Soal dan Penyelesaian Statistik Maxwell-Boltzmann

Bab 14 Soal dan Penyelesaian Statistik Maxwell-Boltzmann

1. Soal :

a. Jelaskan perbedaan antara statistik Maxwell-Boltzmann dengan statistik lainnya. Bagaimana hubungan statistik-statistik tersebut dengan keterbedaan dari partikel- partikel identik?

b. Jelaskan mengapa perbedaan antara tipe-tipe statistik tersebut menjadi tak penting pada suhu tinggi. Seberapa tinggikah yang dikatagorikan suhu tinggi tersebut?.

Solusi :

a. Statistik Maxwell-Boltzmann berlaku untuk sistem terlokalisasi, partikel-partikel saling terbedakan dan jumlah partikel yang dapat mengisi satu keadaan tidak dibatasi. Jumlah rata-rata partikel yang mengisi tingkat energi ε l memenuhi bentuk umum

a l = w l exp( −− α βε l )

dengan w l adalah degenerasi dari tingkat energi ke-l. Statistik Fermi-Dirac berlaku untuk sistem yang terdiri atas fermion, partikel-partikel

tak dapat terbedakan dan memenuhi prinsip larangan Pauli. Satu keadaan hanya dapat diisi maksimal dua partikel dengan arah spin berlawanan. Jumlah rata-rata partikel yang mengisi tingkat energi ε l adalah

e α βε + l )

Statistik Bose-Einstein berlaku untuk sistem yang terdiri atas boson, partikel-partikel tak dapat terbedakan. Satu keadaan kuantum dapat diisi oleh partikel dalam jumlah berapa pun. Jumlah rata-rata partikel yang mengisi tingkat energi ε l adalah

b. Dari jawaban sebelumnya, pada − e α 1 , atau e >> α << 1 , fungsi statistik Bose- Einstein dan Fermi-Dirac menjadi

( e + α βε l ) ≈ ( +

( α + l ) βε

± Dengan demikian pada kondisi tersebut ke tiga tipe statistik tersebut menjadi sama.

1 e α βε l )

Menghingat e α =⎜ n ⎟ , dengan n adalah kerapatan partikel maka kondisi di

⎝ 2 π mkT ⎠

di atas terpenuhi pada T >> . Dengan demikian, perbedaan antara ketiga tipe

2 π mk

statistik tersebut menjadi tak penting pada limit temperatur tinggi di atas.

2. Soal :

Jelaskan mengapa, statsistik Maxwell-Boltzmann tepat digunakan untuk kedua sistem di bawah ini :

a. Gas 4 He dalam suhu ruang dan tekanan standar (STP)

b. Elektron dan hole semikonduktor Ge pada STP (band-gap ≈ 1 eV)

Solusi :

a. Gas 4 He termasuk boson sehingga memenuhi statistik Bose-Einstein. Namun pada keadaan STP kita dapat mempergunakan statistik Maxwell-Boltzmann karena

terpenuhi . Mari kita cek − e α << 1

2 π mkT ⎟⎟⎠

Kita menggunakan persamaan gas ideal pV = NkT , atau n = N / V = p / kT . Dengan demikian

Pada STP maka T 5 ≈ 300 K, P = 1 atm ≈ 10 Pa. Dengan memasukkan nilai tersebut dan

− massa atom helium maka diperoleh 6 e α ≈ 3 × 10 << 1

b. Elektron dan hole adalah fermion sehingga memenuhi fungsi distribusi Fermi- ( ε 1 − / µ ) / Dirac kT

[ e + 1 ] . Dalam semikonduktor, parameter µ disebut tingkat energi fermi.

Untuk kebanyakan semikonduktor, lebar celah pita energi di atas 1 eV dan lokasi energi Fermi sekitar tengah-tengah celah pita energi. Dengan demikian ( ε − ) ≈ 0,5 eV. Pada µ

STP nilai energi termal kT ≈ 0,025 eV. Dengan demikian ( ε − µ ) / kT ≈ 0 , 5 / 0 , 025 = 20 ( ε − µ ) / sehingga atau fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk elektron dan hole dalam kT e >> 1

( µ − ε ) / semikonduktor dapat diaprokasimasi dengan kT 1 / e = e yang merupakan fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann.

