Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

B. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

Seperti yang telah disebutkan di depan, suatu permasalahan dapat dituliskan dalam bahasa matematika. Suatu permasalahan tentu mempunyai bentuk penyelesaian yang optimum.

1. Fungsi Objektif z = ax + by

Fungsi tujuan dalam pembuatan model matematika dinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk z = ax + by yang akan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan) tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dari program linear adalah fungsi z = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut.

64 Khaz Matematika SMA 3 IPS

a. Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y Kendala: 5x + 4y ) 20

x + 2y ) 24

x, y *

0, dengan x, y D C

b. Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3y Kendala: x + y ) 500

4x + 2y ) 200 x, y * 0 x, y D C

2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif

Dari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuan utama dari program linear, yaitu menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari suatu fungsi objektif. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengan nilai optimum, langkah-langkah pemecahannya adalah sebagai berikut.

a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.

b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.

c. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesius yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.

d. Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif.

e. Menafsirkan/menjawab permasalahan. Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapat

digunakan untuk menentukan nilai optimum dari program linear, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.

a. Metode Uji Titik Sudut

Metode uji titik sudut adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by dengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidak- samaan linear dua variabel, kemudian membandingkan nilai-nilai yang telah diperoleh. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by.

Contoh 1: Tentukan nilai optimum dari model matematika berikut.

Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y Kendala: 3x + 2y ) 12

x, y * 0 x, y D R

Program Linear 65

Jawab:

Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinat disajikan dalam tabel berikut.

Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0). Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah itu, tentukan daerah penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia.

3x + 2y = 12

Dari Gambar 2.5, terlihat daerah penyelesaian dari kendala- kendala adalah daerah segitiga OAB, sehingga diperoleh titik- titik sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(4, 0),

O A (4, 0)

X dan B(0, 6).

Gambar 2.5

Selanjutnya, selidiki nilai bentuk objektif z = x + y untuk masing-masing titik sudut tersebut.

z=x+y

B maks

z Dari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + y adalah 6, yaitu untuk x = 0 dan y = 6.

Contoh 2:

Diketahui suatu model matematika sebagai berikut. Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10y Kendala-kendala: 5x + 4y * 20

9x + 8y ) 72 x, y * 0

x, y D C

Tentukan nilai minimum dari model matematika tersebut.

Jawab:

Dari kendala-kendala yang ada yaitu 5x + 4y *

20 dan 9x +

8y )

72, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat Cartesius.

66 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Tantangan

Penalaran

• Kerjakan di buku tugas Untuk menghasilkan barang

jenis A seharga Rp500.000,00 memerlukan bahan baku 20 kg

Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potong

dan waktu kerja mesin 24 jam. Barang B seharga

dengan sumbu-sumbu koordinat.

Rp700.000,00 memerlukan

Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita

bahan baku 30 kg dan waktu

hubungkan titik-titik potong tersebut dengan garis lurus.

kerja mesin 18 jam. Bera-

Setelah itu, kita arsir daerah penyelesaiannya, seperti gambar

pakah nilai maksimum dari

di samping.

masing-masing jenis barang yang dapat dibuat selama

Dari gambar di samping, terlihat daerah penyelesaiannya

720 jam waktu kerja mesin

adalah segi empat ABCD. Dengan demikian, diperoleh titik-

dan 750 kg bahan baku?

titik sudut dari daerah penyelesaian adalah A(4, 0), B(8, 0),

C (0, 9), dan D(0, 5). Selanjutnya, akan diselidiki nilai 8x + 10y untuk masing-masing titik sudut tersebut.

z maks

A (4, 0) B (8, 0) X Dari tabel di atas, terlihat bahwa nilai minimum bentuk objektif z = 8x + 10y adalah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0.

Gambar 2.6

Contoh 3:

Diketahui luas lahan parkir 360 m 2 . Untuk sebuah mobil dan sebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m 2 dan 24 m 2 . Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jika biaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah bus Rp3.000,00.

Jawab:

Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika dengan cara membuat tabel seperti berikut.

Mobil (x)

Bus (y) Persediaan

Luas Lahan

Daya Tampung

Biaya Parkir

Program Linear 67

Tantangan

Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Dari

Penalaran

tabel di atas dapat dibuat model matematika berikut.

