Toˇ cno i pribliˇ zno raˇ cunanje G(x) za model kolektivnog rizika
3 Toˇ cno i pribliˇ zno raˇ cunanje G(x) za model kolektivnog rizika
3.1 Uvod
U ovoj sekciji prouˇcavaju se raˇcunanja i aproksimacije od G(x), funkcije distribucije skupnih ˇsteta za model kolektivnog rizika. U nekim sluˇcajevima mogu´ce je vrlo jednostavno prona´ci funkciju distribucije G(x), na primjer ako sve ˇstete imaju isti iznos, ali ´ce pretpostavke u takvim sluˇcajevima obiˇcno biti prerestriktivne da bi bile od praktiˇcnog interesa. U Sekciji 3.2 izvedena je rekurzivna formula za raˇcunanje G(x). U Sekciji 3.3 G(x) je aproksimi- rana normalnom distribucijom prilagodbom momenata. Konaˇcno, u Sekciji
3.4 G(x) je aproksimirana (translatiranom) gama distribucijom prilagodbom momenata. U Sekciji 3.2 pretpostavljeno je da su poznate distribucije broja odˇstetnih zahtjeva i iznosa ˇstete; u Sekcijama 3.3. i 3.4 pretpostavljeno je da su poznata samo prva dva ili tri momenta distribucije.
3.2 Rekurzivna formula za G(x)
U ovoj podsekciji pretpostavlja se da je distribucija iznosa individualnih ˇsteta, F (x), diskretna distribucija na pozitivnim cijelim brojevima. To znaˇci
da su mogu´ce vrijednosti za individualne ˇstete 1, 2, 3, . . . , te su stoga mogu´ce vrijednosti za skupne ˇstete 0, 1, 2, 3, . . . . Uz tu pretpostavku funkcija dis- tribucije iznosa individualnih ˇsteta nema funkciju gusto´ce (budu´ci da je svaka
X i diskretna sluˇcajna varijabla). Sljede´ce oznake koristit ´ce se za vjerojatnosne funkcije individualnih iznosa
Poglavlje 4, stranica 18
c Faculty and Institute of Actuaries
Modeli rizika
Predmet 106
ˇsteta, odnosno skupnih ˇsteta.
Ako distribucija individualnih iznosa ˇsteta nije diskretna na pozitivnim cije- lim brojevima, ˇsto je ˇcest sluˇcaj, ta se distribucija uvijek moˇze aproksimirati diskretnom distribucijom. Uz gornje pretpostavke se sada problem raˇcunanja G(x) svodi na raˇcunanje
g k za k ≤ x. Pretpostavlja se da je - distribucija broja odˇstetnih zahtjeva poznata - distribucija iznosa individualnih ˇsteta (tj. f k ) poznata.
Prije dokaza, ili ˇcak tvrdnje formule, potrebna je pretpostavka o distribuciji broja odˇstetnih zahtjeva N . Oznaˇcimo P(N = r) sa p r , i pretpostavimo da postoje brojevi a i b takvi da je
(3.1) Sve tri distribucije broja odˇstetnih zahtjeva prouˇcavane u Sekciji 2 zadovol-
p r = (a + b/r)p r−1 za r = 1, 2, 3, . . . .
javaju Pretpostavku (3.1). Formule za g r su:
g 0 =p 0 (3.2)
(a + bj/r)f j g r−1 za r = 1, 2, . . . . (3.3)
j=1
Formula (3.2) slijedi iz ˇcinjenice da je minimalni iznos ˇstete jednak jedan. Skupne ˇstete biti ´ce nula ako i samo ako ne nastane niti jedna ˇsteta. Za dokaz formule (3.3), koristit ´ce se sljede´ce tri formule: za n = 2, 3, . . .
X X (n−1) ∗ n E ∗ X
X i =r =
jf j f r−j /f r (3.5)
X (n−1) p ∗
(a + bj/r)f j p n−1 f r−j
j=1
c Faculty and Institute of Actuaries Poglavlje 4, stranica 19
Predmet 106
2000 n Obje formule (3.4) i (3.5) vrijede za svaku vrijednost r za koju f ∗
Modeli rizika
nije nula; (3.6) vrijedi za r = 1, 2, . . . , bez obzira da li je f n ∗ r nula ili ne. Formula (3.4) slijedi iz simetrije: X 1 ,X 2 ,...,X n su jednako distribuirane, tako da ako je njihov zbroj r, oˇcekivanje svake od njih tada mora biti r/n. (n−1) Da biste vidjeli zaˇsto vrijedi (3.5), uoˇcite da je f ∗ f /f n ∗
(uvjetna) vjero- jatnost da je X n
r−j
1 jednako j uz dano da je j=1 X j jednako r. (U (3.5) je
n pretpostavljeno da vjerojatnost da je ∗ j=1 X j P jednaka r, tj. f n r , nije nula.) Uz dano da je j=1 X j jednako r, vrijednost od X 1 ne moˇze biti ve´ca od r.
Stoga je desna strana od (3.5) zbroj, po svim vrijednostima koje X 1 moˇze primiti, tih vrijednosti pomnoˇzenih s vjerojatnoˇs´cu da X 1 poprimi tu vrijed-
P nost, uvjetno na n j=1 X j jednako r. To je tada jednako lijevoj strani od (3.5). Sada izvodimo (3.6). Prvo primjetite da (3.6) vrijedi ako je f n ∗ r jednako
nula, budu´ci da u tom sluˇcaju za svaku vrijednost od j = 1, 2, . . . , r, ili f ili
f r−j , ili oba, moraju biti nula. Dakle, ako je f n ∗ r nula, obje strane u (3.6) n su nula. Pretpostavimo sada da f ∗
(n−1) ∗
nije nula. Tada je
n p ∗ n f r =p n−1 (a + b/n)f r po (3.1)
n =p ∗
po (3.4) P r
n−1 E[a + bX 1 /r | i=1 X i = r]f r
(n−1) =p ∗
n−1
po (3.5) P r−1
j=1 (a + bj/r)f j f r−j
(zbog f 0 = 0) Konaˇcno, sada moˇzemo izvesti (3.3). Za r = 1, 2, . . .
