan II

Ulangan III Ulangan IV

B. Inggris

82 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.

Tugas: Dalam membaca tabel di atas, siswa tidak mengalami

Observasi

kesulitan karena dia sudah tahu bahwa baris ke-1 adalah nilai

• Kerjakan di buku tugas

Matematika, baris ke-2 nilai Sejarah, baris ke-3 nilai TIK, dan baris ke-4 nilai Bahasa Inggris. Untuk kolom pertama

Ambillah sebuah surat kabar. Carilah daftar harga

menyatakan nilai ulangan I, kolom ke-2 adalah nilai ulangan II,

dasar kebutuhan bahan

dan seterusnya.

pokok, daftar hasil skor

Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut

pertandingan sepak bola,

baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah

atau daftar nilai tukar mata uang. Buatlah daftar tersebut

kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom

menjadi bentuk matriks.

disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang

Bagaimanakah hasilnya,

ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada

apakah bentuknya lebih

matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6

ringkas?

dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat dilihat dengan mudah pada matriks berikut.

baris ke-1

³ baris ke-2 µ

baris ke-3

baris ke-4

kolom ke-4 kolom ke-3 kolom ke-2 kolom ke-1

Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-3 kolom ke-4 adalah 6. Elemen matriks baris ke-2 kolom ke-3 adalah 8.

2. Notasi dan Ordo Matriks

Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf kapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemen matriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, a ij untuk menyatakan tiap elemen matriks A, b ij untuk menyatakan tiap elemen B, dan seterusnya.

Matriks 83

Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapat mendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut.

Suatu matriks A berukuran m × n adalah susunan berbentuk persegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom.

Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut. • a 11 a 12 .... a 1 j .... a 1 n —

³ a µ ³ 21 a 22 .... a 2 j .... a 2 n µ

µ ³ a i 1 a i 2 .... a ij .... a in µ

– a m 1 a m 2 .... a mj .... a mn µ ˜

a ij menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j. Untuk ukuran m × n, sering kali disebut ordo suatu matriks

sehingga matriks A dapat ditulis A m × n .

Kadang-kadang, bentuk umum matriks A dapat dituliskan secara singkat ke dalam notasi A = (a ij ), B = (b ij ), dan seterusnya. Dari uraian di atas dapat diberikan definisi yang jelas tentang ordo matriks dan notasi matriks sebagai berikut.

Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakan banyak baris diikuti dengan banyak kolom. Notasi dari matriks A dinyatakan dengan A = (a ij ).

Contoh 1:

Hasil penelitian tentang keadaan harga-harga pokok selama tahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 di suatu daerah adalah sebagai berikut.

Harga Per Kilogram dalam Rupiah Tahun

Beras

Gula

Minyak Goreng

a. Susunlah data di atas ke dalam bentuk matriks dengan notasi A.

b. Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A?

c. Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.

d. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.

84 Khaz Matematika SMA 3 IPS

b. Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolom pada matriks A adalah 3.

c. Elemen-elemen pada baris kedua adalah a 21 = 2.300,

a 22 = 3.900, dan a 23 = 4.700.

d. Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a 13 = 4.500,

a 23 = 4.700, a 33 = 5.000, dan a 43 = 5.600.

Contoh 2:

• 7 < 5 1 8 — Diketahui matriks B = ³ 6 4 2 9 µ .

Tentukan

a. ordo matriks B;

b. elemen-elemen baris pertama;

c. elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2;

d. elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-4.

Jawab:

a. Matriks B mempunyai 3 baris dan 4 kolom sehingga ordo matriks B adalah 3 × 4 atau dinotasikan B 3 × 4 .

b. Elemen-elemen baris pertama adalah 7, –5, 1, dan 8.

c. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 adalah 3, ditulis b 32 = 3.

d. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9, ditulis b 24 = 9.

Problem

Diketahui sistem persamaan linear berikut.

Solving 3x + 5y – x = 4

5x + 2y – 3z = 8 2x – 4y + 2z = 6

a. Susunlah sistem persamaan linear di atas ke dalam matriks A.

b. Tentukan ordo matriks A.

c. Hitunglah a 32 +a 21 +a 13 .

Matriks 85

Jawab:

Koefisien x Koefisien y Koefisien z

a. Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam tabel berikut. Dengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan tabel

• 3 5 < 1 — di atas adalah A = ³ 5 2 < 3 µ .

b. Ordo matriks A adalah 3 × 3 atau ditulis A 3× 3 .

c. a 32 adalah elemen baris ke-3 kolom ke-2, yaitu –4.

a 21 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1, yaitu 5.

a 13 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3, yaitu –1. Jadi, a 32 +a 21 +a 13 = –4 + 5 + (–1) = 0.

