Model individualnog rizika

4 Model individualnog rizika

U tom modelu promatra se portfelj koji se sastoji od fiksnog broja rizika. Pretpostavlja se

- da su ti rizici nezavisni - iznosi ˇsteta iz tih rizika nisu jednako distribuirane sluˇcajne varijable - broj rizika se ne mijenja za vrijeme trajanja osigurateljnog pokri´ca.

Poglavlje 4, stranica 22

c Faculty and Institute of Actuaries

Modeli rizika

Predmet 106

Kao i prije, skupne ˇstete iz tog portfelja oznaˇcavat ´ce se s S. Dakle,

S=Y 1 +Y 2 +···+Y n

gdje Y j oznaˇcava iznos ˇsteta nastalih po j-tom riziku, a n oznaˇcava broj rizika. Mogu´ce je da po nekim rizicima ne nastane ˇsteta. Prema tome, neke

od opaˇzenih vrijednosti od {Y n

j } j=1 mogu biti 0.

Za svaki od rizika imamo sljede´ce pretpostavke: −

broj odˇstetnih zahtjeva po j-tom riziku, N j , je ili 0 ili 1 (4.1) −

vjerojatnost ˇstete iz j-tog rizika je q j (4.2) Ako ˇsteta nastane po j-tom riziku, iznos ˇstete oznaˇcava se sluˇcajnom var-

ijablom X j . Neka F j (x), µ j iσ 2 j oznaˇcavaju redom funkciju distribucije, oˇcekivanje i varijancu od X j . Pretpostavka (4.1) je vrlo restriktivna. Ona znaˇci da model dozvoljava jednu

ˇstetu po riziku. To ukljuˇcuje rizike kao ˇsto je jednogodiˇsnje osiguranje za sluˇcaj smrti, ali iskljuˇcuje mnogo tipova op´cih polica osiguranja. Na primjer, ne postoje restrikcije na broj odˇstetnih zahtjeva u godini po polici osiguranja ku´canstva. Postoje tri glavne razlike izmedu tog modela i modela kolektivnog rizika:

(1) Broj rizika u portfelju je specificiran. U modelu kolektivnog rizika nije bilo potrebno specificirati taj broj, niti pretpostaviti da je fiksan za vrijeme trajanja osigurateljnog pokri´ca (ˇcak niti kada je bilo pret- postavljeno N ∼ b(n, q).)

(2) Broj odˇstetnih zahtjeva po svakom individualnom riziku je ograniˇcen. Takvog ograniˇcenja nije bilo u modelu kolektivnog rizika.

(3) Pretpostavljeno je da su individualni rizici nezavisni. U modelu kolek- tivog rizika bilo je pretpostavljeno da su iznosi individualnih ˇsteta neza- visni.

Pretpostavke (4.1) i (4.2) kaˇzu da je N j ∼ b(1, q j ). Prema tome, distribucija od Y j je sloˇzena binomna, uz individualne ˇstete distribuirane kao X j . Iz formula (2.13) i (2.14) odmah slijedi da je

E[Y j ]=q j µ j

2 Var[Y 2

j ]=q j σ j +q j (1 − q j )µ j

c Faculty and Institute of Actuaries Poglavlje 4, stranica 23

Predmet 106

Modeli rizika

S je zbroj od n nezavisnih sloˇzenih binomnih sluˇcajnih varijabli. U Sekciji

2.4 vidjeli smo da ne postoji op´ci rezultat o distribuciji takvog zbroja. Ta se distribucija moˇze zapisati samo kada su sloˇzene binomne sluˇcajne varijable jednako distribuirane, uz to ˇsto su nezavisne. Pod nekim uvjetima je mogu´ce, ali komplicirano, izraˇcunati funkciju distribucije od S. Medutim, lako je prona´ci oˇcekivanje i varijancu od S.

X X E[S] = E X Y

E[Y j ]=

q j µ j (4.5)

Pretpostavka da su individualni rizici nezavisni potrebna je da bi se zapisalo " n

X X X 2 Var[S] = Var 2 Y

Var[Y j ]=

(q j σ j +q j (1 − q j )µ j ) (4.6)

U specijalnom sluˇcaju kada je {Y n j } j=1 niz jednako distribuiranih, te i dalje nezavisnih, sluˇcajnih varijabli, za svaku policu su vrijednosti q j ,µ j iσ 2 j identiˇcne, recimo q, µ i σ 2 . Takoder, F

j (x) ne ovisi o j, recimo F (x). Dakle, S je sloˇzena binomna, s binomnim parametrima n i q, te individualnim ˇstetama

s funkcijom distribucije F (x). U ovom specijalnom sluˇcaju, to se svodi na model kolektivnog rizika, te se iz (4.5) i (4.6) moˇze vidjeti da je

E[S] = nqµ

2 Var[S] = nqσ 2 + nq(1 − q)µ

ˇsto odgovara redom (2.13) i (2.14).