The Polynomials and Remainder Theorem Suku Banyak dan Teorema Sisa

3.3 The Polynomials and Remainder Theorem Suku Banyak dan Teorema Sisa

A polynomial f (x) of degree n can be presented as: Suatu suku banyak f (x) yang berderajad n dinyatakan dengan:

f (x) = a n

0 x +a 1 x n−1 +···+a n−1 x+a n

where a 0 ,a 1 ,...,a n are constant, a 0 6= 0 and n is a cardinal number. dimana a 0 ,a 1 ,...,a n adalah konstanta, a 0 6= 0 dan n adalah bilangan cacah.

3.3.1 Polynomials Division Pembagian Suku Banyak

The division of polynomial is similar to the division of numbers. For instance in the number: Since 3 × 4 = 12, it follows 12 : 4 = 3 or 12 : 3 = 4. In the case of

12 : 4 = 3, numbers 4, 3 are respectively called divisor and quotient. Pembagian suku banyak menyerupai pembagian bilangan. Sebagai contoh pada

bilangan: Karena 3 ×4 = 12 maka 12 : 4 = 3 atau 12 : 3 = 4. Pada kasus 12 : 4 = 3 maka bilangan 4, 3 masing-masing disebut pembagi dan hasil bagi.

A polynomial f (x) divided by a divisor P (x) will give a quotient H(x) and a remainder S(x). Mathematically, we can write as:

f (x) = P (x)H(x) + S(x)

where: f (x) = is a polynomial of degree n; P (x) = is a polynomial of degree k; H(x) = is a polynomial of degree n − k; S(x) = is a polynomial of degree k − 1.

Suatu suku banyak f (x) yang dibagi dengan pembagi P (x) akan menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisanya S(x). Secara matematis dapat ditulis sebagai:

f (x) = P (x)H(x) + S(x)

dimana: f (x) = suku banyak berderajad n; P (x) = suku banyak berderajad k; H(x) = suku banyak berderajad n − k; S(x) = suku banyak berderajad k − 1.

When dividing polynomials, we need to consider the followings:

1. If the divisor is a linear term then the quotient and remainder can be ob- tained by Horner technique.

2. If the divisor is not linear and not be able to be factorized into product of linear terms then the quotient and remainder can be obtained by identity technique.

Dalam melakukan pembagian terhadap suku banyak perlu diperhatikan hal-hal berikut:

1. Jika pembaginya linier, maka hasil bagi dan sisanya dapat dicari dengan menggunakan cara Horner.

2. Jika pembaginya bukan linier dan tidak dapat diuraikan menjadi bentuk perpangkatan linier maka hasil bagi dan sisanya dapat dicari dengan per- gunakan metoda Identitas.

3.3.2 Remainder Theorem Teorema Sisa

1. If polynomial f (x) is divided by (x ± a) then the remainder is f(∓a).

2. If polynomial f (x) is divided by (ax b ± b) then the remainder is f(∓

a ).

3. If (x − a)|f(x) then f(a) = 0.

1. Jika suatu suku banyak f (x) dibagi dengan (x ± a) maka sisanya f(∓a).

2. b Jika suatu suku banyak f (x) dibagi dengan (ax ± b) maka sisanya f(∓

a ).

3. Jika (x − a)|f(x) maka f(a) = 0.

3.3.3 Factor Theorem Teorema faktor

1. If (x − a) is a factor of f(x) then the root of f(x) = 0 is x = a.

2. If polynomial f (x) satisfies f (a) = 0, f (b) = 0 and f (c) = 0 then f (x) is divisible by (x − a)(x − b)(x − c).

3. If f (x) is divided by (x (x−a) − a)(x − b) then the remainder is S(x) =

f (b) +

(b−a)

(x−b) (a−b)

f (a).

4. If f (x) is divided by (x − a)(x − b)(x − c) then the remainder is S(x) =

(x−a)(x−b) (c−a)(c−b)

f (c) + (x−a)(x−c) (b−a)(b−c) f (b) + (x−b)(x−c) (a−b)(a−c) f (a).

