Soal dan Penyelesaian Gas Riil

Bab 18 Soal dan Penyelesaian Gas Riil

1. Pada sistem gas real yang mengikuti Persamaan Van Der Waals

a ( p + 2 )( V −= b ) nRT , tentukanlah harga – harga kritis pada Critical Point :

Persamaan keadaan Van Der Waals

a ( p + 2 )( V −= b ) nRT (1)

V Bentuk persamaan ini mempunyai nilai – nilai kritis T c , P c dan V c . Pada daerah

sekitar titik kritis berlaku V 1 = V 2 = V 3 = V c untuk P dan T yang diketahui, sehingga dapat dibentuk persamaan

c ) = 0 (2) atau dapat dituliskan

c V + 3 V c V − V c = 0 (3) Persamaan (3) ini setara dengan persamaan (1) yaitu

a ( P c + 2 )( V −= b ) n RT yang dapat dinyatakan dengan c

a ab

VP c − bP c +− 2 = nRT c

3 2 2 VP

c − bPV c + aV −= ab nRT V c

V − bV + − = (4)

3 2 aV ab nRT V c

sehingga dapat ditulis dalam bentuk

V −+ ( b ) V + V − = 0 . (5)

3 nRT c 2 a ab

Perbandingan persamaan (4) dan (6) memberikan 3 persamaan simultan, yaitu nRT c

3 V c =+ b (6.a) P c

3 V c = (6.b) P c

V c = (6.c) P c

3 ab

Substitusi (6.b) pada (6.c) menghasilkan

V c () 3 V c =

1 2 ab

1 a ab

V c = 3 b (7.a) Dengan memasukkan (7.a) ke (6.b)

2 (7.b) 27b

Substitusi (7.a) dan (7.b) pada (6.a) nRT c

3(3 ) b =+ b

27 2 b nRT 2

c 27 b

9 b =+ b

a nRT 2

c 27 b c 27 b

8 a nRT c = (7.c)

27 b

Persamaan (7.a),(7.b),(7.c) merupakan harga – harga kritis pada daerah critical point.

2. Molekul gas hydrogen memiliki dua derajat kebebasan rotasi yaitu dalam bentuk ortho- and para hydrogen

a. Dua electron H 2 para hydrogen dalam bentuk keadaan antisimetris. Momentum

anguler orbital memiliki harga genap adalah E p = LL ( + 1 ) , dimana L =

0,2,4,…. Tuliskan fungsi partisi rorasi untuk single para-hydrogen

b. Dalam ortho-hydrogen, memiliki keadaan degenerasi kelipatan 3, adalah

E 0 = LL ( + , dimana L = 1,3,5,.. Tuliskan fungsi partisi rorasi untuk 1 )

2 I single ortho-hydrogen

Solusi :

− h β 2 LL 2 ( + 1) ∞ − β h (2 n 1)(2 n 2)

b. Z

32 L

L = 1,3,5,...

3. Suatu bahan mengalami expasi adiabatic, terutama bagaimana variasi perubahan tekanan terhadap volume.

a. Tunjukan bahwa : p

⎜ P ⎟ ⎞=−

CV V κ T

b. Dengan menggunakan hasil point a, tunjukan untuk gas ideal dalam kondisi

adiabatik expansi pV adalah konstanta, dimana γ=

kalikan pembagi dan penyebut dengan ⎛

Dengan mengingat devenisi ;

V )( − κ T V ⎛ ⎞ ⎛ ) ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ α V ⎠⎝ T ⎠

Maka diperoleh ;

1 , Tentukan ungkapan untuk ⎛ ∂ P =+ ⎞

nB

4. Menurut persamaan gas real

nRT

Solusi :

nB Bila diketahui persamaan gas real

V V ⎜⎝ V ⎟ atau ⎠ nRT 2 n RTB

nRT

2 = nRTV + n RTBV

V V Maka ;

⎞=− nRTV − 2 n RTBV

⎝ ∂ V ⎠ T nRT 2 2 =− n RTB

nRT ⎛ 2 nB

5. Tentukan ungkapan bagi ⎛ ∂ ⎞ ⎜ berdasarkan persamaan gas real pada soal no. 12.

atau T =

nR (

maka ; ⎛ 2 ∂ T ∂ ⎡ PV

( V + nB ⎥

⎣ nR

( V + nR nB nR )