( ε − µ ) / kT

3. Soal :

Tunjukkan bahwa λ = exp µ () kT = nV Q untuk gas ideal adalah valid untuk λ << 1 ; µ

2 adalah potensial kimia, n adalah densitas gas, dan 3 V Q = ( h /2 π mkT )

2 adalah volum kuantum.

Solusi :

Dengan pendekatan λ << 1 , statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein akan menjadi statistik Maxwell-Boltzmann :

Densitas keadaan dari sebuah gas ideal (dengan tidak menyertakan keadaan spin) adalah :

3 D () εε d =

3 (2 ) m 2 ε d ε

sehingga

⎛ mkT ⎞

Yang menunjukkan bahwa λ= nV Q

4. Soal :

Sebuah bejana kubik dengan sisi 20 cm berisi gas diatomik H 2 pada temperatur 300 K. Setiap molekul H -

2 terdiri atas dua atom hidrogen dengan massa masing-masing 1,66x10

24 g, terpisah sejarak + 10 -8 cm. Gas tersebut diasumsikan bersifat seperti gas ideal. Abaikan derajat kebebasan vibrasi.

a. Hitunglah kecepatan rata-rata dari molekul-molekul tersebut.

b. Hitunglah kecepatan rotasi rata-rata dari molekul tersebut terhadap sebuah sumbu yang tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan kedua buah atom (anggap setiap atom sebagai titik massa).

c. Hitunglah kapasitas panas C v dan C p .

Solusi :

a. Jumlah derajat kebebasan dalam sistem ini adalah 3. Maka

kT = Mv

sehingga 3 v ≈ v = ≈× 2 10 m / s

2 3 kT

b. Jumlah derajat kebebasan rotasi adalah 2. Maka:

I ω= kT dengan I =⋅ m⎛⎞ ⋅= 2 mr adalah momen inersia dari molekul

H 2 , m adalah massa atom H, dan r adalah jarak antara kedua atom hidrogen tersebut.

2 1 Maka diperoleh : 3 ω ≈ ω ≈ 3, 2 10 / s ×

c. Kapasitas panas molar :

Carilah rapat probabilitas ( ) ρ E untuk energi E dari sebuah atom tunggal dalam gas monoatomik klasik tak-berinteraksi yang berada dalam kesetimbangan termal.

Solusi :

Ketika jumlah atom dari gas tersebut sangat besar, keadaan sistem dapat direpresentasikan dalam sebuah fungsi distribusi kontinu. Ketika sistem mencapai kesetimbangna termal, probabilitas sebuah atom memiliki energi E sebanding dengan

exp(- / 2 E kT ) , dimana E = p /2 m , dengan p adlaah momentum dari atom. Maka probabillitas dari atom berada pada p dan p+dp adalah :

2 3 A exp( − p /2 mkT d ) p Dari

2 3 A exp( − p /2 mkT d p ) = 1 ∫

Diperoleh

A = ( 2 π mkT )

Sehingga

1 exp( / p /2 ) 2 − A E kT − mkT d p =

Ee d π E

( kT ) 2

≡ ρ () E dE ∫

Yang menghasilkan

2 1 2 / ρ E kT () E 3 E e = − ( kT ) π 2

6. Soal :

Misalkan energi dari sebuah partikel dapat direpresentasikan dalam bentuk 2 Ez () = az dengan z adalah kordinat, atau momentum, dan dapat memiliki nilai dari - ∞ sampai ∞.

a. Tunjukkanlah bahwa energi rata-rata tiap partikel untuk sistem di atas yang

memenuhi statistik Boltzmann adalah E = kT /2

b. Sebutkan prinsip ekipartisi energi, dan jelaskan pula hubungannya dengan perhitungan di atas.

Solusi :

a. Dari statistik Boltzmann, fungsi distribusinya adalah (z dapat berupa posisi maupun momentum) :

Sehingga energi rata-rata partikelnya adalah

()() f z E z dz

exp ⎛ () ⎞ ∫ dz

dengan memasukkan 2 Ez () = az dari persamaan di atas, maka diperoleh

E = kT /2

b. Prinsip ekipartisi energi : Untuk sistem partikel klasik dalam keadaan kesetimbangan termal pada temperaturT, energi rata-rata dari masing-masing derajat kebebasan dari sebuah partikel setara dengan 1

2 kT .