1. Jika (x − a) adalah faktor dari f(x) maka akar dari f(x) = 0 adalah x = a.

2. Jika pada suku banyak f (x) berlaku f (a) = 0, f (b) = 0 dan f (c) = 0 maka

f (x) habis dibagi (x − a)(x − b)(x − c).

3. (x−a) Jika f (x) dibagi dengan (x − a)(x − b) maka sisanya S(x) =

f (b) +

(b−a)

(x−b) (a−b)

f (a).

4. (x−a)(x−b) Jika f (x) dibagi dengan (x −a)(x−b)(x−c) maka sisanya S(x) =

f (c)+

(c−a)(c−b)

(x−a)(x−c)

f (b) + (a−b)(a−c) f (a).

(x−b)(x−c)

(b−a)(b−c)

3.3.4 Properties of Polynomial Roots Sifat-Sifat Akar-Akar Suku Banyak

In this section, we consider Vieta’s Formula. Let s i be the sum of the products of distinct polynomial roots r j of the polynomial equation of degree n Dalam hal ini akan disajikan penggunaan rumus Vieta. Misal s i adalah jum- lah dari hasil kali akar-akar polinomial yang berbeda r j dari sebuah polinomial berderajad n

where the roots are taken i at a time (i.e., s i is defined as the symmetric polyno-

mial Π i (r 1 , ..., r n ) for i = 1, ..., n). For example, the first few values of s i are

dimana akar-akar itu dihitung sebanyak i dalam suatu proses (atau s i didefin- isikan sebagai polinomial simetrik Π i (r 1 , ..., r n ) untuk i = 1, ..., n). Sebagai con- toh, beberapa nilai s i yang pertama adalah

s 1 =r 1 +r 2 +r 3 +r 4 +... s 2 =r 1 r 2 +r 1 r 3 +r 1 r 4 +r 2 r 3 +... s 3 =r 1 r 2 r 3 +r 1 r 2 r 4 +r 2 r 3 r 4 +... ...

and so on. Then Vieta’s formulas states that dan seterusnya. Maka rumus Vieta’s dinyatakan sebagai

i a n−i s i = (−1)

The followings are some example of Vieta’s formula. Berikut ini adalah beberapa contoh dari rumusan Vieta.

1. For the polynomial ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, we have: Pada suku banyak ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 berlaku:

1) x 1 +x 2 +x 3 = −b/a

2) x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = c/a

3) x 1 ·x 2 ·x 3 = −d/a

4 3 2. 2 For the polynomial ax + bx + cx + dx + e = 0, we have: Pada suku banyak ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 berlaku:

1) x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = −b/a

2) x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 1 x 4 +x 2 x 3 +x 2 x 4 +x 3 x 4 = c/a

2) x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 4 +x 1 x 3 x 4 +x 2 x 3 x 4 = −d/a

3) x 1 ·x 2 ·x 3 ·x 4 = e/a

We note that if the degree of polynomial is even then the the value of s is positive otherwise it is negative. Dapat dicatat bahwa bila pangkat tertinggi dari polinomial adalah genap maka nilai s adalah positif jika ganjil maka nilai s adalah negatif.

To find some rational roots of polynomials can be used the following steps: Untuk menentukan beberapa akar rasional dari suku banyak dapat digunakan langkah-langkah berikut:

1. If the sum of all polynomial coefficients is equal to 0 then x = 1 is one of the root. Jika jumlah seluruh koefisien suku banyak sama dengan 0, maka x = 1 merupakan salah satu akarnya.

2. If the sum of the coefficients of odd order and even order are the same then x = −1 is one of the root.

Jika jumlah koefisien pangkat ganjil dan genap adalah sama, maka x = −1 merupakan salah satu akarnya.

3. If (1) and (2) are not applicable then consider a trial and error technique by finding factors of the coefficient of the lowest order and substituting into

f (x). Observe whether f (x) = 0 or not. Jika langkah (1) dan (2) tidak memenuhi, maka gunakan cara coba-coba yaitu dengan menentukan faktor dari koefisien pangkat terendahnya dan masukkan ke dalam f (x). Amati apakah f (x) = 0 atau tidak.

