Poissonovi i sloˇ zeni Poissonovi procesi

2 Poissonovi i sloˇ zeni Poissonovi procesi

2.1 Uvod

U ovom odjeljku uvest ´cemo neke pretpostavke na proces broja ˇsteta {N (t)} t≥0 ,

i na iznose ˇsteta {X ∞ i } i=1 . Pretpostavit ´cemo da je proces broja ˇsteta Pois- sonov proces, ˇsto vodi do sloˇzenog Poissonovog procesa {S(t)} t≥0 za ukupne ˇstete. Pretpostavke uvedene u ovom odjeljku vrijedit ´ce i u ostatku ovog

poglavlja.

2.2 Poissonov proces

Poissonov proces je primjer procesa brojenja. Ovdje nas zanima broj ˇsteta proizaˇslih iz rizika. Budu´ci da se ˇstete broje kroz vrijeme, proces broja ˇsteta mora zadovoljavati sljede´ce uvjete:

(i) N (0) = 0, t.j., nema ˇsteta u vremenu 0 (ii) za svaki t > 0, N (t) mora biti cjelobrojan (iii) za s < t, N (s) < N (t), t.j., broj ˇsteta kroz vrijeme je neopadaju´ci (iv) za s < t, N (t) − N (s) predstavlja broj ˇsteta koje se pojavljuju u inter-

valu (s, t). Proces broja ˇsteta {N (t)} t≥0 je definiran kao Poissonov proces s parametrom

λ ako su ispunjeni sljede´ci uvjeti: (i) N (0) = 0, i N (s) ≤ N (t) za s < t (ii)

P(N (t + h) = r | N (t) = r) = 1 − λh + o(h) P(N (t + h) = r + 1 | N (t) = r) = λh + o(h)

(2.1) P(N (t + h) > r + 1 | N (t) = r) = o(h)

(iii) za s < t, broj ˇsteta u intervalu (s, t] nezavisan je

(2.2) od broja ˇsteta do trenutka s

Poglavlje 5, stranica 6 ° Faculty and Institute of Actuaries c

Teorija nesolventnosti

Predmet 106

Uvjet (ii) kaˇze da je u vrlo kratkom vremenskom intervalu duljine h jedini mogu´ci broj ˇsteta jednak nula ili jedan. Uoˇcite da uvjet (ii) takoder povlaˇci

da broj ˇsteta u vremenskom intervalu duljine h ne ovisi o tome kada taj interval poˇcinje. Razlog zaˇsto se proces koji zadovoljava uvjete (i) do (iii) zove Poissonov pro- ces je taj da za fiksnu vrijednost od t, sluˇcajna varijabla N (t) ima Poissonovu distribuciju s parametrom λt. To se dokazuje na sljede´ci naˇcin: Neka je p n (t) = P(N(t) = n). Dokazat ´cemo da je

(λt) n

p n (t) = exp(−λt)

n!

izvode´ci i rjeˇsavaju´ci “diferencijalno-diferencijsku” jednadˇzbu. Za fiksnu vrijednost t > 0 i malu pozitivnu vrijednost h, uvjetujemo na broj

ˇsteta u trenutku t i piˇsemo

p n (t + h) = p n−1 (t)[λh + o(h)] + p n (t)[1 − λh + o(h)] + o(h)

= λhp n−1 (t) + [1 − λh]p n (t) + o(h) Stoga je

p n (t + h) − p n (t) = λh[p n−1 (t) − p n (t)] + o(h)

i taj identitet vrijedi za n = 1, 2, 3, . . . . Podijelimo li sada (2.4) s h i pustimo li h prema nuli zdesna, dobivamo diferencijalno-diferencijsku jednadˇzbu

p n (t) = λ[p n−1 (t) − p n (t)] .

dt

Za n = 0, identiˇcna analiza daje

Rjeˇsavamo za p n (t) uvode´ci funkciju izvodnicu vjerojatnosti G(s, t) definiranu sa

X G(s, t) = n s p

n (t)

n=0

tako da je

G(s, t) =

° Faculty and Institute of Actuaries c Poglavlje 5, stranica 7

Predmet 106

2000 Pomnoˇzimo sada (2.5) sa s n i sumiramo preko svih vrijednosti n da bismo

Teorija nesolventnosti

Dodamo li (2.6) gornjem identitetu dobivamo

ˇsto se moˇze napisati kao

d G(s, t) = λsG(s, t) − λG(s, t) , dt

ili ekvivalentno

G(s, t) = λ(s − 1) .

