Konfigurasi Fermion

6.1 Konfigurasi Fermion

Kita sudah menurunkan fungsi distribusi untuk sistem kuantum boson yang mempunyai sifat bahwa bilangan kuantum spin merupakan kelipatan bulat dari h / 2 π . Pada bagian ini kita akan menurunkan fungsi distribusi untuk sistem kuantum fermion dengan bilangan kuantum spin merupakan kelipatan ganjil dari h / 4 π . Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsip ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari

Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang tersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupun boson yang jumlahnya berapa pun.

Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi-Dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan-keadaan atas kelompok-kelopok sebagai berikut:

Kelopok-1 mengandung g 1 keadaan dengan energi rata-rata E 1 Kelopok-2 mengandung g 2 keadaan dengan energi rata-rata E 2

Kelopok-s mengandung g s keadaan dengan energi rata-rata E s

Kelopok-M mengandung g M keadaan dengan energi rata-rata E M

Jumlah sistem yang menempati masing-masing keadaan misalkan n 1 sistem menempati keadaan-1

n 2 sistem menempati keadaan-2 .

n sistem menempati keadaan-s s

Karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus terpenuhi n 1 ≤ g 1 ,

n 2 ≤ g 2 , …, n s ≤ g s , …, n M ≤ g M .

Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusun n 1 sistem pada g 1 keadaan, n 2 sistem pada g 2 keadaan , …, n M sistem pada g M keadaan. Tinjau kelompok-1. Di sini ada g 1 keadaan dan menampung n 1 sistem. Kembali kita menganalogikan keadaan sebagai kursi dan sitem sebagai benda yang akan ditempatkan

pada kursi-kursi tersebut, seperti diilustrasikan pada Gbr. 6.1.

Penyusunan-1 Penyusunan-1

Penyusunan-2 Penyusunan-2

Penyusunan-3 Penyusunan-3

G ambar 6.1 Contoh penyusunan fermion analog dengan penyusunan kursi. Sebagian kursi ditempeli benda (keadaan yang diisi fermion) dan sebagian kursi kosong (keadaan yang tidak ditempati fermion).

Untuk menentukan jumlah cara menempatkan benda pada kursi-kursi tersebut, kita tempelkan benda pada kursi-kursi tesebut. Pada satu kursi hanya boleh ditempelkan sa tu benda. Penempelan ini menjamin bahwa tidak boleh lebih dari satu benda berada pada sa tu kursi. Akibatnya kita dapatkan:

Ada n 1 buah kursi yang ditempeli benda Ada g 1 − n 1 buah kursi yang kosong.

Kemud ian k a melakukan permutasi semua kur it si yang ada baik yang kosong maupun yang d itemp eli benda. Karena benda sudah menempel pada kursi maka permutasi tidak m emungkinkan munculnya satu kursi yang menampung lebih dari satu benda. Jumlah

kursi yang dipermutasi adalah g 1 kursi sehingga menghasilkan jumlah permutasi sebanyak g 1 ! cara. Tetapi, karena ( g 1 − n 1 ) buah kursi kosong tidak terbedakan dan n 1 buah kursi yang ditempeli benda juga tidak dapat dibedakan maka jumah permutasi g 1

buah kursi harus dibagi dengan permutasi ( g 1 − n 1 ) buah kursi kosong dan n 1 buah kursi yang ditempeli benda untuk me ndapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, juml ah

penyusunan yang berbeda hanyalah

g 1 ! (6.1) ( g 1 − n 1 )! n 1 !

Dengan cara yang sama kita daptkan jumlah cara penyusunan n 2 sistem pada g 2 keadaan adalah

g 2 ! (6.2)

( g 2 − n 2 )! n 2 !

Begitu seterusnya. A khirnya, jumlah total cara penyusunan secara bersama-sama n 1 sistem pada g 1 keadaan, n 2 sistem pada g 2 keadaan, …, n M sistem pada g M keadaan

a dalah

∏ s = 1 ( g s − n s )! n s !

Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa N sistem dari luar untuk didistribusikan ke dalam keadaan-keadaan di dalam assembli. Seperti yang ki ta bahas pada assembli boson, untuk partikel tidak terbedakan jumlah cara tersebut adalah

N ! / N ! = 1 . Akhirnya, jumlah cara penysusunan fermion untuk konfigurasi di atas adalah

∏ s = 1 ( g s − n s )! n s !

atau dalam notasi logaritma

ln W = ln (6.4)

⎣ ( g s − n s )! n

Jumlah total sistem dalam assembli dan energi total assembli masing-masing

adalah N = n dan U

E n . Untuk sistem terisolasi di mana tidak terjadi

pertuka ran partikel maupun energi antara assembli dan lingkungan maka jumlah partikel selalu konstan dan energi total juga konstan. Dengan demikian bentuk diferensial dari N dan U adalah

N = δ n s = 0 ∑ (6.5)

U = E s δ n s = 0 ∑ (6.6)

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan memaksimalkan W atau ln W dengan mempe rhatikan konstrain pada persamaan (6.5) dan (6.6). Sebelu m kearah itu kita coba sederhanakan ln W pada persamaan (6.4).

ln W = ln g s ! − ln( g s − n s )! − ln n s ! ∑

S elanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan faktorial, yaitu

ln g s ! ≅ ln g s g s − g s ln( g s − n s )! ≅ ( g s − n s ) ln( g s − n s ) − ( g s − n s )

ln n s ! ≅ ln n s n s − n s

Dengan demikian bentuk ln W dapat diaproksimasi sebagai berikut

ln W ≅ g s ln g s − g s − ( g s − n s ) ln( g s − n s ) + ( g s − n s ) − n s ln n s + n s ∑

g s ln g s − ( g s − n s ) ln( g s − n s ) − n s ln n s

Selanjunya, ambil diferensial ke dua ruas persamaan (6.7)

ln W = δ ∑ [ g s ln g s ][ − δ ( g s − n s ) ln( g s − n s ) ][ − δ n s ln n s ] (6.8)

M ari kita hitung satu per satu suku dalam persamaan (6.8)

δ [ g s ln g s ] = [ g s ln g s ] δ n s = 0

i)

δ [ ( g s − n s ) ln( g s − n s ) ] = ( g s − n s ) ln( g s − n s ) δ n s

ii)

= ⎢ − ln( g s − n s ) + ( g s − n s ) ×

× ( − 1 ) ⎥ δ n s = − [ ln( g s − n s ) + 1 ] δ n s

δ [ n s ln n s ] = [ n s ln n s ] δ n s = ⎢ ln n s + n s × × 1 ⎥ δ n s = [ ln n s + 1 ] δ n s

iii)

Dari hasil di atas maka bentuk δ ln W dapat ditulis dalam bentuk lebih sederhana sebagai berikut

ln W = 0 + [ ln( g s − n s ) + 1 ] δ n s − [ ln n s + 1 n ∑ ] δ s

ln( g s − n s ) − ln n s ∑ n

⎡− g s n s ⎤ = ln ⎢

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan mencari solu si

untuk persamaan δ ln W + αδ N + βδ U = 0 , atau

s ⎬ = 0 (6.10) = ⎩ ⎣ s ⎦

ln s 1 ⎢ n ⎥ + α + β E

Agar persamaan (6.10) selalu nol untuk variasi δ yang sembarang maka harus n s

terpenuhi

⎡− g s n s ⎤ ln ⎢

= exp ( − α − β E s )

yang memberikan ungkapan untuk n s sebagai

n s = (6.11)

exp ( − α − β E s ) + 1

Berlaku juga pada fungsi distribusi fermion bahwa parameter β memenuhi β = − 1 / kT . Dengan parameter ini maka kita dapat m enulis persamaan (6.11) secara lebih eksplisit

se bagai

g s n s = (6.12)

exp ( − α + E s / kT ) + 1