2 2 PV −

V + nB ) −

nR ⎢ ⎣ ( V + nB )

PV ⎛ 1 ⎞ ⎡

nR V ⎝ + nB ⎠⎢

V ⎣ nB ( + ) ⎥

6. Perubahan entalpi (H) pada tekanan tetap dapat ditulis dalam bentuk persamaan dH = nC dT P dimana P C adalah kapasitas panas sistem pada tekanan konstan

dan bergantung pada temperatur menurut persamaan C P =+ a bT . Tentukan ekspresi dari ∆Η dari temperatur awal ke temperatur akhir T i T. f

Solusi :

dH = nC dT atau dH P = n a bT dT ( + )

= nadT + nbTdT

dH = n a dT + n bT dT

Dengan mengingat ;

untuk n ≠ −, ∫ 1

T dT = T

Maka ; Maka ;

( f −+

)( f −

H na T

7. Dengan menggunakan persamaan ⎛ ∂ ⎞

⎟ = V T ⎜ T ⎟ − P . Berdasarkan

persamaan gas van der Waals untuk gas real, tunjukan bahwa untuk gas real ⎛ ∂ U

⎜ ⎟ ⎞≠ 0 ⎝ ∂ V ⎠ T

Solusi :

Untuk persamaan gas van der Waals : nRT 2 an

P = − 2 atau

nR

V − nb V ⎜ ⎟ ⎝ ∂ T ⎠ V ( V − n b )

⎜ V nb ⎟ ( ⎢ − ) V

⎣ V − nb V

an = an V 2

U Jadi, untuk gas real berdasarkan persamaan gas van der Waals ⎛ ∂ ⎜ ⎟ ⎞≠ 0 ⎝ ∂ V ⎠ T

8. Koofisien gas Joule-Thompson berdasarkan eksperiment adalah ⎛ ∂ ⎞

µ JT − =⎜⎟ . ⎝ ∂ P ⎠ H

Jika 0 µ JT − p adalah kondisi dibawah entalpi. Apakah ada pengaruh temperatur pada gas? Jelaskan !

Solusi :

Aapabila gas pada kondisi

µ JT −

p 0 , maka terjadi pengurangan dP =⎜⎟

atau sebaliknya jika dP p 0 maka ⎛ ∂ ⎞ ⎜ ⎟ p 0 . Maka dapat disimpulkan bahwa

pada kasus ini ada pengaruh temperatur terhadap gas dan supaya µ JT − 0 f maka dT harus positif.

9. Persamaan gas real =+ 1 , Tujukan bahwa untuk gas van der Waals

kR , jika diketahui bahwa ⎛ ∂ T

1 atau P =

nRT

V V − nb V

V Jika V m = maka ; n

RT

Sehingga ; ⎛ ∂ P

10. Critical Phenomena (Fenomena kritis) pada sistem gas-liquid ditentukan oleh parameter keteraturan (order parameter). Pada critical point gas-liquid, order parameter ini adalah perbedaan volume ( Volume Difference = V ) fase – fase yang coexist yang cenderung bernilai 0 pada critical point. Tentukanlah critical exponent δ sistem Van Der Waals !

Solusi :

Critical Exponent δ sistem Van Der Waals didefinisikan sebagai :

1 / V ∝ δ P (1) Pernyataan di atas mempunyai makna bahwa V mempunyai bagian singular

proporsional dengan P dalam orde 1 / δ . Dengan kata lain, hendak ditinjau proporsional dengan P dalam orde 1 / δ . Dengan kata lain, hendak ditinjau

P V ∝ δ . (2) Dengan demikian δ ditentukan oleh orde P(V-V c ) minimal yang tidak singular. Persamaan keadaan sistem Van Der Waals dinyatakan oleh

( V − Nb )( P + 2 ) = Nk B T ,

V yang dapat dibentuk menjadi Nk 2

( V − Nb ) V

B T ( V Nb ) − − − N aV − (4) Persamaan (4) diselesaikan dengan proses ekspansi Taylor untuk mendapatkan relasi yang didefinisikan oleh persamaan (2) menjadi

1 2 2 = Nk

c ) = P ( V − V c ) + P ' ( V )( V − V c ) + P '' ( V )( V − V c ) + P ' '' ( V )( V − V c ) + ...