Dalam persoalan di atas, sistem hanya memiliki 1 derajat kebebasan, maka energi rata-ratanya adalah 1

2 kT .

7. Soal :

Sebuah sistem yang memiliki 2 tingkat energi E 0 dan E 1 memiliki N buah partikel. Partikel-partikel tersebut menempati tingkat energi menurut hukum sitribusi klasik.

b. Hitunglah energi rata-rata tiap partikel terhadap temperatur pada saat T → 0 dan T →∞

Solusi :

a. Energi rata-rata sebuah partikel adalah :

Ee − β E 0 Ee − β E 1

+ e Dengan mengambil asumsi E 1 >E 0 > 0 dan menentukan ∆=− E E 1 E 0 , maka diperoleh E E

0 + Ee −∆ u β 1 =

−∆ β E 1 + e

b. Ketika T → 0 , maka β= 1/ kT →∞ , diperoleh

−∆ β E −∆ β E −∆ β u E ≈ E (

0 + Ee 1 1 − e =+∆ E Ee )( ) 0

Ketika T →∞ , maka β= 1/ kT → 0 , diperoleh

u 1 2 ( E E β EE 1 1 ≈ β 0 +− 1 1 ∆ ) ( 1 +∆≈ 2 β E ) 2 ( E 0 + E 1 ) −∆ 4 ( E ) 2

8. Soal :

Untuk sebuah sistem klasik yang memiliki 2 tingkat energi E 0 dan E 1 memiliki N buah partikel,

a. Turunkan ungkapan kapasitas panas spesifik dari sistem N partikel.

b. Hitunglah kapasitas panas pada limit T → 0 dan T → ∞

Solusi :

a. Kapasitas panas spesifik per mol adalah ∂ 2 u

e −∆ / ⎝ E kT ⎠+ ( 1 )

e / −∆ E kT ≈⎜⎟ ⎝ kT ⎠

Ketika T →∞ diperoleh R 2 ∆ E

≈⎜⎟ 4 ⎝ kT ⎠

9. Soal :

Tiga energi terrendah dari sebuah molekul adalah E 1 = 0, E 2 = ε, E 3 = 10 ε. Tunjukkanlah bahwa untuk temperatur yang cukup rendah, hanya terdapat 2 tingkat energi yang dapat terisi (E 1 dan E 2 ). Tentukan seberapa rendah temperatur yang dimaksud.

Solusi :

Misalnya sistem memiliki partikel sebanyak N buah, maka menurut statistik Boltzmann,

Pada saat N 3 < 1, tak ada pengisian pada tingkat energi N 3, yaitu pada saat T < T c , hanya

E 1 dan E 2 yang terisi, maka hubungan

1 + e 9/ ε kT e ε 10 / + kT

k ln N

10. Soal :

Untuk kasus sebuah sistem yang memiliki tiga energi terrendah dari sebuah molekulnya adalah E 1 = 0, E 2 = ε, E 3 = 10 ε, carilah energi rata-rata E dari molekul pada temperatur T. Cari ungkapan C v sebagai fungsi dari T pada temperatur tinggi dan temperatur rendah.

Solusi :

Energi rata-rata dari molekul tersebut adalah

Sedangkan kapasitas panas spesifiknya adalah :

Dengan β= 1/ kT dan N A adalah bilangan Avogadro.

Untuk temperatur tinggi, kT ε, 182 2 ⎛ ε ⎞ 1

9 ⎜ ⎝ kT ⎟

Untuk temperatur rendah, kT ε, e − ε / kT

() kT

11. Soal :

Sebuah sistem dua kisi berbeda masing-masing terisi oleh atom dengan spin yang terorientasi sedemikian rupa sehingga energinya dapat bernilai ε = 1, 0, -1 dengan

Solusi :

Untuk atom tunggal, ungkapan berikut ini terpenuhi : e β e − − β

1 e β e − ++ β Dan untuk sistemnya,

U =+=− 1 2 2 εε −

1 ++ e β e − β

U 2 2 2 = 2 ( εε

Karena εεεε 12 =⋅ 1 2 , maka

2 [ 2 exp(2 ) exp( 2 ) β + − β ] + exp β + exp( − β U )

+ 1 exp β + exp( − β ) ]

12. Soal :

Hitung temperatur dari sebuah sistem yang terisi 6.0x10 22 atom gas helium pada tekanan

atmosfer.

