Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel.

Matriks 129

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah ax + by = p ............................................................................ (1)

cx + dy = q ............................................................................. (2) Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam

bentuk matriks seperti di bawah ini. • a b — • x — • p —

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk

AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.

1 • d < b — • p — ³ µ = y ad < bc ³ < c a µ ³ q µ ,

asalkan ad – bc & 0.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks. 2x + y = 7 x + 3y = 7

Jawab:

Kuis

Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks

sebagai berikut.

• Kerjakan di buku tugas

— Jika ³

maka 4x + 5y = ....

Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks

a. –8

di atas, diperoleh sebagai berikut.

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.

130 Khaz Matematika SMA 3 IPS

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.

Misalkan A =

2 µ ,X= ³ µ , dan B = d ³ 2 µ .

³ – d 3 ˜ µ Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.

Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A –1

B. Dalam

hal ini, A –1

adj(A).

det A Oleh karena itu, diperoleh

asalkan det A & 0.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

berikut. 2x + y – z = 1 x +y+z=6 x – 2y + z = 0

Matriks 131

Jawab:

Cara 1 : Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencari invers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan menggunakan operasi baris elementer. 2x + y – z = 1

x+y+z =6 B

2 – 2B x+y+z =6 1

x+y+z =6B 1 CB 2 2x + y – z = 1 ~ 0 – y – 3z = –11 x – 2y + z = 0 ~ x – 2y + z = 0 B 3 –B 1 0 – 3y + 0 = –6

{ y =2

–B 2 x+y+z =6

– 1 3 B y 3 + 3z = 11

Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2 ke persamaan (2) sehingga y + 3z = 11 ‹ 2 + 3z = 11

‹ 3z = 11 – 2 ‹ 3z = 9 ‹ z =3

Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperoleh x+y+z =6 ‹ x +2+3=6

‹ x +5=6 ‹ x =6–5 ‹ x =1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.

Cara 2: Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk

matriks sebagai berikut.

Misalkan A =

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh

K 11 = (–1) M 11 = = 1 – (–2) = 3

1 K = (–1) 1+2

12 M 12 =

132 Khaz Matematika SMA 3 IPS

K 23 = (–1) 2+3 M 23 =–

Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K 31 = 2, K 32 = –3, dan K 33 = 1 (coba tunjukkan).

Dengan demikian, diperoleh

• K 11 K 12 K 13 —

µ kof(A) = ³ 21 22 23 = 1 3 µ 5 ³ µ ³ – K 31 K 32 K 33 µ ˜

Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A)) T .

Adj(A) = ³ 1 3 5 µ = ³

Jadi, X =

adj(A)B

det A

– ³ 27 ˜ µ ³ – 3 µ ˜ Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian,

himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 7 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.

a. 2x – y = 3

c. 6x + 2y = –1

2x + y = 1

2x – 4y = –7

b. –x + 2y = 4

d. 2x – 3y = 7

4x + 3y = 17

3x – 6y = 10

Matriks 133

Kuis

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan line- ar berikut.

• Kerjakan di buku tugas

a. x +y+z=2

c. –2x + y – 2z = -1

Jika x : y = 5 : 4 maka x dan y

x – 2y + z = 1

9x + z = 2

yang memenuhi persamaan

2x + y – 2z = –1

2x – 2y = –2

matriks ABC = [1.360],

d. 4x – y + 4z = 8 untuk A = [ 2 10 1 ] , B =

3. Dengan memisalkan bentuk variabel yang sesuai, tentukan

himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut

adalah ....

dengan metode matriks.

4 a. x = 1; y =

a. < = < 1 b.

b. x = ;y=1

5 c. x = 5; y = 4 d. x = –10; y = –8

e. x = 10; y = 8

UMPTN 1994

4. Jumlah dua bilangan sama dengan 105. Selisih kedua bilangan itu 15. Buatlah sistem persamaannya, kemudian dengan cara matriks tentukan bilangan-bilangan tersebut.

5. Jika harga 5 buah buku tulis dan sebuah pensil Rp7.000,00 dan harga 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil adalah Rp7.250,00. Tentukan harga 2 buah buku tulis dan 4 buah pensil.

