Perkalian Matriks

E. Perkalian Matriks

1. Pengertian Perkalian Matriks

Untuk memahami pengertian perkalian matriks, perhatikan ilustrasi berikut ini. Rina membeli bolpoin dan buku di dua tempat yang berbeda. Di toko I, ia membeli 3 bolpoin dan 2 buku, sedangkan di toko II, ia membeli 4 bolpoin dan 3 buku. Harga bolpoin dan buku di kedua toko tersebut sama, yaitu Rp2.500,00 dan Rp4.000,00 per buah. Berapa uang yang dikeluarkan Rina?

Tempat

Bolpoin Buku

Barang Harga

Toko I

3 2 Bolpoin Rp2.500,00

Toko II

Rp4.000,00 Untuk menghitung jumlah uang yang dibayar oleh Rina

4 3 Buku

dapat langsung kita hitung dengan cara mengalikan banyaknya barang dengan harga masing-masing sebagai berikut.

Toko I : (3 × Rp2.500,00) + (2 × Rp4.000,00) = Rp15.500,00

Kuis

Toko II : (4 × Rp2.500,00) + (3 × Rp4.000,00) = Rp22.000,00

• Kerjakan di buku tugas

Di samping itu, pernyataan di atas dapat disajikan dalam bentuk

Jika diketahui

matriks sebagai berikut.

• m n — • 1 2 — • 24 23 —

menyatakan banyak bolpoin dan buku yang dibeli

maka nilai m dan n masing-

masing adalah ....

Rina. Baris 1 menyatakan toko I dan baris 2 untuk toko II.

a. 4 dan 6 b. 5 dan 4

menyatakan harga masing-masing bolpoin dan buku.

Daftar jumlah uang yang dikeluarkan Rina dapat dilihat pada

UMPTN 1998

tabel berikut.

Tempat

Harga Pembelian

Toko I 3 × Rp2.500,00 + 2 × Rp4.000,00 = Rp15.500,00 Toko II 4 × Rp2.500,00 + 3 × Rp4.000,00 = Rp22.000,00

Tabel pengeluaran di atas bersesuaian dengan perkalian matriks P × Q, yaitu

P × Q= • 32 — • 2 . 500 —

106 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Dari uraian di atas, matriks P berordo 2 × 2 dan matriks Q berordo 2 ×

1, sedangkan P × Q berordo 2 × 1 sehingga bagan perkalian dan hasil kalinya mempunyai hubungan sebagai berikut.

ordo hasil kali

sama Secara umum, perkalian matriks didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan A matriks berordo m × p dan B matriks berordo p × n maka A ×

B adalah suatu matriks C = [c ij ] berordo m × n yang elemen-elemennya pada baris ke-i, yaitu kolom ke-j (c ij ) diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-i matriks A dan kolom ke-j matriks B.

Contoh:

Diketahui matriks A = ³ µ ,B= [ < 32 ] ,C=

µ ˜ – 3 < 2 ˜ Bagaimana hasil perkalian dari B × A?

A × B=

b. B × C= [ < 32 ] ³

Bagaimana hasil perkalian dari C × B?

c. C × D c. C × D

banyak kolom matriks A tidak sama dengan banyak baris matriks C.

2. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari Kanan

Syarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolom matriks kiri sama dengan banyak baris matriks kanan. Jika perkalian A × B ada (dapat dikalikan) maka dikatakan bahwa

a. matriks B dikali dari kiri oleh matriks A;

b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.

Contoh:

Diketahui matriks A = ³

dan B =

Tentukan hasil perkalian

a. matriks A dikali dari kiri oleh matriks B;

b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.

Jawab:

a. Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B, berarti • 2 3 — • 4 < 2 — • 11 5 —

b. Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B, berarti

˜ – 14 <3 ˜ Tampak dari hasil di atas bahwa A × B & B ×

A, artinya perkalian matriks tidak bersifat komutatif.

3. Sifat-Sifat Perkalian Matriks

Misalkan matriks A, B, dan C dapat dikalikan atau dijumlahkan. Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, lakukan Aktivitas berikut.