• Kerjakan di buku tugas

Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000y

Kendala: 6x + 24y ) 360 atau x + 4y ) 60

Misalkan seseorang pe-

dagang sepatu memiliki

x+y ) 30

modal Rp8.000.000,00. Dia

akan merencanakan membeli dua jenis sepatu, yaitu

sepatu jenis I dan sepatu

x, y D C

jenis II. Harga beli sepatu

Kita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30

jenis I Rp20.000,00 per

dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada kedua

pasang dan sepatu jenis II

tabel berikut.

Rp16.000,00 per pasang. Keuntungan dari penjualan sepatu jenis I dan sepatu

0 60 x

jenis II berturut-turut adalah Rp9.000,00 dan Rp8.500,00

51 0 y

per pasang. Mengingat kapasitas kiosnya, ia akan

membeli maksimal 450 pasang sepatu saja. Bagai-

Kita buat daerah himpunan penyelesaian kendala-kendala

mana model matematika program linear dari kasus

dalam bidang Cartesius.

ini?

Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi. x + 4y = 60 x + y = 30

3y = 30 ‹ y = 10

Dengan menyubstitusikan y = 10 ke salah satu persamaan, diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (20, 10).

Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaiannya mem- punyai empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), dan

C (0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x + 3.000y untuk masing-masing titik sudut. Perhatikan tabel berikut.

68 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Tugas: Inkuiri

Titik

O(0, 0) A(30, 0) B(20, 10) C(0, 15)

• Kerjakan di buku tugas

Selain menggunakan meto- de eliminasi untuk mencari

titik potong antara 2 garis,

z = 1.500x + 3.000y

dapatkah kita menggunakan cara lain? Jika ya, cara

z maks

apakah itu? Bagaimana cara

Dari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalah

menyelesaikannya?

z = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10. Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilan maksimum, yaitu Rp60.000,00 jika ia dapat menerima parkir mobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.

Tantangan

Ekplorasi • Kerjakan di buku tugas

b. Metode Garis Selidik ax + by = k

Misalnya seorang pedagang

Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilai

kaki lima menyediakan

maksimum atau minimum dari fungsi objektif z = ax + by adalah

modal Rp165.000,00 untuk

dengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Langkah-langkah

membeli buku. Harga buku jenis I Rp2.000,00 dan harga

untuk menggunakan metode garis selidik ini adalah sebagai

buku jenis II Rp5.000,00.

berikut.

Banyak buku jenis I yang ia

1) Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X di

beli tidak lebih dari tiga kali

titik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a).

banyak buku jenis II. Ia mengambil keuntungan

2) Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melalui

Rp300,00 untuk setiap buku

titik-titik perpotongan pada batas-batas daerah himpunan

jenis II. Jika buku-buku

penyelesaian.

yang ia beli dengan cara tersebut terjual habis, berapa

3) Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada di

keuntungan maksimal yang

paling kanan menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis

ia peroleh?

selidik yang berada di paling bawah atau di paling kiri pada daerah himpunan penyelesaian menunjukkan nilai minimum.

Contoh 1: Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektif

z = 2x + 3y yang memenuhi x + y )

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah seperti gambar di samping. Untuk menggunakan metode garis selidik ax + by = k, ikutilah langkah-langkah berikut.

a) Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) ‹ 2x + 3y = 6. Anggap sebagai

garis k 0 .

b) Tariklah garis k 1 yang sejajar garis k 0 melewati titik A(7, 0). Tarik garis k 2 yang sejajar k 1 dan melalui titik B(0, 7). Kemudian, tarik garis k 3 yang sejajar k 2 dan melalui titik

Program Linear 69

Y B (0, 7)

7 garis paling k 1 atas

A (7, 0)

7 2x X

+3 y=6 garis paling

bawah Gambar 2.8

Terlihat bahwa dari Gambar 2.8, garis k 2 letaknya paling atas, berarti nilai maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0, 7). Jadi, nilai maksimum dari z = 2z + 3y = 2(0) + 3(7) = 21. Garis k 3 letaknya paling bawah, berarti nilai minimum dicapai pada titik O (0, 0) sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(0) = 0.

Contoh 2: Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman

padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang- kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk

II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut.

Jawab:

Untuk menjawab permasalahan di atas, terlebih dahulu kita

Perhatian

terjemahkan ke dalam model matematika. Untuk mempermudah, kita buat tabel seperti berikut.