6. Diketahui dua buah bilangan. Jumlah dua kali bilangan pertama dengan tiga kali bilangan kedua sama dengan 41. Empat kali bilangan pertama dikurangi tiga kali bilangan kedua sama dengan 19. Susunlah kasus di atas dalam sistem persamaan linear. Kemudian, dengan cara matriks, carilah bilangan-bilangan itu.

7. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang, yaitu X dan Y . Jumlah penerimaan dari 150 unit barang X dan 100 unit barang Y sebesar Rp450.000,00. Jumlah penerimaan dari 150 unit barang X dan 75 unit barang Y sebesar Rp406.250,00. Nyatakan kasus di atas dalam sistem persamaan linear. Kemudian, dengan cara matriks, tentukan besar penerimaan 200 unit barang X dan 150 unit barang Y.

8. Dalam suatu gedung bioskop terdapat 200 orang penonton. Harga tiap lembar karcis adalah Rp15.000,00 dan Rp20.000,00. Hasil penjualan karcis seluruhnya adalah

134 Khaz Matematika SMA 3 IPS

Rp3.475.000,00. Berapakah banyak karcis harga Rp15.000,00 dan harga Rp20.000,00 yang terjual? Selesaikan dengan cara matriks.

9. Perbandingan umur Titi dan Dewi 8 tahun yang lalu adalah

4 : 7. Perbandingan umur mereka 6 tahun yang akan datang adalah 6 : 7. Dengan cara matriks, tentukan perbandingan umur Titi dan Dewi sekarang.

10. Pak Rudi dan Pak Maman berjualan jenis barang yang sama. Modal Pak Rudi Rp4.000.000,00 lebih banyak dari modal Pak Maman. Jika keuntungan yang di dapat Pak Rudi 15%, sedangkan keuntungan Pak Maman 30% maka uang mereka menjadi sama banyak. Hitunglah modal Pak Rudi dan Pak Maman masing-masing.

3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan

Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode determinan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua variabel dan tiga variabel adalah sebagai berikut.

Kuis

Pada sistem persaman linear dua variabel, bentuk tersebut dapat diubah ke bentuk matriks berikut.

• Kerjakan di buku tugas

Nilai x + y yang memenuhi

µ ³ µ = ³ µ , dengan A = ³

µ ,X= ³ µ , dan B = ³ µ .

³ – 1 2 µ ³ µ= ³ µ adalah .... ˜ – y ˜ – 1 ˜

– y ˜ – q ˜ a. –4

Untuk menentukan penyelesaian persamaan matriks

b. –3

tersebut, terlebih dahulu kita tentukan determinannya sebagai

= ad – bc (Determinan koefisien x dan y, dengan ele-

Kompetisi Matematika

DKI, 2000

men-elemen matriks A)

= pd – bq (Ganti kolom ke-1, dengan elemen-

elemen matriks B)

= aq – cp (Ganti kolom ke-2, dengan elemen-

elemen matriks B)

Matriks 135

Nilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.

;y=

Dengan cara yang sama dapat ditentukan D, D x ,D y , dan D z untuk sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.

d 3 b 3 c 3 a 3 b 3 d 3 Nilai x, y, dan z dapat ditentukan dengan cara berikut.

;y=

; z= z

Contoh:

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode determinan.

a. 2x + y = 4

b. x +y+z=0

Tantangan

x –y+z=4

Jawab:

• Kerjakan di buku tugas

a. Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam

Usia Dina sekarang 8 tahun

lebih tua daripada umur

bentuk matriks berikut.

Diva. Pada 4 tahun yang

• 2 1 — • lalu, usia Diva sama dengan x — • 4 —

µ ³ 1 < 2 µ dua pertiga dari usia Dina. =

a. Buatlah sistem persama- an yang mewakili kasus

Kita tentukan nilai D, D x , dan D y .

di atas.

b. Susunlah sistem persa-

maan yang kamu peroleh

dalam bentuk perkalian matriks.

D x = = – 8 – (–3) = – 5

c. Dengan menggunakan

matriks, tentukan usia Dina sekarang.

136 Khaz Matematika SMA 3 IPS

10 Dengan demikian, x = D x = < = 1 dan y = = <

b. Sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat disusun

Tantangan

dalam bentuk matriks berikut.