1 Dengan ρ = , persamaan (4) dapat dibentuk

(5) yang diturunkan orde 1 ,2 ,3 berturut – turut adalah

1 P Nk T ( − Nb ) − 1 2 = 2

∂ P − 2 1 = 2 Nk

B T ρ ( − ρ − Nb ) − 2 N a ρ (6.a) ∂ ρ ∂ 2 P

2 = − 2 Nk b T ρ ( ρ − Nb ) + 2 Nk B T ρ ( ρ − Nb ) − 2 N a ∂ ρ

(6.b) ∂ 3 P

3 = 6 Nk B ρ ( ρ − Nb ) + 12 Nk B T ρ ( ρ − Nb ) − 4 Nk B T ρ ( ρ − Nb ) ∂ ρ (6.c)

Dapat diperoleh juga

2 = 2 V (7.a, 7.b, 7.c) ∂ V ∂ 3 ρ

Dengan memanfaatkan (6.a, 6.b, 6.c) dan (7.a, 7.b, 7.c), dapat diperoleh ∂ P

= Nk B T ( V − Nb ) − − 2 N aV −

− yang singular karena faktor 3 V pada suku ke-2,

2 3 2 P 3 '' ( V − V

2 = − 4 Nk B T ( V − Nb ) − 4 Nk B TV ( V − Nb ) − 2 N aV ∂ V

yang juga singular pada suku ke-3, dan ∂ 3 P

P ' '' ( V V ) 36 Nk T ( V Nb ) − 2 3 2 − 4 c = 3 = B − + 72 Nk TV ( V Nb ) − − + 24 B − Nk B TV ( V − Nb )

yang ternyata tidak lagi singular. Hasil di atas menunjukkan bahwa suku deret Taylor yang merupakan ekspansi P(V) tidak singular setelah orde ke-3. Maka dapat dikatakan bahwa critical

exponent untuk orde parameter sistem gas-liquid ini adalah δ = 3

Soal 11 dan 12

( m − () =

Asumsi bahwa persamaan gas real dapat ditulis PV bT

RT dengan

bT ()() , , P dan V m

db T

dT

⎛⎞ 1 ⎛ ndb T

nR ⎞

11. Tunjukan bahwa

Diketahui bahwa PV m − bT () RT

⎜ − () ⎟ = RT ⇒= bT () atau V = nb T () +

nRT

1 ⎛ ∂ V ⎞ ⎛⎞ 1 ∂ ⎛

nRT ⎞⎛⎞ 1 ⎛ ndb T () nR ⎞

⎟ = ⎜⎟ ⎜ nb T () +

⎛⎞ 1 ⎛ ndb T () nR ⎞

12. Tunjukan bahwa κ =⎜

V () +

13. Persamaan keadaan gas van der Waals ( vbP − )( + 2 ) = kT B dimana v adalah

volume per partikel v = dengan a dan b adalah konstanta. Tunjukan bahwa

panas spesifik

Nk

kTv ( − )

3 vb

Solusi :

Berdasarkan persamaan termodinamika T ds ,

Dari kedua persamaan diatas maka selisih kedua persamaan diatas menjadi ;

C ⎛ ∂ P ⎞ − C ⎛ V ∂ ) dT = T ⎞ ⎜ ⎟ dP T + ⎜ ⎟ dV

Jika volume V konstan maka ;

C P C V ) dT T ⎛ ∂ − ⎞ dP atau dapat ditulis kembali menjadi ;

⎛ v ⎞⎛ ∂ C P C T ∂ NT ∂ ( ⎞ P − V ) = ⎜

Jika diketahui bahwa ( vbP − )( + 2 ) = kT B , maka ;

P −+ 2 3 P +− 2 3 ( vb −

Maka

C ⎛ ∂ v ⎞⎛ ∂ P ( ⎞ P − C V ) = NT

⎜ P + 2 ⎟ ( vb −− ) 3 ( vb v − )

= Nk kT

kT − 3 ( vb −

= Nk

vb − )

Soal Nomor 14 - 16

Partikel-partikel gas real encer dalam volume V berinteraksi dengan fungsi potensial sebagai Partikel-partikel gas real encer dalam volume V berinteraksi dengan fungsi potensial sebagai

0 , jika r > 0 U ( r ) =

, jika r < a , dengan r adalah jarak antar partikel .

