Rapat Keadaan Sistem Kuantum

Bab 7 Rapat Keadaan Sistem Kuantum

Isi Bab Ini

Bab ini berisi diskusi tentang kerapatan keadaan system kuantum, yang meliputi boson dan fermion. Salah satu perbedaan dengan system klasik adalah terpenuhinya prinsip ketidakpastian Heisenberg pada system kauntum. Namun akan tampak bahwa, tidak ada perbedaan signifikan antara kerapatan keadaan sistem klasik dan sistem kuantuk. Perbedaan hanya terletak pada keberadaan elemen ruang fasa minimal yang diijinkan bagi sistem kuantum.

Tujuan Bab Ini

Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimana menurunkan kerapatan keadaan sistem kuantum dan bagaimana mendapatkan kerapatan keadaan tersebut dari kerapatan keadaan sistem klasik.

Apa Yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu

Untuk memahami lebih baik tentang bab ini, makasiswa diharapkan memahami terlebih dahulu isi Bab 3.

7.1 Ketidakpastian Heisenberg

Setelah membahas beberapa aplikasi statisti Maxwell-Boltzmann yang berlaku untuk partikel klasik, kita akan membahas beberapa aplikasi assembli kuantum yang diungkapkan oleh distribusi Bose-Einstein dan Fermi-DiracD. Namun, sebelum melangkah lebih jauh membahas beberapa aplikasi assembli kuantum tersebut, mari kita tentukan dahulu kerapatan keadaan. Kerapatan keadaan menjadi penting ketika kita akan menghitung besaran-besaran termodinamika assembli tersebut. Dan yang paling sering kita jumpai adalah ketika kita berpindah dari penjumlahan yang bersifat diskrit ke integral yang bersifat kontinu.

Karena merupakan partikel kuantum maka pada boson maupun fermion kita harus menerapkan prinsip-prinsip mekanika kuantum. Salah satu prinsip dasar mekanika kuantum adalah prinsip ketidak pastian Heisenberg yang dapat ditulis sebagai

∆ p ∆ x ≥ h (7.1)

Prinsip ini menyatakan bahwa perkalian antara ketidakpastian momentum dan posisi tidak boleh lebih kecil dari konstanta Planck. Implikasinya adalah kita tidak mungkin mendefinisikan sebuah keadaan kuantum jika keadaan tersebut memuat ukuran

momentum dan ukuran posisi sedemikian sehingga perkaliannya kurang dari h . Dengan perkataan lain, nilai terkecil dari perkalian ∆ dan p ∆ x yang bisa mendefisinisikan

sebuah keadaan adalah h . Dari hasil ini kita selanjunya bisa menentukan berapa jumlah kedaan kuantum dalam ruang fase dengan volum tertentu. Kita akan membahas untuk ruang fasa yang mengandung koordinat spasial satu, dua, dan tiga dimensi.

7.2 Koordinat Spasial Spasial Satu Dimensi

Misalkan kita memiliki assembli yang hanya boleh bergerak bebas dalam satu arah. Posisi partikel dalam assembli tersebut dinyatakan dengan koordinat x . Dengan

demikian, momentum partikel hanya memiliki satu komponen saja, yaitu p x . Elemen kecil ruang fasa yang dimiliki sebuah partikel dalam assembli tersebut adalah

d Γ = dxdp x . Volum ruang fasa untuk semua posisi yang mungkin diperoleh dengan

melakukan integral d Γ pada semua ruang spasial,

∆Γ p = dx dp x = Ldp x (7.2)

Dalam satu dimensi, ukuran minimum ruang fasa yang diijinkan oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg adalah ∆Γ min = ∆ x ∆ p x ≅ h . Oleh karena itu, jumlah keadaan

yang terdapat dalam elemen ruang fase ∆Γ adalah p

∆Γ p

dN = = dp x (7.3) ∆Γ min h

Jumlah keadaan persatuan volum assembli menjadi

dN

= 1 dp x (7.4)

