Teorema Nilai Tengah Teorema Limit Pusat Sifat Asimtotik Normalitas Penduga Kemungkinan Maksimum Uji Rasio Kemungkinan Likelihood Ratio Test

2.7 Matriks Informasi Fisher

Misal sampel acak X 1 , X 2 , ..., X n dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang   , , , ; 2 1 2 1 θ θ θ θ x f di mana kondisi keteraturan ada. Tanpa menggambarkan kondisi ini secara rinci, misalkan dikatakan bahwa ruang di X dimana , ; 2 1  θ θ x f tidak mengandung 1 θ dan 2 θ , dan dapat menurunkan bawah tanda integral. Sehingga matriks informasi fishernya adalah                                                                      2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 , ; ln , ; ln , ; ln , ; ln , ; ln , ; ln θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ X f E X f X f E X f X f E X f E I n                                                   2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 , ; ln , ; ln , ; ln , ; ln θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ X f E X f E X f E X f E I n Hogg dan Craig, 1978.

2.8 Teorema Nilai Tengah

Untuk membuktikan sifat asimtotik normalitas suatu distribusi, maka dibutuhkan teori yang mendukung tentang nilai tengah. Berikut ini dijelaskan mengenai teorema nilai tengah. Teorema 2.1 Jika f kontinu pada selang tertutup [ , ] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari , , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam , dimana = Atau, setara juga dengan = Purcell dan Varberg, 2000

2.9 Teorema Limit Pusat

Untuk membuktikan sifat asimtotik suatu distribusi, juga dibutuhkan teori yang mendukung tentang limit pusat. Berikut ini dijelaskan mengenai teorema limit pusat. Teorema 2.2 Misalkan , , , menyimbolkan observasi sebuah peubah acak dari sebuah distribusi dengan nilai tengah adalah dan ragam positif . Sehingga peubah acak = = memiliki pendekatan distribusi normal dengan nilai tengah nol dan ragam satu, Hogg dan Craig, 1995.

2.10 Sifat Asimtotik Normalitas Penduga Kemungkinan Maksimum

Penduga kemungkinan maksimum maximum likekihood estimators merupakan penduga yang lebih atraktif karena jumlah sampelnya yang besar atau sifat asimtotiknya. Salah satu sifat asimtotik dari penduga kemungkinan maksimum adalah asimtotik normalitas. Penduga kemungkinan maksimum dikatakan asimtotik normalitas apabila       1 , ~ ˆ  θ θ θ I N a ML Dimana              2 1 θ θ θ θ L E n I l Dengan kata lain, penduga kemungkinan maksimum disebut dengan asimtotik normalitas apabila     1 , ˆ    θ θ θ I N n d Greene, 2000.

2.11 Uji Rasio Kemungkinan Likelihood Ratio Test

Misalkan X 1 , X 2 , ..., X n melambangkan n peubah acak independen yang memiliki masing-masing fungsi kepekatan peluang , ,..., , ; 2 1 m x f i i θ θ θ i=1, 2,..., n. Himpunan yang terdiri dari semua titik parameter ,..., , 2 1 m θ θ θ dinotasikan oleh  , yang disebut ruang parameter. Misalkan ω menjadi sebuah subset dari ruang parameter  . Misalkan hipotesis H : ,..., , 2 1 m θ θ θ ω  merupakan semua hipotesis alternatif. Definisi fungsi kemungkinan:    n i m i i x f L 1 2 , 1 ,..., ; θ θ θ ω , ,..., , 2 1 m θ θ θ ω  Dan     n i m i i x f L 1 2 , 1 ,..., ; θ θ θ , ,..., , 2 1 m θ θ θ   Misalkan ˆ ω L dan ˆ  L maksimum, yang di asumsikan ada dari dua fungsi kemungkinan. Rasio dari ˆ ω L ke ˆ  L disebut rasio kemungkinan likelihood ratio dan dinotasikan oleh ˆ ˆ ,..., , 2 1    L L L x x x L n ω Hogg dan Craig, 1978.

III. METODELOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian dilaksanakan pada tahun akademik 20112012.

3.2 Metode Penelitian

Dalam penelitian ini, langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Menduga parameter distribusi weibull dan distribusi eksponensial umum dengan menggunakan metode penduga kemungkinan maksimum dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Membentuk fungsi kemungkinan yang berasal dari fungsi kepekatan peluang distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum. b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan parameter.