P ROBLEMS AND S OLUTIONS S OAL - SOAL DAN P EMBAHASAN

1. A geometric series is presented as :

When we insert two numbers in between any two successive numbers such that it forms a new geometric series, determine the new ratio and the number of terms of the new geometric series. Suatu deret geometri diketahui sebagai berikut:

Jika disisipkan dua buah bilangan kedalam dua suku yang berurutan pada deret geometri ini sedemikian hingga deret itu membentuk deret geometri baru, tentukan ratio dan banyaknya suku deret geometri baru tersebut.

Solution. We have the following: Solusi. Diketahui berikut:

So (Sehingga)

U n r= U n −1

r=8

Let k, n be number of inserted numbers and terms. We have k = 2 and n = 6. The new ratio is: Misal k, n masing-masing adalah banyaknya bilangan yang disisipkan dan banyaknya suku sebelum disisikpan, maka diperoleh k = 2 dan n = 6. Ratio yang baru adalah:

k+1 √

r ′ =2

Number of the new terms is Banyaknya suku yang baru adalah

n ′ = n + (n − 1)k n ′ = 6 + (6 − 1).2 n ′ = 16

The desired geometric series is: Deret geometri yang dicari adalah:

the inserted numbers (bilangan yang disisipkan)

2. Let a, b and c be any riel positive numbers such that abc = 1. Prove that

a 3 (b+c) + b 3 (a+c) + c 3 (a+b) ≥ 2 .

Misal a, b dan c adalah bilangan riil positif sedemikian hingga abc = 1.

1 Buktikan bahwa 1

a 3 (b+c) + 1 b 3 (a+c) 3 + c 3 (a+b) ≥ 2 .

Solution. Let

1 1 and a = 1 x ,b= y ,c= z . Let T = x + y + z. Since abc = 1, we have xyz = 1. Substituting the new a, b, c we have:

Solusi. Misal

1 1 dan a = 1 x ,b= y ,c= z . Misal T = x + y + z. Karena abc = 1 maka xyz = 1. Dengan mensubstitusikan a, b, c yang baru didapat:

Substituting the above equations into (3.21) we have the following. Dengan mensubstitusikan semua persamaan di atas ke dalam (3.21) maka Substituting the above equations into (3.21) we have the following. Dengan mensubstitusikan semua persamaan di atas ke dalam (3.21) maka

x+y+z

3 x+y+z

Therefore Dengan demikian

3. Given that f (x) is a polynomial of degree 2. When f (x) is divided by x + 1, the remainder is 3; when f (x) is divided by x − 3, the remainder is 23; and 3. Given that f (x) is a polynomial of degree 2. When f (x) is divided by x + 1, the remainder is 3; when f (x) is divided by x − 3, the remainder is 23; and

f (x). Diketahui f (x) adalah sebuah polinomial berderajad 2. Saat f (x) dibagi dengan x + 1, maka sisanya adalah 3; saat f (x) dibagi dengan x − 3, maka sisanya adalah 23; dan saat f (x) dibagi dengan x − 2, maka sisanya adalah

15. Tentukan polinomial f (x) tersebut. Solution. 2 Let f (x) = qx + mx + n. When f (x) is divided by x + 1, the remainder is s( 2 −1) = q(−1) + m(−1) + n = 3; when f(x) is divided by x − 3, the remainder is s(3) = q(3) 2 + m(3) + n = 23; and when f (x) is

divided by x − 2, the remainder is s(2) = q(2) 2 + m(2) + n = 15. Thus, we have

Misal f (x) = qx 2 + mx + n. Saat f (x) dibagi dengan x + 1, maka sisanya adalah s( 2 −1) = q(−1) + m(−1) + n = 3; saat f(x) dibagi dengan x − 3,

maka sisanya adalah s(3) = q(3) 2 + m(3) + n = 23; dan saat f (x) dibagi dengan x

− 2, maka sisanya adalah s(2) = q(2) 2 + m(2) + n = 15. Sehingga, diperoleh

q−m+n=3 9q + 3m + n = 23

4q + 2m + n = 15

Solving the three equations, we get q = 1, m = 3 and n = 5. Dengan menyelesaikan ketiga persamaan di atas, maka didapat q = 1, m =

3 dan n = 5.

CHAPTER 4 Trigonometry