Kerapatan keadaan tersebut dapat juga diungkapkan dalam variable energi partikel dengan menggunakan hubungan 2 ε = p

x / 2 m . Dengan hubungan ini kita dapatkan

Substitusi persamaan (7.5) ke dalam persamaan (7.4) diperoleh ungkapan kerapatan keadaan per satuan volum sebagai berikut

g ( ε ) d ε = ε d ε (7.6)

Kerapatan keadaan tersebut dapat juga diungkapkan dalam variabel panjang gelombang partikel. Kita berangkat dari persamaan de Broglie p x = h / λ . Dari

persamaan ini kita dapat 2 dp x = − hd λ / λ . Substitusi dp x ke dalam persamaan (7.5) dan hilangkan tanda negatif maka kita dapatkan

2 d λ (7.7) λ

7.3 Koordinat Spasial Dua Dimensi

Sekarang kita berlanjut ke assembli dalam kotak dua dimensi dengan ukuran panjang searah sumbu x dan sumbu y masing-masing L x dan L y . Posisi partikel dalam

assembli tersebut dinayatakan oleh koordinat x dan y saja. Akibatnya momentum partikel hanya memiliki dua komponen saja, yaitu p x dan p y . Elemen ruang fasa yang

dibatasi koordinat x sampai x + dx , y sampai y + , momentum sampai dy p x p x + dp x dan p y sampai p y + dp y adalah d Γ = dxdydp x dp y . Volum ruang fasa untuk semua posisi yang mungkin diperoleh dengan mengintegralkan d Γ pada semua variable spasial, yaitu

∆Γ p = dx dy dp x dp y = L x L y dp x dp y (7.8)

Dalam ruang dua dimensi, ukuran minimum ruang fasa yang diijinkan oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg adalah 2 ∆Γ

min = ∆ x ∆ p x ∆ y ∆ p y ≅ h × h = h . Dengan demikian, jumlah keadaan yang terdapat dalam elemen ruang fasa ∆Γ adalah p

∆Γ p

dN = = 2 dp x dp y (7.9) ∆Γ min

Persaman (7.9) menyatakan jumlah keadaan dalam elemen momentum yang berada antara p x sampai p x + dp x dan antara p y sampai p y + dp y . Jadi ruang momentum

berbentuk persegi panjang dengan sisi-sisi dp x dan dp y . Cara lain adalah membuat elemen ruang momentum yang dibatasi oleh momentum total antara p sampai p + dp di

mana momentum total memenuhi

2 2 p 2 = p x + p y (7.10)

Elemen ruang momentum tersebut akan berupa sebuah cincin dengan jari-jari p dan ketebalan dp seperi pada Gbr. 7.1

dp dp

Gambar 7.1 Elemen ruang momentum berupa cincin dengan jari-jari p dan ketebalan dp

Keliling cincin tersebut adalah K p = 2 π p sedangkan tebalnya adalah dp . Dengan demikian, luas cincin adalah

dS p = K p dp = 2 π pdp (7.11)

Degan menggati dp x dp y pada persaman (7.9) dengan dS p pada persamaan (7.11) diperoleh

L x L y dN = 2 2 π pdp (7.12)

Kerapatan keadan per satuan “volum dua dimensi (luas)”adalah

dN g ( p ) dp = L x L y

2 2 π pdp (7.13)

Kembali kita ingin menyatakan kerapatan keadan dalam variable energi. Kita

gunakan persamaan energi 2 ε = p / 2 m sehingga

p = 2 m ε (7.14a)

dp

d ε ⎜⎜⎝ (7.14b)

Substitusi persamaan (7.14a) dan (7.14b) ke dalam persamaan (7.13) dieroleh kerapatan keadaan sebagai berikut

2 2 πd m ε (7.15)

Seperti sebelumya, jumlah keadaan tersebut dapat diungkapkan dalam variable panjang gelombang dengan menggunakan persamaan de Broglie p = h / λ . Dari

persamaan ini kita dapat 2 dp = − hd λ / λ . Substitusi p dan dp ke dalam persamaan (7.13) dan hilangkan tanda negatif maka

1 h hd λ

2 π = 3 d λ (7.16) λ

7.4 Koordinat Spasial Tiga Dimensi

Sekarang kita berlanjut ke assembli dalam kotak tiga dimensi dengan ukuran panjang sisi searah sumbu x , sumbu , dan sumbu y z masing-masing L x , L y , dan L z .