Aktivitas

Tujuan

: Menemukan sifat-sifat perkalian matriks. Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada perkalian matriks?

108 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Kuis

Kegiatan

: Kerjakan (selidiki) soal berikut di buku tugas.

• Kerjakan di buku tugas

• 1 2 — Diketahui matriks A =

Diketahui matriks A =

³ µ . Jika k = 2,

tentukan hasil perhitungan berikut.

Nilai x + y yang memenuhi

a. A ×

B dan B ×

A. Apakah A × B=B × A?

persamaan AB – 2B = C

Apa kesimpulanmu?

adalah .... a. 0

Apakah hasilnya sama? Apa kesim-

e. 10 UMPTN 1998

(A ×

C) + (A × B). Bagaimana hubungan ketiga operasi perkalian matriks tersebut?

d. A ×

I dan I ×

A dengan I matriks

identitas.

Kuis Hubungan apa yang terbentuk?

e. A × O dan O ×

A dengan O matriks nol

• Kerjakan di buku tugas

ordo 2 × 2.

Jika diketahui

Apakah A × O=O ×

A = O?

f. (kA) ×

B dan k(A × B). Apakah (kA) × B

= k(A × B)?

2 • 0 3 ³ : maka kegiatan di atas?

Kesimpulan

Sifat-sifat apakah yang kalian temukan dari

– < 2 4 ˜ µ+< – ³ 11 ˜ µ nilai x adalah .... a. 0

Berdasarkan Aktivitas di atas ditentukan sifat-sifat perkalian

b. 10

matriks sebagai berikut.

c. 13 d. 14

Jika k bilangan real (skalar); A, B, dan C matriks yang

e. 25

dapat dikalikan; serta B dan C dapat dijumlahkan maka

UMPTN 1998

berlaku sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.

a. Tidak komutatif , yaitu A × B & B × A.

b. Asosiatif, yaitu (A × B) × C=A × (B × C).

c. Distributif , yaitu:

1) distributif kiri: A × (B + C) = (A ×

B) + (A × C);

2) distributif kanan: (A + B) ×

C = (A ×

C) + (B × C).

d. Perkalian matriks-matriks persegi dengan matriks identitas I, yaitu

A × I =I ×

A = A (ordo I sama dengan ordo matriks A).

e. Perkalian dengan matriks O, yaitu A × O=O ×

A = O.

f. Perkalian dengan skalar, yaitu (k A) ×

B = k(A × B).

Matriks 109

Aktivitas

Tujuan

: Menentukan hasil perkalian matriks dengan bantuan software komputer. Permasalahan : Bagaimana cara menentukan hasil perkalian matriks dengan menggunakan software komputer?

Kegiatan

: Kita akan menentukan matriks invers dengan Microsoft Excel. Fungsi yang digunakan adalah MMULT. Misalnya, akan ditentukan hasil perkalian matriks

Untuk itu lakukan langkah-langkah berikut.

1. Masukkan elemen-elemen matriks pada sel-sel Microsoft Excel.

Tantangan

Eksplorasi • Kerjakan di buku tugas

Misalkan diberikan matriks • 1 < 1 1 —

³ A = < 3 2 < 1 ³ µ µ dan – ³ < 2 1 0 ˜ µ

2. Tentukan hasil kali matriks A dengan

B. Caranya adalah sebagai berikut.

Blok sel-sel yang akan ditempati

elemen-elemen matriks hasil kali dari

– Tunjukkan bahwa hasil

matriks A dan B. Ketik “ = MMULT(”,

perkalian AB adalah matriks

kemudian sorot sel-sel yang mengan-

nol.

dung matriks A tadi. Kemudian, ketik “;”. Sorot sel-sel yang mengandung elemen-elemen matriks B diikuti dengan mengetik “)”. Tekan CTRL + SHIFT + ENTER maka matriks hasil kali dari A dan B akan muncul.

Kesimpulan : Jika kalian melakukan langkah-langkah yang diinstruksikan dengan benar, kalian akan memperoleh hasil berikut.