Solusi :

Dengan menggunakan persamaan keadaan gas ideal, diperoleh T = pV nk / = 241 K

13. Soal :

Hitunglah temperatur sebuahsistem partikel yang terisi tingkat-tingkat partikel tunggal dan memenuhi statistik Maxwell_Boltzmann yang mengalami kontak termal dengan reservoir panas pada temperatur T. Distribusi populasi dalam tingkat-tingkat energi non- degenerate ditunjukkan dalam tabel di bawah.

Energi (eV)

Populasi

30.1 x 10 -3

21.5 x 10 -3

12.9 x 10 -3

Distribusi populasi diberikan oleh ungkapan : n 2 =

exp(( εε 1 − 2 )/ kT )

Sehingga εε 1 − 2 T 1

() n 1

k ln 2

Dengan menggunakan nilai n 1 dan n 2 yang telah diberikan, diperoleh nilai-nilai T berikut: 99.2; 99.5; 99.0; 99.5; 100.2; 98.8 K Harga rata-rata T adalah T = 99.4 K.

14. Soal :

Dalam sebuah eksperimen kriogenis, panas disalurkan ke sampel pada laju konstan 0.01 watt. Entropi dari sampel tersebut bertambah seiring waktu seperti yang ditunjukkan dalam tabel di bawah. Hitung temperatur sampel pada t = 500 s.

Waktu (sec) 100 200 300 400 500 600 700 Entropi (J/K) 2.30 2.65 2.85 3.00 3.11 3.20 3.28

Solusi :

Laju rata-rata pengambilan panas adalah S

T = ∂ = , menghasilkan

= ∂⎛ ⎞ S

⎜⎟ ⎝⎠ ∂ t

Nilai ∂ S diperkirakan dengan menggunakan integral tengah pada t = 500 s, diperoleh ∂ t

∂ S ⎛ − 3.20 3.00 ⎞ − = 3 ⎜ ⎟ =× 1.0 10 J / sec. K ∂ t ⎝ 600 400 − ⎠

Sehingga, nilai T = 10 K.

15. Soal :

Turunkan ungkapan kapasitas panas vibrasi dari gas diatomik sebagai fungsi dari temperatur. (Gunakan h ω 0 / k = θ ). Lakukan dengan menggunakan ungkapan fungsi partisi

vibrasi, mengevaluasi dan menggunakan hasilnya untuk menghitung nilai C vib .

Solusi :

Tingkat energi vibrasi untuk gas diatomik adalah :

h ε 1 v = ω 0 ( v + 2 ), v = 0,1, 2,. ..

Fungsi partisinya adalah :

Z vib = exp [ − βω h 0 ( v + 1 ∑ ) 2 ]

v = 0 =⎜− ⎝ 1 e ⎠

− x ⎟ dengan x =h βω 0

Energi bebas untuk 1 mol gas tersebut adalah :

F =− N kT ln Z

A vib =

ln 1 exp( − − βω 0 )

Energi dalam dari sistem ini adalah :

h FT ∂ F U N A =− N = h A ω ω 0 0 +

2 exp( βω h 0 )1 −

Sehingga dapat diturunkan ungkapan kapasitas panas vibrasi :

Tentukan limit temperatur C vib untuk kasus gas diatomik.

Solusi :

Dari persoalan sebelumnya, telah diturunkan ungkapan kapasitas panas vibrasi, yaitu : 2 U x xe

∂ T ( x − 1)

kT T

Limit temperatur tinggi T θ, atau x 1, maka didapat :

C v ≈ R Limit temperatur rendah T θ, atau x 1, maka didapat :

C v 2 ≈ R ( / ) exp( θ T − θ /) T

17. Soal :

Osilator harmonik kuantum 1 dimensi (dengan tingkat energi dasar = h ω /2 ) berada dalam kesetimbangan termal dengan reservoir panas pada temperatur T.