Posisi partikel dalam assembli tersebut dinyatakan oleh koordinat x , y , dan . Dengan z demikian, momentum partikel terdiri dari tiga komponen, yaitu p x , p y , dan p z . Elemen

kecil ruang fasa di dalam assembli tersebut adalah d Γ = dxdydzdp x dp y dp z . Volum ruang fasa untuk semua posisi yang mungkin adalah

∆Γ p =

dx dydz dp x dp y dp z = L x L y L z dp x dp y dp z ∫∫∫ (7.17)

Dalam ruang tiga dimensi, ukuran minimum ruang fasa yang diijinkan oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg adalah 3 ∆Γ

min = ∆ x ∆ p x ∆ y ∆ p y ∆ z ∆ p z ≅ h × h × h = h . Akibatnya, jumlah keadaan yang terdapat dalam elemen ruang fase ∆Γ adalah p

∆Γ p

dN = =

3 dp x dp y dp z ∆Γ (7.18)

min

Persaman (7.18) menyatakan jumlah keadaan dalam elemen momentum yang berada antara p x sampai p x + dp x , antara p y sampai p y + dp y dan antara p z sampai

p z + dp z . Jadi ruang momentum berbentuk balok dengan ukuran dp x , dp y , dan dp z . Cara lain adalah membuat elemen ruang momentum yang dibatasi oleh momentum total

antara p sampai p + di mana momentum total memenuhi dp

2 2 2 p 2 = p x + p y + p z (7.19)

Elemen ruang momentum tersebut akan berupa sebuah kulit bola dengan jari-jari p dan ketebalan dp seperti diilustrasikan pada Gbr. 7.2

dp dp

Gambar 7.2 Elemen ruang momentum berupa kulit bola dengan jari-jari p dan ketebalan dp

Luas kulit bola tersebut adalah 2 S p = 4p π dan ketebalannya adalah dp . Volum kulit bola menjadi

dV 2 p = S p dp = 4 π p dp (7.20)

Degan menggati dp x dp y dp z pada persaman (7.18) dengan dV p pada persamaan (7.20) diperoleh ungkapan lain jumlah keadaan

L x L y L z dN 2 =

3 4 π p dp (7.21)

Kerapatan keadan per satun volum adalah

dN g ( p ) dp = L x L y L z

3 4 π p dp (7.22)

Kembali kita ingin menyatakan kerapatan keadan dalam variable energi. Kita

gunakan persamaan energi 2 ε = p / 2 m sehingga

p = 2 m ε (7.23a)

dp

2 m = − ε d ε ⎜⎜⎝ (7.23b)

Substitusi persaman (7.23a) dan (7.23b) ke dalam persamaan (7.22) diperoleh kerapatan keadaan sebagai berikut

h ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠

3 4 π 2 m ε d ε (7.24)

Juga di sini kita akan menyatakan kerapatan keadaan dalam variable panjang gelombang dengan menggunakan persamaan de Broglie p = h / λ . Dari persamaan ini kita dapatkan

dp 2 = − hd λ / λ . Substitusi p dan dp ke dalam persamaan (7.22) dan hilangkan tanda negatif maka

4 π = 4 d λ (7.25) λ

Bergantung pada masalah yang kita hadapi, kita bias memilih fungsi kerapatan keadaan yang mana saja. Pilihan kita bergantung pada kemudahan dalam mencari solusi.