110 Khaz Matematika SMA 3 IPS

4. Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks

persegi, maka A n =A × A × A × ... ×

A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan A n =A × A n –1 atau A n =A n– 1 × A .

Contoh:

Diketahui matriks A = ³

Tantangan

• Kerjakan di buku tugas

Selidiki, manakah pernyata- an berikut yang benar.

3 1 < 2 Misalkan A dan B matriks 3 • — • < 8 — • 11 < 30 b. — A =A × A 2 =

persegi.

a. AB = BAB b. A 2 –B 2 = (A + B)(A – B)

Dengan cara lain, yaitu A 3 =A 2 × A, diperoleh

c. (A 2 ) 2 =A 4

A 3 =A 2 × A= • 3 < 8 — • 1 < 2 — • 11 < 30 ³ — µ ³ µ = ³ µ – < 4 11 ˜ – < 1 3 ˜ – < 15 41 ˜

Ternyata, A 2 × A =A × A 2 =A 3 .

Tugas: Observasi

4 1 2 11 c. 30 2A = 2A × 3 • < — • < A — =2

• Kerjakan di buku tugas

Dari soal pada contoh di

atas, coba selidiki, apakah

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 5

1. Hitunglah perkalian matriks-matriks berikut.

a. [ 1 < 2 4 ] ³ < 6 µ ³ µ

b. ³ b. ³

2. Diketahui matriks A = ³

dan I matriks identitas.

Tentukan

Tantangan

c. A × A • Kerjakan di buku tugas T ;

3. Diketahui matriks U =

,V=

³ µ , dan

Diberikan A =

dengan i = <1 . Tunjukkan

untuk I = ³ µ – . 0 1 ˜

c. (U × V) T × W;

f. W × U × V T .

4. Tentukan nilai dari a dan b yang memenuhi persamaan matriks berikut.

• a < 2 — •< 3 — •< 14 —

a. ³

• 3 a < 2 — • 6 — • 16 —

b. ³

µ ³ µ = ³ µ – b 4 ˜ – a ˜ – <8 ˜

• 2 a + 1 a — •< 2 — •< 4 —

c. ³

– 3 b < 3 a 3 ³ ˜ µ – ˜ – 20 ˜

• 2 < 1 — • a — • 16 —

d. ³

< 4 2 µ ³ – b µ = ˜ ³ – ˜ – <9 µ ˜

•< 2 4 — • a — • 16 —

e. ³

˜ – b ˜ – <9 ˜

• 2 a 1 — • a b — • 13 < 4 —

f. ³

112 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Kuis

5. Misalkan A dan B matriks-matriks yang dapat dikalikan serta

A dan C juga dapat dikalikan. Apakah berlaku jika A × B =

• Kerjakan di buku tugas

A × C maka B = C? Tunjukkan dengan contoh dan berikan

Nilai p yang memenuhi

alasanmu.

persamaan matriks • a b — • 5 < 2 — • 2 13 —

• 2 1 — • < 62 p —

6. Jika diketahui ³

, tentukan nilai

7. Jika titik A merupakan perpotongan dua garis yang disajikan

oleh persamaan matriks ³

, tentukan – 1 1 µ ³

koordinat titik A.

d. 1

8. Jika titik B merupakan perpotongan dua garis yang disajikan

e. 2 • 1 < SPMB 2004 2 — • x — • 4 —

oleh persamaan matriks ³

3 2 µ ³ y µ= ³ 8 µ – dan garis k ˜ – ˜ – ˜ (k dan l) adalah garis yang melalui titik B dan titik asal O,

tentukan persamaan garis k yang melalui C(–2, 3) dan sejajar garis l.

9. Diketahui matriks P = 1 3 0

µ dan Q = 2 1 2 ³ . < µ

³ – 0 < 1 4 ˜ µ Tentukan hasil perkalian matriks berikut.

10. Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

2x + 3y + z = 6 4x – 3y + z = 2 x – y – z = –1 Susunlah sistem persamaan itu dalam bentuk persamaan matriks. (Ingat aturan perkalian matriks)