Persamaan keadaan gas tersebut dapat dituliskan dengan bantuan ensembel Kanonik besar sebagai berikut :

kT

dengan λ adalah panjang gelombang termal, z : fugacity dan b m adalah integral cluster–m.

14. Gambarkan grafik cluster–m yang akan berkontribusi untuk m = 1, 2 dan 3, lengkap dengan labelnya.

Solusi :

(1+f 12 )(1+f 13 )(1+f 23 )=1+(f 12 +f 13 +f 23 )+(f 12 f 13 +f 12 f 23 +f 13 f 23 )+(f 12 f 13 f 23 ), Gugus 1 ;

Gugus 2 ; 1 • •2, 1• •3, 1• •3 Gugus 3 : 1 • •2, 2• •3, 3• •1 dan 1• •2

15. Tuliskan rumus b m tersebut dan hitunglah b 1 dan b 2 untuk kasus ini.

Solusi :

3 b 1 , b m ∑∏ = 3 l − 3

{} m l l = 1 m

ml l = N ∑

( Jumlah semua gugus l yang mungkin ) dan konstrain/kendala :

PV

Persamaan kT diperoleh dari hubungan dengan Fungsi partisi grand Kanonik :

⎛ Z = v G Z Z(N,V,T)=

N ∑ = 0 {} ∑∏ ⎜

ml Z l l m

b x ...

Diketahui bahwa : x = e ∑

untuk kasus gas real

= ln Z G dan N Z

ln Z G , maka ;

kT

1 2 Gunakan deret kuasa : 3 Z = an ∑

= an 1 + an 2 + an 3 + ...

Dimana ;

n = 3 Zb 1 + 3 Z b 2 + 3 Z b 3 +...

3 { Zb +2Z b +3Z b +... } 1 2 3 λ

1 2 3 2 3 2 n = 3 [( a 1 n + a 2 n + a 3 n +..)b 1 + 2( a 1 n + a 2 n + a 3 n +.. ) b 2 + λ

a 1 n + 3( a 2 n + a 3 n

+..) 3 b

3 [a 1 b 1 n +( a 2 b 1 +2 b a 1 2 )n +(a 3 b 1 +4 a 1 a 2 b 2 +3 b a 1 3 )n λ +..], Untuk, b 3

1 = 1, koefisien n = 1, maka ; a 1 = λ ,

koefisien n 2 =0 →a

2 b 1 +2 b a 1 2 2 = 0

2 =– 2 λ b 2 dan a

3 = λ (8 –3b b 2 2 a 3 ),, jadi

kT λ () λ (

3 1 → = 3 Zb l = 3 Z b + Z b + Z b +... 1 2 3

kT

1 = 3 a 1 n + a 2 3 2 kT 2 2 n + a 3 n 3 +..) b 1 + ( a 1 n + a 2 n + a 3 n +..) b 2 λ [( +

a ( 3 1 n + a 2 n 2 a 3 n + 3 +..) b 3 +... ]

kT = 3 1 b 1 n + (a 2 b 1 +b a 2 1 3 2 )n + (a 3 b 1 + 2a 1 a 2 b 2 +b a 1 3 )n λ[a +...],

Maka diperoleh ; A 1 = 1, A 2 =–b 2 dan A 3 = 4 – 2b b 2 2 3

16. Persamaan keadaan gas riil dapat juga dinyatakan sebagai uraian deret virial sbb : P

2 =A

1 +A 2 n+A 3 n +...

nkT dengan n = N/V. Turunkanlah ungkapan bagi A 1 ,A 2 dan A 3 dalam b m.

dr 1 = V V = 1, dr 1 = V V = 1,

b ⎡ drd r f ⎤

π 2 − u r kT ()

2 = 3 1 2 12 = 3 4 π r f r dr () = 3 re

− 1 dr

Soal Latihan

1. Tunjukan rasio ( pV RT / ) pada kritikal point untuk gas dimana persamaan

keadaanya (Persamaan Dieterici’s) pV ( −= b ) RT exp ( − / a RTV ) dan tunjukan

jawaban secara numerik.