a. Carilah nilai energi rata-rata sebagai fungsi T.

b. Carilah nilai akar kuadrat rata-rata dari fluktuasi energinya.

c. Bagaimana nilai-nilai keduanya pada limit kT h ω dan kT h ω

Solusi :

Diketahui fungsi partisi sistem tersebut adalah :

z ⎞ = 2 exp −

= exp

n = 0 ⎜ ⎝ kT ⎟ ⎠ ∑ n = 0 ⎢

−+ ( n 2 ) =

kT ⎣ ⎥ ⎦ sinh h ( ω

2 kT )

a. Energi rata-ratanya adalah :

∆= E Tk

2sinh h

2 kT

c. Pada limit kT h ω :

E ω , E h ω exp ⎛ h ω → ⎞ ∆→ −

⎟ ⎝ 2 kT ⎠

Pada limit kT h ω :

E → kT , ∆→ E kT

18. Soal :

Perhatikan sebuah sistem N 0 osilator kuantum tak berinteraksi 1D dalam kesetimbangan termal pada temperatur T. Tingkat energi dari sebuah osilator diketahui berupa :

E m 1 =+ ( m 2 ) / , dengan γ V m = 0,1, 2,...; adalah konstanta, adalah volume1D γ V

a. Tentukan U dan C v sebagai fungsi T.

b. Sketsa U(T) dan C v (T).

Solusi :

Fungsi partisi sistem ini adalah :

() = csch βγ

1 exp − βγ

m = 0 2 ⎝ V V ⎠ − 1 exp − βγ 2 ()

= V exp

V ()

a. Energi dalam sistem ini adalah ∂

2 V () 2 V

2 V () 2 VkT

coth γ

Kapasitas panas spesifik pada volum konstan adalah :

()() 2 VkT 2 ⎝ VkT ⎠

⎜ = Nk 0 csch

b. Sketsa U(T) dan C v (T).

Energi kinetic rata-rata dari atom-atom Hidrogen dalam sebuah atmosfer bintang (diasumsikan berada dalam kesetimbangan termal) adalah 1,0 eV.

a. Berapa temperatur atmosfer tersebut dalam K

b. Berapa rasio jumlah atom pada keadaan tereksitasi kedua (n=3) terhadap jumlah pada keadaan dasar.

Solusi :

a. Temperatur atmosfer bintang tersebut : 2 19 ε ×× 2 1.6 10 −

= × 7.7 10 K

b. Tingkat energi untuk atom Hidrogen adalah : ⎛ − E 13.6 ⎞

n =⎜ 2 eV

Dengan menggunakan distribusi Boltzmann, diperoleh : N 3 ⎛ E 1 − E

N 1 ⎜ kT ⎟ ⎝ ⎠ Dengan memasukkan nilai-nilai berikut :

exp

E ⎛ − 13.6 ⎞ eV, E ⎛ − 13.6 1 ⎞ = ⎜ 2 ⎟ 3 = ⎜ 2 ⎟ eV, dan kt = (2 / 3) eV

Maka didapat nilai : N

3 / N 1 1.33 10 ≈ − ×

20. Soal :

Sebuah gas monoatomik terdiri atas atom-atom dengan dua tingkat energi dalam: keadaan dasar dengan degenerasi g 1 dan keadaan tereksitasi rendah dengan degenerasi g 2 pada energi E di atas keadaan dasar. Carilah kapasitas panas spesifik dari gas tersebut.

Solusi :

Berdasarkan distribusi Boltzmann, energi rata-rata dari atom-atom tersebut adalah: 3 g Ee − / 2 E kT

ε = kT ++ E 0 − / E kT

2 g 1 + ge 2

dengan E 0 adalah energi disosiasi keadaan dasar (keadaan dasar dipilih sebagai titik nol energi), maka

3 E kT = ggEe k

E kT 2 2 kT ( g

2 + ge 1 )

Soal Latihan

1. Jelaskan metode eksperimen yang dapat digunakan untuk melakukan validasi untuk distribusi Maxwell-Boltzmann.

2. Sebuah kolom silindris berisikan gas pada temperatur tertentu (T) berputar terhadap sumbu dengan kecepatan anguler yang konstan. Turunkan ungkapan fungsi distribusi kesetimbangan sistem ini.

