Beberapa Besaran Gas

Bab 8 Beberapa Besaran Gas

Isi Bab Ini

Bab ini berisi diskusi tentang beberapa aplikasi distrubusi Maxwell-Boltzmann untuk menentukan beberapa besaran yang dimiliki gas.

Tujuan Bab Ini

Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami beberapa besaran besaran gas yang diturunkan dari fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann.

Apa Yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu

Untuk memahami lebih baik tentang bab ini, mahasiswa diharapkan memahami terlebih dahulu Bab 2, Bab 3, dan Bab 4.

8.1 Laju Dengan Peluang Maksimum

Pertama kita akan tentukan laju gas yang memiliki peluang maksimum. Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann memprediksi bahwa pada suhu tertentu laju partikel gas tidak seragam. Laju partikel gas bervariasi dari nol sampai tak berhingga. Tetapi ada laju yang memiliki peluang kemunculan paling besar. Laju tersebut berkaitan dengan lokasi puncak distribusi Maxwell-Boltzmann bila dinyatakan dalam variable laju. Gambar 8.1 adalah kurva kerapatan partikel gas sebafai fungsi laju pada berbagai suhu.

Laju dengan peluang kemunculan paling besar tersebut ditentukan dengan memecahkan persamaan

dn ( v ) =

0 (8.1) dv

Dengan menggunakan n (v ) pada persamaan (3.17) maka distribusi partikel dalam variable laju adalah

3 2 mv 2 / 2 n kT ( v ) dv = ( 4 π BVm e α ) v e − dv

3 / 2 v e dv (8.2) ( 2 π kT )

n(v) n(v)

T T 1 1 <T <T 2 2 <T <T 2 2

G ambar 8.1 Kerapatan partikel gas sebagai fungsi laju pada berbagai suhu.

B erdasarkan persamaan (8.2) kita simpulkan

3 / 4 2 π Nm

2 − mv 2 / 2 n kT ( v ) =

3 / 2 v e (8.3) ( 2 π kT )

se hingga

( 2 π kT ) ⎢⎣

( 2 π kT ) ⎢⎣

− mv 2 / 2 kT

2 π kT )

kT ⎥ ⎦

Ji ka v m adalah laju dengan peluang maksimum maka pada v m tersebut dn / dv = 0 . Ini dipenuhi jika

⎡ 3 mv m ⎤ ⎢ 2 v m −

⎣ kT ⎦

Y ang memberikan solusi untuk laju dengan peluang maksimum

2 kT v m = (8.5) m

8 .2 Laju Rata-Rata

Selanjutnya k ita akan menentukan laju rata-rata molekul gas. Laju rata-rata didefin iskan sebagai

vn ( v ) dv

v = ∞ n ( v ) dv

4 2 π Nm (

2 π kT ) ve

3 / 2 3 / 2 − mv 2 / 2 kT

v dv

4 2 π Nm (

2 π kT ) ve

3 / 2 3 / 2 − mv 2 / 2 kT

v dv

3 − mv 2 / 2 v kT e ∫ dv

2 − mv 2 / 2 v kT e ∫ dv

Untuk menyelesaikan persamaan (8.6) kita misalkan 2 x = mv / 2 kT . Dengan permisalan ini maka

Dengan demikian, integral pada pembilang di persamaan (8.6) dapat diganti dengan

x − dx ∫

Jika paremater dalam fungsi gamma merupakan bilangan bulat maka Γ ( n ) = ( n − 1 )! . Dengan demikian, pembialang dalam persamaan (8.6) bernilai

2 2 1 2 ⎛ 2 kT ⎞ 1 ⎛ 2 kT

⎛ 2 kT ⎞

Selanjutnya kita lihat integral pada penyebut di persamaan (8.6). Dengan melakukan substitusi yang sama deng di atas maka penyebut tersebut berubah menjadi

Akhirnya laju rata-rata menjadi

8.3 Laju Root Mean Square

Laju root mean square atau disingkat rms adalah laju yang diperoleh dari perata- rataan 2 v . Laju rms akan menentukan energi kinetik rata-rata atom atau molekul gas.

Mari kita hitung dulu rata-rata dari 2 v .

v 2 n ( v ) dv

v = ∞ n ( v ) dv

4 2 π Nm (

3 / 2 3 / 2 2 − mv 2 / 2 kT

2 π kT ) v e v dv

4 2 π Nm (

2 π kT ) ve

3 / 2 3 / 2 − mv 2 / 2 kT

v dv

4 − mv 2 / 2 v kT e ∫ dv

2 − mv 2 / 2 v kT e dv

Dengan melakukan substitusi serupa dengan yang kita lakukan pada sub bab 8.2 dalam mencari laju rata-rata, integral pada pembilang dapat diganti dengan

x e × − x dx ∫

Bagian penyebut persamaan (8.8) sama dengan bagian penyebut pada persamaan (8.6), dan hasil integralnya adalah