Jika variabelnya bilangan cacah, penyelesaian optimum

Kandungan Pupuk I (x) Pupuk II (y) Kebutuhan

diperoleh dari titik sudut yang absis dan ordinatnya

Fosfor

30 20 600 g

bilangan cacah. Akan tetapi,

Nitrogen

30 40 720 g

jika salah satu absis atau

ordinatnya bukan bilangan cacah, penyelesaian optimum diperoleh dari titik di dekat

Misalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y.

(persekitaran) titik tersebut.

Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut. Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y.

70 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Tugas: Eksplorasi

Dari gambar di samping, terlihat bahwa titik B merupakan

• Kerjakan di buku tugas

perpotongan garis 3x + 2y = 60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukan Kendala-kendala: 30x + 20y

koordinat titik B sebagai berikut. *

600 ‹ 3x + 2y

Coba kalian kerjakan kedua

30x + 40y * 720

‹ 3x + 4y * 72

contoh di atas dengan

3x + 2y = 60

x, y * 0; x, y D R

metode uji titik sudut. Apa

3x + 4y = 72

kesimpulanmu?

Jika digambarkan, daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas

–2y = –12 adalah sebagai berikut. ‹ y=6

Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salah satu persamaan garis di atas, diperoleh x = 16. Oleh karena itu, koordinat titik B adalah B(16, 6).

30 C(0, 30)

Terlihat dari Gambar 2.9, titik B terletak paling kiri dari batas- batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada

18 titik B(16, 6), yaitu

B z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000. Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalah

A(24, 0) O

20 24 X Rp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6 bungkus pupuk II.

Gambar 2.9

Problem

Tentukan nilai maksimum dari 4x + y yang memenuhi 3x + y

Solving

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. Dari Gambar 2.10 diperoleh titik sudut O(0, 0), A( 2 2 3 , 0), dan

B (0, 8). Karena absis dari titik A bukan merupakan bilangan cacah, harus dicari titik pada daerah yang diarsir, dengan absis

dan ordinat merupakan bilangan cacah dan letaknya dekat titik

A ( 2 2 3 , 0). Titik yang sesuai dengan syarat di atas adalah (2, 0)

dan (2 ,1).

8 B Titik

O(0, 0) A 1 (2, 0) A 2 (2, 1) B(0, 8)

z = 4x + y

3x + y = 8

z maks Dari tabel di atas, diperoleh nilai maksimum fungsi z = 4x + y

A adalah z = 9, untuk x = 2 dan y = 1.

O 22 3 X Gambar 2.10

Program Linear 71

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 2

Untuk nomor 1 – 5, gunakan metode uji titik sudut dan metode garis selidik untuk menghitung nilai minimum dan nilai maksimum model matematika berikut.

1. Fungsi objektif: z = 6x + 5y Kendala: 2x + y ) 10

y ) 6 x, y * 0

x, y D R

Tantangan

2. Fungsi objektif : z = 100x + 50y

Eksplorasi

Kendala: 2x + 3y ) 16

2x + 6 ) 10

• Kerjakan di buku tugas

x, y * 0

Seorang pasien diharuskan

x, y D C

meminum obat yang me-

ngandung sekurang-kurang-

3. Fungsi objektif: z = 7x + 4y

nya 75 g kalsium dan 96 g

Kendala: 8x + 11y 88

zat besi. Obat I mengandung

x+y ) 10

kalsium dan zat besi masing-

masing sebesar 15 g dan 10 g

x, y * 0

per butir, sedangkan obat II

x, y D C

mengandung 10 g kalsium

4. Fungsi objektif: z = 5x + 7y

dan 16 g zat besi per butir. Jika harga per butir obat I

Kendala : x + y ) 5

Rp1.500,00 dan obat II

2z + 5y ) 10

Rp800,00 per butir. Tentu-

kan biaya minimum yang

harus dikeluarkan pasien itu

x ,y D R.

untuk memenuhi kebutuhan

kalsium dan zat besi.

5. Fungsi objektif : z = 10x + 25y Kendala: 3x – 2y ) 6

4x + 2y ) 8 x * 0 y * 0

x ,y D R

6. Untuk menghasilkan barang jenis A seharga Rp500.000,00 memerlukan bahan baku 20 kg dan waktu kerja mesin 24 jam. Barang B seharga Rp700.000,00 memerlukan bahan baku

30 kg dan waktu kerja mesin 18 jam. Berapakah nilai maksimum dari masing-masing jenis barang yang dapat dibuat selama 720 jam waktu kerja mesin dan 750 kg bahan baku?