3. Misalkan sebuah sistem terdiri dari N partikel yang tidak saling berinteraksi (N>>1), dimana energi setiap partikel diasumsikan dua dan hanya memiliki dua nilai yaitu 0 dan E

(E>0). Jumlah hunian energi pada tingkat 0 dan E adalah n 0 dan n 1 . Energi total sistem tersebut adalah U.

a) Carilah entropi sistem tersebut.

b) Carilah temperatur sebagai fungsi dari U. Pada rentang berapa nilai n o sama dengan T<0?

c) Ketika sebuah sistem temperatur negatif mengalami kontak panas dengan sistem temperatur positif, dari arah manakah panasnya mengalir? Mengapa?

4. Pada sebuah medan magnet terdapat paramagnet ideal dengan entropi S=S 2

0 – CU ,

dengan U adalah energi sistem spin dan C adalah konstanta dengan parameter mekanik sistem yang tetap.

a) Tentukan Energi U sistem spin tersebut sebagai fungsi dari T, dengan menggunakan definisi fundamental temperatur.

b) Gambarkan grafik U vs T untuk semua nilai T (- ∞<T<∞).

c) Jelaskan secara singkat pengertian fisis mengapa temperatur negatif termasuk bagian dari hasil yang didapat.

5. Sebuah material terdiri dari n partikel yang saling tidak tergantung dan berada dalam pengaruh medan magnetik eksternal lemah H. Setiap partikel memiliki momen magnetik mµ selama berada dalam medan magnetik tersebut, dimana m = J, J-1, …, -J+1, -J, J merupakan bilangan bulat, dan µ adalah konstanta. Sistem tersebut berada dalam temperatur T.

a) Carilah fungsi partisi sistem tersebut.

b) Hitung nilai rata-rata magnetisasi M material tersebut.

c) Carilah asimtot M untuk T yang bernilai sangat besar.

6. Misalkan terdapat gas yang terdiri dari atom-atom spin-½ dengan kerapatan n atom per volume satuan. Setiap atom memiliki momen magnetik intrinsik µ dan interaksi antar atom dapat diabaikan. Asumsikan bahwa sistem tersebut mematuhi aturan statisktik klasik.

a) Berapakah peluang menemukan atom dengan µ parallel terhadap medan magnetik

H pada temperatur mutlak T?

b) Berapakah peluang menemukan atom dengan µ anti parallel terhadap medan magnetik H pada temperatur mutlak T?

7. Sebuah sistem paramagnetik terdiri dari dipole magnet N. Setiap dipole memiliki momen magnetik µ yang mematuhi aturan klasik. Jika sistem tersebut pada temperatur berhingga T berada pada medan magnetik uniform H, tentukan:

a) Induksi magnetik sistem tersebut.

b) Kapasitas panas pada H konstan

8. Misalkan didalam medan magnetik terdapat kisi-kisi kaku dari spin-½ atom yang dapat dibedakan. Spin tersebut memiliki dua buah keadaan (state) dengan energi -µ 0 H dan

+µ 0 H untuk spin up ( ↑) dan spin down (↓), dan berhubungan dengan H. Sistem tersebut berada pada temperatur T.

a) Tentukan fungsi partisi kanonik z untuk sistem tersebut.

b) Tentukan total momen magnetik M = µ 0 (N + - N_) sistem tersebut

c) Tentukan entropi sistem tersebut.

9. Gas monoatomik ideal dimasukkan ke dalam silinder dengan jari-jari a dan tinggi L. Silinder tersebut berotasi dengan kecepatan angular ω disekitar aksis simentrinya dan gas ideal tersebut berada dalam keadaan ekuilibrum pada temperatur T pada sistem koordinat yang berotasi dengan silinder tersebut. Asumsikan bahwa atom-atom gas tersebut memiliki massa m, tidak memiliki tingkat kebebasan internal, dan mematuhi aturan statistic klasik.

a) Tentukan Hamiltonian pada sistem koordinat yang berotasi tersebut

b) Tentukan fungsi partisi sistem tersebut

c) Tentukan jumlah kerapatan rata-rata partikel sebagai fungsi dari r.