(n−1) =p ∗
(n−1) ∗
n−1
j=1 (a + bj/r)f j f r−j
= n=1 p n f n r ∗ po (2.2) P ∞
(n+1) =p ∗
1 f r + n=1 p n+1 f r P ∞ P r−1
n = (a + b)p ∗
0 f r + n=1 j=1 (a + bj/r)f j p n f r−j
0 f r + j=1 (a + bj/r)f j n=1 p f n n r−j
P = (a + b)g r−1
po (2.2) P = r
0 f r + j=1 (a + bj/r)f j g r−j
j=1 (a + bj/r)f j g r−j
Poglavlje 4, stranica 20
c Faculty and Institute of Actuaries
Modeli rizika
Predmet 106
ˇsto dokazuje formulu (3.3). U vaˇznom specijalnom sluˇcaju kada N ima Poissonovu distribuciju, tako da je a = 0 i b = λ, te se formule pojednostavljuju na
3.3 Normalna aproksimacija za G(x)
Rekurzivna formula za raˇcunanje G(x) o kojoj smo govorili u Sekciji 3.2 je koristan alat, ali ima neke nedostatke. Kao prvo, u nekim primjenama ipak moˇze biti potrebna znaˇcajna koliˇcina kompjutorskog vremena za izraˇcun vrijednosti od G(x). Drugo, formula se ne moˇze koristiti ako nisu poznate, ili se ne mogu dovoljno precizno procijeniti, distribucije od N i X i . U ovoj podsekciji sve ˇsto se pretpostavlja o S je da su poznati, ili da se pouz- dano mogu procijeniti, njezino oˇcekivanje i varijanca. Budu´ci da razne dis- tribucije imaju isto oˇcekivanje i varijancu, G(x) se ne moˇze izraˇcunati upotre- bom samo te informacije. Jedan naˇcin da se u takvoj situaciji aproksimira G(x) je da se pretpostavi da je S pribliˇzno normalno distribuirana.
Formalnije, neka je Φ(z) funkcija distribucije normalno distribuirane sluˇcajne varijable s oˇcekivanjem 0 i varijancom 1, tako da je
Z 1 z Φ(z) = 2 √ exp{−x /2} dx .
Neka sada µ i σ 2 oznaˇcavaju oˇcekivanje i varijancu od S. Pretpostavka u ovoj sekciji je da je S pribliˇzno normalno distribuirana s oˇcekivanjem µ i
varijancom σ 2 tako da je za svaki x
G(x) = P(S ≤ x) = P((S − µ)/σ ≤ (x − µ)/σ) ≈ Φ((x − µ)/σ) . Lagano je dobiti vrijednosti vjerojatnosti za normalnu distribuciju.
S je zbroj sluˇcajnog broja nezavisnih, jednako distribuiranih sluˇcajnih vari- jabli. Centralni graniˇcni teorem sugerira da bi normalna aproksimacija mogla biti razumna. ˇ Cim je ve´ca (oˇcekivana) vrijednost od N (broja sluˇcajnih var- ijabli koje se sumiraju), tim se oˇcekuje bolja aproksimacija.
c Faculty and Institute of Actuaries Poglavlje 4, stranica 21
Predmet 106
Modeli rizika
3.4 Translatirana gama aproksimacija za G(x)
Pretpostavimo sada da su poznata prva tri momenta od S, a ne samo prva dva, ili da se mogu procijeniti s razumnom pouzdanoˇc´cu. Drugi naˇcin aproksi- macije distribucije od S je pomo´cu translatirane gama distribucije. Neka re-
dom µ, σ 2 i β oznaˇcavaju oˇcekivanje, varijancu i koeficijent asimetrije od S. Kod translatirane gama aproksimacije pretpostavlja se da S ima pribliˇzno istu distribuciju kao sluˇcajna varijabla k + Y , gdje je k konstanta, a Y ima gama distribuciju s parametrima α i δ. Parametri k, α i δ izabrani su tako da k + Y ima ista prva tri momenta kao i S. Uoˇcite da je k + Y naprosto gama sluˇcajna varijabla, Y , ˇcije su vrijednosti translatirane za pozitivni ili nega- tivni iznos k. Jedan razlog zaˇsto translatirana gama distribucija op´cenito daje bolju prilagodbu nego normalna distribucija je da je gama distribucija pozitivno asimetriˇcna, isto kao i S u mnogim praktiˇcnim situacijama.
√ Koeficijent asimetriˇcnosti, β, gama distribucije s parametrima α i δ je 2/ α.
Izjednaˇcavanje koeficijenta asimetrije, varijance i oˇcekivanja od S i k + Y daje sljede´ce tri formule
2 σ 2 = α/δ µ = k + α/δ
iz kojih se mogu izraˇcunati α, δ i k iz poznatih vrijednoti β, σ 2 i µ. Razlog za aproksimaciju distribucije od S translatiranom gama, ili normal- nom, distribucijom, je taj da moˇze biti lakˇse dobiti vrijednosti za veliˇcine kao ˇsto je P(a < k + Y < b) nego za P(a < S < b). Vjerojatnosti za gama distribuciju brzo se mogu dobiti pomo´cu ve´cine statistiˇckih paketa.