3 / π 2 ⎛ 2 kT ⎞ ⎜

Dengan demikian, rata-rata kuadrat laju menjadi

4 ⎝ m ⎠ Akar dari 2 v merupakan laju rms, yaitu

v rms = v = (8.10)

2 3 kT

Laju rms menentukan energi kinetik rara-rata molekul. Hal ini dapat kita perlihatkan sebagai berikut. Energi kinetik molekul yang memiliki laju v memenuhi

K 2 = mv / 2 . Energi kinetik rata-rata adalah

K = m v = m × = kT (8.11)

1 2 1 2 kT 3

8.4 Distribusi Partikel Dalam Besaran Lain

Persamaan (8.2) menyatakan jumlah partikel yang memiliki laju antara v sampai v + dv . Kadang kita perlu mencarai jumlah partikel yang memiliki komponen laju v x

sampai v x + dv x saja, berapa pun laju v y dan v z . Informasi ini diperlukan misalnya saat menetukan besaran-besaran yang berkaitan dengan partikel yang bergerak dalam satu

arah saja, misanya difusi partikel sepanjang batang. Untuk mendapatkan distrubusi dalam fungsi komponen kecepatan kita lakukan penurunan ulang ungkapan kontinu dari g s .

Kita tinjau elemen ruang fase yang berada antara koordinat-kordinat sebagai berikut Antara x sampai x + dx Antara y sampai y + dy

Antara sampai z z + dz Antara p x sampai p x + dp x

Antara p y sampai p y + dp y

Antara p z sampai p z + dp z

Volum elemen ruang fasa tersebut adalah d Γ = dxdydzdp x dp y dp z . Dan karena p x = mv x , p y = mv y , dan p z = mv z maka kita dapat menulis

d 3 Γ = m dxdydzdv x dv y dv z (8.12)

Apabila kita membatasi partikel hanya berada antara v x sampai v x + dv x , antara v y sampai v y + dv y , dan antara v z sampai v z + dv z saja, dan tidak membatasi nilai variable ruang maka volum ruang fasa diperoleh dengan melakukan integral d Γ pada semua variable ruang dan hasilnya adalah

v x , v y , v z = m dxdydz dv x dv y dv z ∫

= 3 m Vdv x dv y dv z (8.13)

Jika

B adalah kerapatan keadaan maka kita dapat mengganti g s dalam bentuk kontinu sebagai berikut

g 3 s → B ∆Γ v x , v y , v z = Bm Vdv x dv y dv z (8.14)

Karena n s adalah jumlah sistem yang menempati keadaan g s , maka bila kita mendefinisikan n ( v x , v y , v z ) sebagai bentuk kontinu untuk n s melaui transformasi berikut ini,

n s → n ( v x , v y , v z ) dv x dv y dv z

Dengan menggunakan hubungan E n α+ β s s = g s e dan mengganti n s dan g s dengan variable kontinunya maka didapat

y v z ) dv x dv y dv z = Bm Vdv x dv y dv z × e (8.15)

Selanjutnya kita melakukan penggantian variable sebagai berikut

E = mv = m

kT

BV ( π 2 mkT )

Dengan penggantian variebl di atas maka persamaan (8.15) menjadi

BV ( 2 π mkT )

m v 2 + v ⎞ 2 ( x y + v z 2 ) / 2 kT

= N ⎜ ⎟ e dv x dv y dv z (8.16) ⎝ 2 π kT ⎠

Selanjutnya kita dapat menghitung jumlah molekul yang memiliki komponen kecepatan antara v x sampai v x + dv x , berapa pun nilai v y dan v z dengan mengintegralkan

n ( v x , v y , v z ) dv x dv y dv z , pada semua nilai v y dan v z yang mungkin, yaitu dari v y = −∞ sampai v y = +∞ , dan v z = −∞ sampai v z = +∞ . Hasilnya adalah

v y ∫∫ = −∞ v z = −∞

⎝ 2 π kT ⎠ v y = ∫∫ −∞ v z = −∞

e dv x dv y dv z

⎝ 2 π kT ⎠ ⎜ v y = ∫ −∞

− mv y / 2 kT

− mv z / 2 e kT dv

v y = ∫ −∞

mv − 2 y / 2 Kita tinjau integral berikut ini kT e dv

y . Kita lakukan transformasi variable

sebagai berikut

Dengan transformasi tersebut maka integral yang ingin kita cari dapat ditulis

η = ∫ −∞ ⎝ m ⎠

⎝ m ⎠ η = ∫ −∞

1 / ⎛ 2 2 π kT ⎞ = ⎜

Dengan cara persis sama kita akan dapatkan

⎛ 2 e kT dv π ⎞

v y = ∫ −∞

− mv z / 2 kT

Akhirnya

= N ⎟ e ⎜ − dv x (8.17) ⎝ 2 π kT ⎠

Persamaan (8.17) menyatakan kerapatan partikel yang memiliki komponen kecepatan arah sumbu x antara v x sampai v x + dv x .