G(s, t) dt

Budu´ci daje lijeva strana od (2.7) jednaka derivaciji po t od log G(s, t), (2.7) moˇzemo integrirati, te dobivamo

log G(s, t) = λt(s − 1) + c(s)

gdje je c(s) neka funkcija od s. c(s) se moˇze identificirati primjetimo li da je za t = 0, p 0 (t) = 1 i p n (t) = 0, n = 1, 2, 3, . . . . Stoga je G(s, 0) = 1 i log G(s, 0) = 0 = c(s). Zato je

G(s, t) = exp{λt(s − 1)}

ˇsto je funkcija izvodnica vjerojatnosti Poissonove distribucije s parametrom λt. Budu´ci da postoji jedan-jedan veza izmedu funkcija izvodnica vjerojat- nosti i funkcija distribucije, slijedi da je distribucija od N (t) Poissonova s parametrom λt. Ovo prouˇcavanje Poissonovog procesa zavrˇsit ´cemo razmatranjem distribucije vremena do prve ˇstete i vremena izmedu ˇsteta.

Neka sluˇcajna varijabla T 1 oznaˇcava vrijeme prve ˇstete. Za fiksnu vrijednost t, ako se niti jedna ˇsteta nije pojavila do trenutka t imamo T 1 > t. Slijedi

P(T 1 > t) = P(N(t) = 0) = exp{−λt} Poglavlje 5, stranica 8

° Faculty and Institute of Actuaries c

Teorija nesolventnosti

Predmet 106

P(T 1 ≤ t) = 1 − exp{−λt} ,

tako da T 1 ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ. Za i = 2, 3, . . . , neka sluˇcajna varijabla T i oznaˇcava vrijeme izmedu (i − 1)-ve

i i-te ˇstete. Tada je

T i >t+r|

= P(N(t + r) = n | N(r) = n) = P(N(t + r) − N(r) = 0 | N(r) = n) .

Po uvjetu (2.2),

P(N (t + r) − N (r) = 0 | N (r) = n) = P(N (t + r) − N (r) = 0) . Konaˇcno,

P(N (t + r) − N (r) = 0) = P(N (t) = 0) = exp{−λt} ,

budu´ci da broj ˇsteta u vremenskom intervalu duljine r ne ovisi o tome kada taj interval poˇcinje (uvjet (2.1)). Prema tome i vremena izmedu dogadaja imaju eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ.

2.3 Sloˇ zeni Poissonov proces

U ovom odjeljku kombinirat ´cemo Poissonov proces broja ˇsteta s distribuci- jom iznosa ˇsteta, te ´cemo dobiti sloˇzeni Poissonov proces za proces ukupnih

ˇsteta definiran u odjeljku 1.1. Naˇcinit ´cemo sljede´ce tri vaˇzne pretpostavke:

• sluˇcajne varijable {X ∞

i } i=1 su nezavisne i jednako distribuirane • sluˇcajne varijable {X i } ∞ i=1 su nezavisne od N (t) za sve t ≥ 0

• sluˇcajni proces {N (t)} t≥0 je Poissonov proces ˇciji parametar oznaˇcavamo s λ.

° Faculty and Institute of Actuaries c Poglavlje 5, stranica 9

Predmet 106

Teorija nesolventnosti

U odjeljku (2.2) pokazano je da zadnja pretpostavka znaˇci da za svaki t ≥ 0, sluˇcajna varijabla N (t) ima Poissonovu distribuciju s parametrom λt, tako

da

(λt) k

P[N (t) = k] = exp{−λt} za k = 0, 1, 2, . . . .

k!