7. Misalkan seorang pedagang kaki lima menyediakan modal Rp165.000,00 untuk membeli buku dengan buku jenis I dengan harga Rp2.000,00 per buah dan buku jenis

II dengan harga Rp5.000,00 per buah. Jumlah buku jenis

I yang ia beli tidak lebih dari tiga kali jumlah buku jenis

II. Ia mengambil keuntungan Rp300,00 untuk setiap buku

72 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Tantangan

jenis II. Jika buku-buku yang ia beli dengan cara tersebut

terjual habis, berapa keuntungan maksimum yang ia peroleh?

Penalaran

8. Seorang pedagang asongan ingin menjual rokok jenis A dan jenis

• Kerjakan di buku tugas

B pada suatu kardus. Kardus itu hanya dapat memuat 25

Suatu perusahaan kerajinan

bungkus rokok. Rokok A yang harganya Rp3.000,00 per

tas dan sepatu memerlukan empat unsur A dan enam

bungkus dijual dengan laba Rp500,00 per bungkus, sedangkan

unsur A per minggu untuk

rokok B harganya Rp4.000,00 dan dijual dengan laba

masing-masing hasil pro-

Rp750,00 per bungkus. Ia hanya mempunyai modal

duksinya. Setiap tas memer-

Rp84.000,00. Tentukan berapa banyak rokok masing-masing

lukan satu unsur A dan dua

harus ia beli agar mendapat untung sebesar-besarnya. Tentukan

unsur B, setiap sepatu me- merlukan dua unsur A dan

pula besar untungnya.

dua unsur B. Jika pembuatan

9. Pak Sihombing ingin merenovasi rumahnya. Ia ingin

setiap tas memberikan

merombak kamar tidur dan kamar mandinya. Ia menyewa

keuntungan Rp3.000,00 dan

seorang pemborong untuk merenovasi kamar tidur dan kamar

setiap pembatan sepatu memberi keuntungan

mandi tersebut. Pemborong itu mengajukan kebutuhan bahan

Rp2.000,00, tentukan

bangunan seperti berikut.

banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar

Bahan

Kamar Tidur Kamar Mandi Persediaan

diperoleh keuntungan mak- simum.

Batu Bata 1.800 buah

1.600 buah 28.800 buah

Biaya

Rp300.000,00 Rp275.000,00

10. Pada tanah seluas 10.000 m 2 akan dibangun tidak lebih dari 125 unit rumah, tipe RS dan tipe RSS. Tipe RS memerlukan tanah 60 m 2 dan tipe RSS memerlukan 50 m 2 . Rumah-rumah tersebut akan dijual dengan harga per unit Rp20.000.000,00 untuk RS dan Rp15.000.000,00 untuk RSS.

a. Misal dibangun rumah tipe RS sebanyak x unit dan tipe RSS sebanyak y unit, tulislah sistem pertidaksamaannya.

b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem perti- daksamaan yang diperoleh pada satu sistem koordinat Cartesius.

c. Tentukan bentuk objektif yang menyatakan hasil penjualan rumah.

d. Berapakah banyaknya masing-masing tipe rumah yang harus dibangun agar diperoleh hasil penjualan maksimum? Hitunglah hasil penjualan maksimum itu.

Rangkuman

1. Program linear merupakan suatu metode 2. Model matematika adalah suatu hasil untuk memecahkan masalah sehari-hari

penerjemahan bentuk sehari-hari men- yang berhubungan dengan optimasi.

jadi bentuk persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Program Linear 73

3. Untuk memecahkan permasalahan pro- fungsi objektif/fungsi sasaran/fungsi gram linear, hal yang utama adalah

tujuan. memisalkan masalah tersebut ke dalam 5. Nilai optimum fungsi objektif dapat

model matematika. ditentukan, antara lain dengan metode uji

4. Penyelesaian optimum dapat berupa nilai titik sudut dan metode garis selidik. maksimum atau nilai minimum dari

Refleksi

Kalian telah mempelajari program linear. yang sifatnya memaksimumkan dan Materi ini sangat dekat dengan kehidupan meminimumkan. Apakah program linear nyata. Hal-hal yang sifatnya nyata sangat hanya menekankan pada kasus-kasus itu? dominan, terutama pada kasus-kasus Berikan alasan kalian.