10. Sebutkan hukum distribusi energi Maxwell-Boltzman. Definisikan syarat-syaratnya. Jelaskan dimana penerapan yang salah dari hukum tersebut.

11. Misalkan atmosfer bumi terdiri dari nitrogen murni pada kesetimbangan termodinamika dengan temperatur 300 K. Hitung ketinggian di atas permukaan laut dimana kerapatan atmosfer tersebut 1½ kali kerapatan atmosfer pada permukaan laut.

12. Misakan sebuah sistem partikel tunggal memiliki dua tingkat orbital yang keduanya memiliki energi yang sama. Ketika dua orbital tersebut tidak terisi, energi sistemnya adalah nol. Ketika salah satu orbital terisi oleh satu partikel, energinya adalah ε.

Misalkan energi sistem jauh lebih tinggi (tak hingga) ketika kedua orbital tersebut terisi. Tunjukkan bahwa jumlah rata-rata ensembel partikel dalam tingkat tersebut adalah:

2 )/ e εµτ − +

13. Tuliskan ekspresi sederhana untuk bagian internal dari fungsi partisi atom Hidrogen terisolasi yang berada dalam interaksi lemah dengan sebuah reservoir pada temperatur T. Apakah ekspresi tersebut divergen untuk T = 0 dan untuk T ≠ 0?

14 memiliki spin inti I=1. Asumsikan bahwa molekul diatomic N 2 dapat berotasi tetapi tidak dapat bervibrasi pada temperatur biasa dan gerakan elektroniknya diabaikan. Temukan jumlah ortho melekul dan para molekul pada sebuah sample gas nitrogen (ortho= keadaan spin simetri, para = keadaan spin anti simetri). Serta jelaskan apa yang terjadi dengan jumlah molekul tersebut apabila temperatur direndahkan hingga mendekati nol mutlak?

14. Sebuah inti 7 N

15. Molekul Hidrogen biasa ditemukan dalam dua bentuk, orthohidrogen (spin inti parallel) dan parahidrogen (spin inti anti parallel).

a) Setelah berada dalam kesetimbangan pada temperatur “tinggi”, tentukan fraksi gas H2 yang parahidrogen (asumsikan bahwa setiap variasi Hidrogen kebanyakan berada pada keadaan energi terendah).

b) Pada temperatur rendah hampi semua molekul orthohidrogen berubah menjadi parahidrogen. Jelaskan mengapa energi yangdilepaskan oleh setiap molekul yang berubah jauh lebih besar dibandingkan perubahan energi pada flip spin inti.

16. Turunkan ungkapan persamaan keadaan sebuah sistem sistem N 0 osilator kuantum tak berinteraksi 1D dalam kesetimbangan termal pada temperatur T. Tingkat energi dari sebuah osilator diketahui berupa : E m =+ ( m 1 2 ) / , dengan γ V m = 0,1, 2,...;

17. Sebuah sistem gas yang terdiri dari atom-atom spin-½ dengan kerapatan n atom per volume satuan mematuhi aturan statistik klasik. Setiap atom memiliki momen magnetik intrinsik µ dan interaksi antar atom dapat diabaikan.

a) Carilah rata-rata magnetisasi gas tersebut baik yang berada pada limit temperatur tinggi dan limit temperatur rendah.

b) Tentukan suseptibilitas magnetik χ dalam µ.

18. Turunkan ungkapan kapasitas panas spesisfik C(T) dari sebuah sistem yang berupa molekul heteronuklir diatomik memiliki momen inersia I (hanya gerak rotasi yang diperhitungkan).

19. Perkirakan probabilitas sebuah perangko (massa = 0.1 g) yang berada di atas meja pada temperatur kamar (300 K) akan terbang secara spontan setinggi 10 -8 cm di atas meja

tersebut. Hint: Jangan bayangkan hanya ada 1 perangko, tapi sejumlah takhingga perangko yang

tak saling berinteraksi ditempatkan saling bersebelahan. Berikan alasan bahwa kumpulan perangko tersebut mematuhi distribusi Maxwell-Boltzmann.

20. Berapa bagian dari gas H 2 pada permukaan laut pada temperatur 300 K dapat lepas dari medan gravitasi bumi? Mengapa masih terdapat gas H 2 pada atmosfer di atas permukaan laut?