Arithmetic, Geometric, Harmonic, and Quadratic Means Rataan Aritmatik, Geometrik, Harmonik dan Kuadratik

3.2 Arithmetic, Geometric, Harmonic, and Quadratic Means Rataan Aritmatik, Geometrik, Harmonik dan Kuadratik

In mathematics or statistics, an arithmetic mean of a list of numbers is the sum of all of the list divided by the number of items in the list. The arithmetic mean is the most commonly-used type of average and is often referred to simply as the average. A geometric mean is a type of mean or average, which indicates

a central tendency of numbers. It is similar to arithmetic mean, which is what most people think of with the word ”average,” except that instead of adding the set of numbers and then dividing the sum by the count of numbers in the set n, the numbers are multiplied and then the n th root of the resulting product is

taken. A harmonic mean (formerly sometimes called the subcontrary mean) is one of several kinds of average. Typically, it is appropriate for situations when the average of rates is desired. A quadratic mean is a type of average which is calculated as the square root of the mean of the squares.

Dalam matematika atau statistika, suatu rataan aritmatik dari daftar bilangan adalah jumlah bilangan itu dibagi dengan banyaknya bilangan dalam daftar. Rataan aritmatika adalah sesuatu yang paling sering dipakai dan secara umum juga disebut dengan rata-rata. Rataan geometrik adalah jenis rataan atau rata- rata yang merepresentasikan suatu tendensi sentral dari sekumpulan bilangan. Hampir sama dengan rataan aritmatik dimana banyak orang berpikir bahwa ini Dalam matematika atau statistika, suatu rataan aritmatik dari daftar bilangan adalah jumlah bilangan itu dibagi dengan banyaknya bilangan dalam daftar. Rataan aritmatika adalah sesuatu yang paling sering dipakai dan secara umum juga disebut dengan rata-rata. Rataan geometrik adalah jenis rataan atau rata- rata yang merepresentasikan suatu tendensi sentral dari sekumpulan bilangan. Hampir sama dengan rataan aritmatik dimana banyak orang berpikir bahwa ini

Let AM =Arithmetic Mean, GM =Geometric Mean, HM =Harmonic Mean and QM =Quadratic Mean. For any positive real numbers a, b, it satisfies Misal AM =Rataan Aritmatik, GM =Rataan Geometrik, HM =Rataan Harmonik and QM =Rataan Kuadratik. Untuk sebarang a, b bilangan real positif, berlaku

b then, from (3.13), it follows a + b ≥ 2

Jika a →

a dan b →

b maka (3.13) menjadi a + b ≥ 2

ab atau

a+b √

≥ ab (3.14)

In general we can present (3.14) as follows Secara umum kita dapat menulis (3.14) sebagai

x 1 +x 2 +···+x n

≥ x 1 x 2 ...x n

a and b → b then (3.14) shows

1 Jika a 1 →

a dan b → b maka (3.14) menjadi

ab ≥ 1 1 (3.16)

In general, we can present (3.16) as Secara umum kita dapat menulis (3.16) sebagai

x 1 x 2 ...x n ≥ 1 1 1 (3.17)

x 1 + x 2 +···+ x n

{z

HM

2 2 2 2 2 2 From (3.13), we get 2(a 2 +b )≥a + 2ab + b ⇐⇒ 2(a +b ) ≥ (a + b) . If the two

a 2 +b 2 ¡ a+b ¢ sides are divided by 4 then we have 2

2 ≥ 2 , or

2 +b 2 2 Dari (3.13) didapat 2(a 2 )≥a + 2ab + b 2 ⇐⇒ 2(a 2 +b 2 ) ≥ (a + b) . Bila kedua

a 2 +b 2 ¡ a+b ¢ ruas dibagi 4, diperoleh 2

In general (3.18) can be written as Secara umum (3.18) ditulis sebagai

x 2 +x 2 1 2 2 +···+x n

x 1 +x 2 +···+x n

Therefore, from(3.15), (3.17) and (3.19) we can conclude that for any positive real numbers x 1 ,x 2 ,...,x n satisfy: Dengan demikian, berdasarkan (3.15), (3.17) dan (3.19) dapat disimpulkan bahwa

untuk setiap bilangan real positif x 1 ,x 2 ,...,x n berlaku: QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM

where where

x 1 +x

2 +···+x n

QM = n

x 1 +x 2 +···+x n AM = √ n GM = n x 1 x 2 ...x n

n HM = 1 1 1 x 1 + x 2 +···+ x n

Example. Let x, y, z be any real positive numbers such that x + y + z = 1. Prove

that xy(x + y) 2 + yz(y + z) 2 + xz(x + z) 2 ≥ 4xyz.

Contoh. Diketahui x, y, z adalah bilangan real positif sehingga x + y + z = 1.

2 2 Buktikan bahwa xy(x + y) 2 + yz(y + z) + xz(x + z) ≥ 4xyz. Solution. Since x + y + z = 1, we have