Tes Kemampuan Bab II

• Kerjakan di buku tugas

A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.

1. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah

d. 7x + 8y * 63 memenuhi sistem pertidaksamaan ....

2. Nilai maksimum fungsi z = 5x + 7y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x + 3y ) 12, x + 2y ) 8, x, y * 0 adalah

y ) 4 c. 30 x, y * 0 3. Nilai minimum dan nilai maksimum

b. 8x + 7y * 63 fungsi z = 4x + 3y yang memenuhi sistem x ) 4 pertidaksamaan x + y ) 6, 2x + y * 3, x * 1, x, y * 0 x ) 4, dan y * 0 adalah ....

c. 7x + 8y

d. ) 7 dan 24 63

a. 7 dan 22

e. * 6 dan 20

x 4 b. 6 dan 22

x, y * 0

c. 6 dan 24

74 Khaz Matematika SMA 3 IPS

4. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 7. Seorang pemborong melakukan pema- x ) 0, y * 0, 2x + y * 30, 3x + 10y * 150, sangan instalasi listrik pada suatu pe-

5x + 8y ) 200 adalah .... rumahan. Untuk tipe 21, diperlukan 60 m

kabel dan 5 lampu. Untuk tipe 36 diperlukan 150 m kabel dan 10 lampu. Jika tersedia 5 km

30 kabel dan 150 lampu, model matematika

I V untuk permasalahan di atas adalah ....

15 IV a. 6x + 15y * 500, x + y * 30,

b. 6x + y * 500, x + y ) 30,

a. I c. 6x + 15y * 500, 2x + y ) 30,

d. 6x + 15y ) 500, x + 2y * 30,

d. IV x ,y *

0, x, y D C

e. V e. 6x + 15y ) 500, x + 2y ) 30,

5. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika daerah

0, x, y D C segi lima berikut merupakan penyelesaian

x ,y *

8. Daerah yang diarsir pada gambar di dari sistem pertidaksamaan linear dari pro-

gram linear, fungsi objektif z = 5x + y bawah ini merupakan penyelesaian mencapai maksimum di titik ....

dari sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari fungsi objektif

a. A Y = 15.000x + 10.000y adalah ....

b. 125.000 O

B 4 (5, 4) (7, 4) c. 135.000

d. 145.000

-4 O

4 A 6 X e. 155.000

6. Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 50 penumpang. 9. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q = Setiap penumpang kelas utama boleh

5x + y maka nilai maksimum dari P dan membawa bagasi 70 kg, sedangkan untuk

Q pada sistem pertidaksamaan x * 0, y * 0, kelas ekonomi 30 kg. Pesawat itu hanya

x + 2y ) 12 dan 2x + y ) 12 adalah .... dapat membawa bagasi 2.100 kg. Jika

a. 8 dan 30

harga untuk kelas utama Rp250.000,00

b. 6 dan 6

per orang dan kelas ekonomi Rp175.000,00,

c. 4 dan 6

keuntungan maksimum yang dapat

d. 6 dan 24

diperoleh adalah ....

e. 8 dan 24

a. Rp7.500.000,00

10. Untuk membuat barang A diperlukan

b. Rp8.500.000,00

6 jam pada mesin I dan 4 jam pada

c. Rp8.750.000,00 mesin II, sedangkan membuat barang B

d. Rp9.785.000,00 memerlukan 2 jam pada mesin I dan 8

e. Rp9.875.000,00

Program Linear 75

jam pada mesin II. Kedua mesin

13. Perhatikan gambar berikut. tersebut setiap harinya masing-masing

bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dibuat x buah barang A dan 9

y buah barang B maka model matematika dari uraian di atas adalah ....

2 11. Luas area parkir adalah 176 m Daerah yang diarsir pada gambar di atas . Luas menya-takan daerah penyelesaian suatu

rata-rata mobil sedan dan bus masing- sistem pertidaksamaan. Nilai minimum

masing 4 m 2 dan 20 m 2 . Area parkir

dari x + y pada daerah penyelesaian tersebut hanya mampu menampung 20

tersebut adalah .... (UN SMK 2006) kendaraan, dengan biaya parkir untuk

a. 9 d. 3 mobil dan bus masing-masing

b. 7 e. 1 Rp1.000,00 per jam dan Rp2.000,00 per

c. 5

jam. Jika dalam waktu 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi atau datang, hasil