3. Matriks-Matriks Khusus

Beberapa macam matriks khusus yang perlu kalian kenal adalah sebagai berikut.

a. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris. Misalnya: P = [3 2 1] Q = [4 5 –2 5]

b. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom

Misalnya:

86 Khaz Matematika SMA 3 IPS

c. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah n maka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalah

n × n. Seringkali matriks A yang berordo n × n disebut dengan matriks persegi ordo n. Elemen-elemen a 11 , a 22 , a 33 , ..., a nn

merupakan elemen-elemen pada diagonal utama. Misalnya:

merupakan matriks persegi ordo 2.

B = ³ < 2 6 1 µ merupakan matriks persegi ordo 4. ³ 3 7 13 3 µ

Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 1 dan 10, sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.

d. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0 (nol), sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanya nol.

Misalnya:

e. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya semuanya 0 (nol). Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan I dan disertai dengan ordonya.

Misalnya: • 1 0 0 0 —

Matriks 87

f. Matriks Nol Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya

adalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf

O diikuti ordonya, O m × n . Misalnya:

O 2× 1 = ³ µ

O 2× = – 0 3 ³

4. Transpose Suatu Matriks

Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks T A

m × n adalah A n × m .

Contoh:

Jika A =

µ , tentukan A ³ T dan ordonya.

Tugas: Inkuiri

Jawab:

• Kerjakan di buku tugas

Terlihat dari matriks A bahwa elemen baris ke-1 adalah 4, 2,

Buatlah contoh-contoh ma-

dan –1, sedangkan elemen baris ke-2 adalah 3, 5, dan 6. Untuk

triks dengan ordo yang

mengubah matriks A menjadi A T , posisikan elemen baris ke-1

berbeda-beda. Transposekan

menjadi kolom ke-1 dan elemen baris ke-2 menjadi elemen

matriks-matriks tersebut. Amatilah hasilnya. Kemu-

• 4 3 — dian, buatlah bentuk umum

µ matriks berordo m × n dan

kolom ke-2 sehingga diperoleh A = 2 ³ 5 µ

matriks transposenya. ³ – < 1 6 ˜ µ

Ordo matriks A adalah 2 ×

3, sedangkan ordo A T adalah 3 × 2.

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 1

1. Diketahui matriks A = ³ 4 10 12 6 µ .

a. Sebutkan elemen matriks yang terletak pada

1) baris ke-1;

2) baris ke-3;

3) baris ke-2;

4) baris ke-3 dan kolom ke-4;

5) baris ke-1 dan kolom ke-3;

6) baris ke-2 dan kolom ke-1.

88 Khaz Matematika SMA 3 IPS

b. Sebutkan nomor baris dan nomor kolom yang merupakan posisi dari masing-masing elemen berikut.

c. Tentukan ordo matriks A.

d. Tentukan transpose matriks A dan ordonya.

2. Tulislah koefisien-koefisien sistem persamaan linear berikut ke dalam bentuk matriks.

3. Diketahui matriks P = [p ij ] ditentukan oleh P = ³ µ . – < 4 1 5 ˜

a. Tentukan ordo matriks P.

b. Tentukan p 22 ,p 13 ,p 23 ,p 11 , dan p 21 .

c. Hitunglah p 13 +p 11 ,p 23 –p 13 ,p 22 × p 21 , dan p 11 :p 12 . n 2 + n 2

d. Jika n = p , hitunglah

e. Tentukan transpose matriks P. • 5 q —

4. Diketahui matriks B = ³

a. Tentukan nilai p dan q jika p = 2a 11 +a 22 – 4 dan

2q = 3a 21 .

b. Hitunglah nilai dari p 2 +q 2 . • u 5 3 —

5. Diketahui matriks A = ³

a. Tentukan A T .

b. Dari hasil yang diperoleh pada soal a, tentukan u dan v jika 2u = 3a 3

31 – 15 dan 4v – a 12 – 8 = 0.

6. Tentukan transpose dari masing-masing matriks berikut.

a. A = ³

b. B = < 5 6 ³ µ µ

Matriks 89

c. C = [ < 5234 ]

7. Diketahui matriks A berordo 2 ×

3. Tentukan matriks A jika

8. Diketahui matriks Q adalah transpose dari matriks • 5 4 3 —

Tentukan nilai dari

9. Jika matriks ³ µ adalah matriks nol, ³ 2 a + e b ++ e f µ

³ – a ++ b g h <+ g 2 e µ ˜ tentukan nilai a, b, c, d, e, f, g, dan h.

10. Diketahui transpose matrik P adalah ³ < 10 6 < 11 µ . ³

Tentukan

a. matriks P;

b. nilai x dan y jika x = p

23 + 3p 32 – 5 dan y = p 11 + 2p 14 .

90 Khaz Matematika SMA 3 IPS