Penalaran

• Kerjakan di buku tugas

Harga sebuah buku tulis – ³ 1 < 1 1 ˜ µ ³ – z ˜ µ ³ – 4 Rp2.700,00 dan harga se- µ ˜ buah bolpoin Rp3.500,00.

Kita tentukan nilai D, D ,D

y , dan D z .

Heny membeli 4 buah buku

tulis dan 2 buah bolpoin,

sedangkan Ari membeli 5 buah buku tulis dan sebuah

D = 1 1 < 1 = (1 + (–1) + (–1)) – (1 + 1 + 1) = – 4

bolpoin. Bagaimana bentuk

perkalian matriks dari kasus ini? Tentukan pula harga

yang harus dibayarkan masing-masing anak.

D x = < 2 1 < 1 = (0 + (–4) + 2) – (4 + 0 + (–2) = –4

D y = 1 < 2 < 1 = (–2 + 0 + 4) – (–2 + (–4) + 0) = 8

D z = 1 1 < 2 = (4 + (–2) + 0) – (0 + 2 + 4) = –4

1 < 1 4 Dengan demikian, diperoleh

= = –2, dan

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 8

Untuk soal nomor 1–5, tentukan penyelesaiannya dengan menggunakan metode determinan.

1. x +y=1 2x + 4y = 1

Matriks 137

2. 2x + 3y = 8 x +y=2

3. x – 2y + 3z = 10 2x + y – 2z = 11 2x + 3y – z = –1

4. x – 2y + z = 1 –2z + y + z = –2 x +y+z=4

5. 0,5x + 0,3y + 0,2z = 46 0,1x + 0,8y – 0,6z = 26 0,2x – 0,5y + 0,4z = 0

6. Jika x 0 dan y 0 memenuhi persamaan ¨ © ª 5 x < 6 y = 4

dan y 0 =

maka tentukan nilai 5x + 2p. 3 < 4 0

7. Seseorang membeli 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buah buku tulis dan 4 buah pensil, ia membayar Rp16.000,00. Buatlah model matematika (sistem persamaan). Kemudian, dengan cara determinan, tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil.

8. Ibu membeli 3 kg gula dan 7 bungkus teh dengan harga Rp20.050,00. Pada bulan berikutnya, Ibu kembali ke warung tersebut untuk membeli 4 kg gula dan 5 bungkus teh dengan harga Rp23.050,00. Berapakah harga untuk 2 kg gula dan 3 bungkus teh?

9. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak dan apel. Seseorang yang membeli 2 kg apel, 3 kg salak, dan 1 kg jeruk harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus

Tugas: Informasi lanjut

membayar Rp23.500. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg

• Kerjakan di buku tugas

salak, dan 3 kg apel harus membayar 36.500,00. Tentukan

Untuk menambah wawasan

model matematika (dalam bentuk sistem persamaan).

kalian tentang matriks,

Kemudian, dengan cara determinan, tentukan berapa harga

carilah hal-hal yang ber-

per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per

kaitan dengan matriks

kilogram apel?

(materi maupun tokoh- tokoh) dari media yang ada

10. Harga 3 kg beras, 2 kg gula, dan 1 kg telur di sebuah toko

di sekelilingmu (internet,

adalah Rp28.500,00. Harga 2 kg beras, 2 kg gula, dan 5 kg

perpustakaan, dan buku-

telur adalah Rp46.000,00. Seseorang harus membayar

buku referensi).

Rp34.000,00 untuk membeli 5 kg beras, 2 kg gula, dan 1 kg telur di toko itu.

138 Khaz Matematika SMA 3 IPS

a. Buatlah sistem persamaan kasus di atas. Kemudian, dari sistem persamaan itu, ubahlah dalam bentuk persamaan matriks.

b. Dengan cara determinan, tentukan berapa rupiah harga

1 kg beras, harga 1 kg gula, dan harga 1 kg telur di toko tersebut?

c. Dengan cara determinan, tentukan berapa rupiah yang harus dibayarkan jika seseorang membeli 3 kg beras, 1 kg gula, dan 2 kg telur?