14. Untuk membuat roti jenis A diperlukan 400 gram tepung dan 50 gram mentega.

maksimum area parkir tersebut adalah .... Untuk membuat roti jenis B diperlukan

a. Rp20.000,00 200 gram tepung dan 100 gram mentega.

b. Rp34.000,00 Roti akan dibuat sebanyak-banyaknya.

c. Rp44.000,00 Persediaan tepung 9 kg dan mentega 2,4 kg,

d. Rp26.000,00 bahan-bahan lain dianggap cukup. Jika

e. Rp30.000,00 x menyatakan banyak roti jenis A dan y

12. Seorang pemilik toko sepatu ingin menyatakan banyak roti jenis B yang mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki

akan dibuat maka model matematika paling sedikit 100 pasang dan sepatu

yang memenuhi pernyataan tersebut wanita paling sedikit 150 pasang. Toko

adalah .... (UN SMK 2007/Paket 14) tersebut dapat memuat 400 pasang

a. 2x – y ) 45, x + 2y * 48, x * 0, y * 0

sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu ) 45, x + 2y ) 48, x * 0, y * 0

b. 2x + y

laki-laki adalah Rp1.000,00 dan setiap * 45, x + 2y * 48, x * 0, y * 0

c. 2x + y

d. 2x + y ) 45, x – 2y ) 48, x * 0, y * 0 pasang sepatu wanita adalah Rp500,00.

e. 2x + y ) 45, x + 2y ) 48, x ) 0, y ) 0 Jika banyak sepatu laki-laki tidak boleh

melebihi 150 pasang, maka keuntungan

15. Perhatikan gambar grafik di bawah. Daerah penyelesaian yang memenuhi

terbesar yang dapat diperoleh adalah .... sistem pertidaksamaan

a. Rp275.000,00

b. Rp300.000,00

x +y )5

3x + 2y ) 12

c. Rp325.000,00

x *2 y

d. Rp350.000,00

e. Rp375.000,00

76 Khaz Matematika SMA 3 IPS

adalah daerah .... (UN SMK 2007/Paket Rp6.000,00/kg. Modal yang tersedia 14)

Rp1.200.000,00, sedangkan gerobaknya

hanya dapat memuat mangga dan pisang

6 sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga

5 V Rp9.200,00/kg dan pisang Rp7.000,00/

4 IV kg maka laba maksimum yang diperoleh

3 adalah .... (UN 2006)

2 a. Rp150.000,00

II b. Rp180.000,00

1 III

c. Rp192.000,00

0 1 2 3 4 5 X d. Rp240.000,00

e. Rp216.000,00

a. I d. IV 20. Mobil pick up dan mobil truk akan

b. II e. V digunakan untuk mengangkut 1.000 m 3

c. III pasir. Satu kali jalan, pick up dapat

3 16. Nilai maksimum 4x + 5y dengan syarat 3 mengangkut 2 m pasir dan truk 5 m x * 0; y * 0; x + 2y ) 10; x + y ) 7 adalah pasir. Untuk mengangkut pasir tersebut

.... (UMPTN 1999) diperlukan jumlah truk dan pick up

a. 34 d. 31 paling sedikit 350 buah dengan biaya

b. 33 e. 30 angkut pick up satu kali jalan

c. 32 Rp15.000,00 dan truk Rp30.000,00. Biaya minimum untuk mengangkut

17. Dalam himpunan penyelesaian pasir tersebut adalah .... (UN 2005) pertidaksamaan x * 1; y * 2; x + y ) 6;

a. Rp10.500.000,00 2x + 3y ) 15. Nilai minimum dari 3x + y

b. Rp7.500.000,00 sama dengan .... (UMPTN 1998)

c. Rp6.750.000,00

a. 9 d. 12 d. Rp5.500.000,00

b. 10 e. 13

e. Rp5.000.000,00

c. 11

21. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x

18. Nilai minimum dari 2x + 3y untuk x, y + 8y dari sistem pertidaksamaan di daerah yang diarsir adalah ....

b. 15 adalah .... (UAN 2003)

22. Nilai maksimum bentuk objektif (4x + 10y) yang memenuhi himpunan penyelesaian sistem per-tidaksamaan

4 5 X linear x * 0, y * 0, x + y ) 12, dan x + 2y ) 16 adalah .... (UAN 2003)