Uz te pretpostavke, proces ukupnih ˇsteta {S(t)} t≥0 naziva se sloˇzen Poissonov proces s Poissonovim parametrom λ. Usporeduju´ci gornje pretpostavke s pretpostavkama u Poglavlju 4, odjeljak 1.3, i u Poglavlju 4, odjeljak 2.2, moˇze se vidjeti da ako je {S(t)} t≥0 sloˇzen Poissonov proces s Poissonovim parametrom λ, tada, za fiksnu vrijednost od t ≥ 0, S(t) ima sloˇzenu Pois- sonovu distribuciju s Poissonovim parametrom λt. (Uoˇcite malu promjenu terminologije ovdje: “Poissonov parametar λ”postaje “Poissonov parametar λt” kada napravimo promjenu s procesa na distribuciju.) Zajedniˇcka funkcija distribucije od X i oznaˇcavat ´ce se s F (x), i pretpostavit

´cemo do kraja ovog poglavlja da je F (0) = 0, tako da su sve ˇstete pozitivnog iznosa. Vjerojatnosna funkcija gusto´ce od X i , ako postoji, oznaˇcavat ´ce se s f (x), a k-ti moment oko nule od X i , ako postoji, oznaˇcavat ´ce se s m k , tako da je

k = E[X i ] za k = 1, 2, 3, . . . .

Kadgod postoji zajedniˇcka funkcija izvodnica momenata od X i , njezina vri-

jednost u toˇcki r oznaˇcavat ´ce se s M X (r).

Budu´ci da za fiksnu vrijednost od t, S(t) ima sloˇzenu Poissonovu distribuciju, iz Poglavlja 4, odjeljak 2.2, slijedi da proces {S(t)} t≥0 ima oˇcekivanje λtm 1 , varijancu λtm 2 i funkciju izvodnicu momenata M S (r) gdje je

M S (r) = exp{λt(M X (r) − 1)} .

U nastavku ovog poglavlja napravit ´cemo sljede´cu (intuitivno razumljivu) pretpostavku o stopi premije:

c > λm 1 (2.8) tako da je osigurateljeva premija (po jedinici vremena) ve´ca od oˇcekivane

ˇstete (po jedinici vremena). Ponekad ´cemo c napisati kao

c = (1 + θ)λm 1

gdje je θ > 0 dodatak na premiju. Poglavlje 5, stranica 10

° Faculty and Institute of Actuaries c

Teorija nesolventnosti

Predmet 106

2.4 Tehnikalija

U sljede´cem odjeljku trebat ´ce nam tehniˇcki rezultat o M X (r) (funkcija izvod- nica momenata distribucije pojedinaˇcnih iznosa ˇsteta), koji zbog pogodnosti pokazujemo ovdje. U nastavku ovog odjeljka pretpostavit ´cemo da postoji broj γ (0 < γ ≤ ∞)

takav da je M X (r) konaˇcno za sve r < γ i

(Na primjer, ako X i ima sliku ograniˇcenu nekim konaˇcnim brojem, tada ´ce γ biti ∞; ako X i ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom α, tada ´ce γ biti jednak α.) U sljede´cem odjeljku biti ´ce potreban ovaj rezultat:

Za konaˇcan γ to slijedi odmah iz (2.9). Sada ´cemo pokazati da (2.10) vrijedi kada je γ beskonaˇcan. To zahtijeva malo viˇse paˇznje. Prvo uoˇcimo da postoji pozitivan broj, recimo ǫ, takav da je

P[X i > ǫ] > 0 .

To je zato ˇsto su svi iznosi ˇsteta pozitivni. Oznaˇcimo tu vjerojatnost s π. Tada je

M rǫ

X (r) ≥ e π.

Stoga lim rǫ (λM