2. Satu mol gas gas senantiasa menaati persamaan gas van der Waals. Jika molar energi internal u = cT − aV / ( V adalah molar volume dan a adalah konstanta persamaan

keadaan dan c adalah konstanta. Tentukanlah molar kapasitas panas v C dan C p

3. Persamaan gas van der Waals adalah P = − 2 , tentukanlah koofisien

RT

ekspansi termal α

4. Dengan menggunakan persamaan gas real van der Waals, tunjukan molar kapasitas panas pada volume konstan adalah hanya fungsi dari temperatus

5. Tunjukan dengan menggunakan persamaan gas real van der Waals perbedaan molar 5. Tunjukan dengan menggunakan persamaan gas real van der Waals perbedaan molar

⎜ P ⎟ berdasarkan persamaan gas real van

der Waals.

7. Dengan menggunakan persaman gas real van der Waals buktikan bahwa ⎛ ∂ E a

⎜ ⎟ ⎞= 2 ⎝ ∂ V ⎠ T V

8. Suatu sistem memiliki energi total USVN ( ,, ) = α N exp ⎜ 2 ⎟ dengan α dan ⎝ V ⎠

β adalah konstanta sedangkan S, V dan N masing-masing entropi, volume dan jumlah partikel. Tentukanlah potensial kimia µ sebagai fungsi dari dari temperatur

dan tekanan. ⎡ 3/ 2 ⎛

V ⎛ 4 π mU ⎞ ⎞ 5 ⎤

9. Persamaan Sackur-Tetrode SUVN ( ,, ) = Nk ⎢ ln

⎜⎜ merupakan 2 + ⎥ ⎢ ⎜⎝ N 3 Nh ⎟ ⎠ ⎟⎟ ⎣ 2 ⎝ ⎠ ⎥ ⎦ gambaran dari persamaan entropi gas ideal monoatomik. Jelaskan mengapa kondisi ini tidak berlaku untuk gas real ?

10. Persamaan gas ideal van der Waals ( V − Nb )( P + 2 ) = Nk B T dengan

temperatur Boyle T Boyle . Ketika temperatur ini dihilangkan pada koofisien virial

suku kedua, gas ideal akan sama dengan gas real di sekitar T Boyle . Dengan

menggunakan kritikal temperatur dari persamaan gas van der Waals, tentukan harga T Boyle

11. Dengan menggunakan hubungan termodinamika buktikan untuk elektron gas

1 ⎛ ∂ n ⎞ κ T =− ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ dengan n = NV /

V ⎝ ∂ p ⎠ NT n ⎝ ∂ µ ⎠ NT

12. Soal Nomor 13-16 Untuk kasus kristikal eksponen ;

Berdasarkan persamaan gas van der Waals tentukan ;

13. Kritikal point α

14. Kritikal point β

15. Kritikal point γ

17. Tunjukan entropy SEVN ( ,, ) dari gas real dengan N partikel klasik monoatomik

dengan energi total E tetap yang beradada dalam kotak d-dimensi dengan volume V. Berikan kesimpulan dari persamaan keadaan gas ini dengan asumsi N adalah sangat banyak

18. Gas real dengan N partikel dengan energi total E tetap Yang berada dalam kotak hiperkubik d – dimensi dengan panjang sisi L. Dengan mengasumsikan bahwa E sangat besar dibandingkan dengan ground state energy, Tentukan probailitas ditemukannya partikel dengan momentum p dalam gas ini ?

19. Suatu kotak mengandung gas ideal klasik dengan volume V tetap dan dinding kotak menyerap N 0 bagian. Tiap-tiap bagian dapat menyerap sampai dua partikel dengan energi tiap-tiap serapan − ε . Jumlah partikel N adalah tetap dan lebih besar dari 2N 0 . Gunakan ensembel grand kanonik untuk menunjukan persamaan keadaan gas dan tentukan jumlah rata-rata penyerapan partikel dengan batas T → 0 dan T →∞

20. Suatu gas A dengan N partikel bermasa m, jika permukaan area A dalam bentuk 2 dimensi gas ideal pada temperatur T di permukaan area. Energi serapan partikel

− dimana ε 0 p = pp x , y dan

ε energi ikat permukaan per partikel. 0

Dengan menggunakan aproksimasi dan asumsi bahwa partikel tak dapat dibedakan. Tentukan potensial kimia µ serapan gas.