19. Seorang pedagang menjual mangga dan

d. 48 pisang dengan menggunakan gerobak.

a. 104

b. 80 e. 24 Pedagang tersebut membeli mangga

c. 72

dengan harga Rp8.000,00/kg dan pisang

Program Linear 77

23. Sebuah pabrik menggunakan bahan A, maksimum pakaian yang dapat dibuat

B , dan C untuk memproduksi 2 jenis adalah .... (UN 2004) barang, yaitu barang jenis I dan barang

d. 14 potong jenis II. Sebuah barang jenis I

a. 10 potong

e. 16 potong memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B,

b. 11 potong

c. 12 potong

dan 2 kg bahan C, sedangkan barang jenis

26. Untuk menambah penghasilan keluarga,

II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan seorang ibu berjualan 2 jenis roti. Roti

B , dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang jenis I dibeli dengan harga Rp500,00 per tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan buah dan roti jenis II dengan harga

B , dan 360 kg bahan C. Harga barang Rp300,00 per buah. Keranjang ibu itu jenis I adalah Rp40.000,00 dan harga hanya dapat memuat 100 buah roti. Jika barang jenis II adalah Rp60.000,00. ibu itu mengharap keuntungan Pendapatan maksimum yang diperoleh Rp100,00 dari roti jenis I dan Rp50,00 adalah .... (UN 2007/Paket 14) dari roti jenis II maka dengan modal

a. Rp7.200.000,00 Rp45.000,00, keuntungan maksimal

b. Rp9.600.000,00 yang diterima adalah .... UN 2004)

c. Rp10.080.000,00

a. Rp5.000,00

d. Rp10.560.000,00

b. Rp7.500,00

e. Rp12.000.000,00

c. Rp8.750,00

24. Perusahaan tas dan sepatu mendapat

d. Rp9.000,00 pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap

e. Rp10.000,00 minggu untuk produksinya. Setiap tas

27. Nilai maksimum dari f(x, y) = 500x + 300y memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K,

yang memenuhi sistem pertidaksamaan sedangkan setiap sepatu memerlukan 2

2x + y ) 1.500

unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap

x +y ) 1.000

tas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu

x *0

adalah Rp12.000,00. Keuntungan

y *0

maksimum perusahaan yang diperoleh adalah .... (UAN 2003) adalah .... (UN 2007/Paket 47)

a. 300.000

d. 450.000

a. Rp120.000,00

b. 375.000

e. 500.000

b. Rp108.000,00

c. 400.000

c. Rp96.000,00

28. Agar fungsi z = px + 5y dengan syarat

d. Rp84.000,00

e. Rp72.000,00 * 6, x + y * 5, x * 0, y * 0

2x + y

mencapai minimum di titik (1, 4) maka

25. Seorang penjahit membuat 2 model konstanta p memenuhi .... ( S P M B pakaian. Model pertama memerlukan 1 m

kain polos dan 1,5 m kain bercorak.

a. 2<p<6

Model kedua memerlukan 2 m kain

b. 2 )p)6

polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia

c. 5 < p < 10

hanya mempunyai persediaan 20 m kain

d. 5 ) p ) 10

polos dan 10 m kain bercorak. Jumlah

e. p < 5 atau p > 10

78 Khaz Matematika SMA 3 IPS

29. Jika daerah yang diarsir pada diagram

30. Dalam sistem pertidaksamaan 2y * x, di bawah merupakan daerah penye-

y ) 2x, x + 2y ) 20, x + y * 9, nilai lesaian untuk soal program linear

maksimum untuk 3y – x dicapai di dengan fungsi sasaran f(x, y) = x – y

titik ....

maka nilai maksimum f(x, y) adalah ....

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.

1. Tentukan nilai minimum fungsi objektif 4. Seorang pemborong pengecatan rumah z = 2x + y yang memenuhi sistem

mempunyai persediaan 80 kaleng cat pertidaksamaan 2x + 3y *

6, 2x + y *

putih dan 60 kaleng abu-abu.

4, x *

0, y *

0, x, y D C. Pemborong tersebut mendapat tawaran

2. Tentukan nilai maksimum fungsi z = mengecat ruang tamu dan ruang tidur. 3x + 2y dari sistem pertidaksamaan 2x +

Setelah dihitung ternyata 1 ruang tamu y *

3, x + y )

6, x *

1, y * 0. menghabiskan 2 kaleng cat putih dan

3. Seorang tukang listrik membuat 2 jenis

1 kaleng cat abu-abu, sedangkan 1 ruang bel listrik. Tersedia 12 m kawat untuk

tidur menghabiskan cat masing-masing kumparan dan baterai 30 buah. Untuk bel

sebanyak 1 kaleng. listrik kecil butuh 3 m kawat dan 5

a. Tulislah model matematikanya. baterai. Bel listrik besar butuh 2 m kawat

b. Berapa banyak maksimum ruang dan 6 baterai. Bel listrik dijual dengan

tamu dan ruang tidur yang dapat harga Rp5.000,00 dan Rp7.500,00 untuk

dicat? masing-masing bel listrik kecil dan 5. Dari soal nomor 4, jika biaya untuk 1 ruang besar. Berapa buah bel listrik kecil dan

tamu Rp75.000,00 dan untuk 1 ruang tidur besar yang harus dibuat agar mendapat

Rp50.000,00. Tentukan banyaknya uang uang sebanyak-banyaknya? Berapa uang

maksimum yang diterima oleh pemborong yang diperoleh?

itu.

Kata Bijak Memercayai diri sendiri adalah rahasia pertama untuk berhasil.

Oleh karena itu, yakinkan diri Anda untuk percaya pada potensi Anda.

Matriks 79

Bab III

Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab

ini, diharapkan kalian dapat 1. menjelaskan ciri suatu matriks; 2. menuliskan informasi dalam bentuk matriks; 3. melakukan operasi aljabar atas dua matriks; 4. menentukan determi- nan matriks persegi ordo 2;

5. menentukan invers matriks persegi ordo 2; 6. menentukan penyele- saian sistem persama-

Sumber: upload.wikimedia.org an linear dua variabel dengan invers matriks;

7. menentukan penye- lesaian sistem persama- an linear dua variabel

Matriks

dengan determinan; 8. menentukan deter- minan matriks persegi

Motivasi

ordo 3; 9. menentukan penyele-

Apa yang kalian amati ketika melihat daftar harga, daftar

saian sistem persamaan

nilai UN, atau daftar gaji? Apakah kalian memerhatikan susunan

linear tiga variabel.

penulisannya? Jika susunan tersebut dituliskan untuk per hari atau per bulan atau bahkan per tahun pasti akan menjadi sangat panjang. Perhatikan juga posisi tempat duduk peserta ujian. Apa yang kalian bayangkan tentang posisi berderet dari depan ke belakang dan dari kiri ke kanan? Kasus-kasus di atas dapat disajikan dengan mudah menggunakan matriks.

80 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Peta Konsep

Matriks

membahas

Determinan dan Notasi dan Ordo

Jenis-Jenis

Matriks

Operasi Matriks

Invers

membahas

terdiri atas

Transpose

Determinan Invers Penjumlahan

berguna untuk Pengurangan

Penyelesaian SPL

Perkalian dengan Skalar

Perkalian Matriks

Kata Kunci

• ordo • aturan Sarrus

• adjoin

• matriks

• perkalian matriks • baris

• matriks baris

• persamaan matriks • determinan

• matriks diagonal

• singular • entry

• matriks identitas

• skalar • kesamaan matriks

• matriks kolom

• transformasi baris • kofaktor

• matriks persegi

elementer • kolom

• minor

• transpose • lawan matriks

• nonsingular

• notasi matriks

Matriks 81

Materi tentang matriks merupakan materi baru bagi kalian. Pembahasan tentang matriks ini sangat diperlukan untuk mempelajari materi lain dalam matematika, antara lain determinan, vektor, dan transformasi geometri. Matriks merupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, matriks sangat membantu dalam mencatat hal-hal yang berhubungan dengan jajaran bilangan.

Sebelum lebih jauh mempelajari tentang matriks, kerjakanlah latihan berikut agar kalian lebih mudah mempelajari matriks.

Prasyarat

Kerjakan di buku

Cobalah kalian mencari informasi tentang harga-harga

tugas

kebutuhan pokok di beberapa pasar di sekitarmu, kemudian isikan dalam kolom berikut.

Nama Pasar

Pasar A Pasar B

Nama Barang

Beras (per kg)

Gula pasir (per kg)

Cabe merah (per kg)

Jelaskan tentang isi tabel tersebut. Apa arti dari elemen atau angka dalam tabel tersebut?