2001 digitalized by USU digital libary
-12.sin θ
+ 2.6.sin θ
+ 6.cos2 θ
= 0 2 – sin
θ 2 – sin
θ -12.sin
θ . 2 – sin
θ + 2.6.sin
θ + 6.1 – 2.sin
2
θ = 0
2 – sin θ
-24.sin θ
+ 12sin
2
θ + 12sin
θ + 6 – 12.sin
2
θ = 0
-12sin θ
+ 6 = 0 12sin
θ = 6
sin θ
= ½ θ
= 30 Substitusikan
θ = 30
ke 2 : x = 6
2 – sin 30 x = 6
1½ x = 4 inci
Substitusikan x = 4 ke 1 : y = 12 – 24
y = 12 – 8 y = 4 inci
Jadi sudut alas talang = 90 +
θ = 90
+ 30 = 120
Jadi ukuran talang tersebut adalah : v
Lebar kedua sisi talang = 4 inci v
Alas talang = 4 inci
3.2. Penerapan Masalah Pengali Lagrange
Untuk memaksimumkan atau meminimumkan fx,y terhadap kendala gx,y = 0, selesaikanlah persamaan
∇ fx,y =
λ
.
∇ gx,y dan gx,y = 0
untuk x,y dan λ
. Tiap titik x,y yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala dan
λ yang berpadanan disebut pengali lagrange.
Berikut ini akan dibahas beberapa contoh permasalahan yang diselesaikan dengan menggunakan pengali lagrange, yaitu :
F F
Mencari luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegipanjang jika panj ang diagonalnya 2.
2001 digitalized by USU digital libary
Penyelesaian :
Letakkan persegipanjang itu di kuadran pertama dengan dua sisinya sepanjang sumbu- sumbu koordinat x,y, dengan x dan y positif. Panjang diagonalnya adalah
√ x²+y² = 2
dan luasnya adalah xy. √
x
2
+ y
2
= 2 x
2
+ y
2
= 4 x
2
+ y
2
– 4 = 0
Jadi dapat dirumuskan masalah berupa pemaksimuman fx,y = xy terhadap kendala gx,y = x
2
+ y
2
– 4 = 0. f
x
x,y = y f
y
x,y = x g
x
x,y = 2x g
y
x,y = 2y Gradien yang berpadanan adalah :
∇ fx,y = f
x
x,y
i + f
y
x,y
j
= y
i + xj
∇ gx,y = g
x
x,y
i + g
y
x,y
j
= 2x
i + 2yj
Sekarang persamaan-persamaan lagrange menjadi : f
x
x,y = λ
.g
x
x,y y =
λ .2x …………………………….1
f
y
x,y = λ
.g
y
x,y x =
λ .2y ……………………………..2
x
2
+ y
2
= 4 ………………………………..3 yang harus diselesaikan secara serentak. Jika persamaan pertama dikalikan dengan y dan
persamaan kedua dengan x, diperoleh y
2
= λ
.2xy dan x
2
= λ
.2xy yang menghasilkan x
2
= y
2
atau x = y. Dari 3 :
x
2
+ y
2
= 4 x
2
+ x
2
= 4 2
x
2
= 4 x
2
= 2 x =
2 y =
2 Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam 1, maka didapatkan :
y = λ
.2x 2 =
λ .2
2 λ
= ½ Jadi luas persegipanjang maksimum dengan diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang
sisinya 2. Luas maksimumnya adalah 2.
F F
Menentukan volume maksimum suatu kotak segi empat yang terbuka atasnya, yang dapat dibuat dari selembar karton yang luasnya 48 cm
2
.
2001 digitalized by USU digital libary
Penyelesaian : Misalkan :
Panjang alas = x Lebar alas = y
Tinggi = z Bentuk kotak dapat digambarkan secara geometri sebagai berikut :
z
y Kendala dalam pemasalahan ini adalah :
L = x.y + 2.x.z + 2.y.z – 48 = 0 …………………………….1 Yang harus dimaksimumkan adalah volume :
V = x.y.z Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x :
∂ V =
λ ∂
L ∂
x ∂
x yz =
λ .y + 2z
yz = λ
.y + 2. λ
.z ………………………………………… 2
Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas y : ∂
V = λ
. ∂
L ∂
y ∂
y
xz = λ
.x + 2z xz =
λ .x + 2
λ .z ………………………………………... 3
Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas z :
∂
V =
λ
.
∂
L
∂
z
∂
z
xy = λ
.2x + 2y xy = 2.
λ .x + 2
λ .y …………………………… 4
Dari 2 dan 3 dieliminasikan: 2 : yz =
λ .y + 2.
λ .z
3 : xz = λ
.x + 2 λ
.z - yz – xz =
λ .y +
λ .x
zy – x = λ
.y – x z =
λ ……………………………………. 5
x
2001 digitalized by USU digital libary
Dari 2 dan 4 dieliminasikan: 2 : yz =
λ .y + 2.
λ .z .2
4 : xy = 2. λ
.x + 2 λ
.y .1 2 : 2yz = 2.
λ .y + 4.
λ .z
4 : xy = 2. λ
.x + 2 λ
.y - 2yz – xy = 4.
λ .z + 2
λ .y
y2z – x = 2. λ
.2z – x y = 2.
λ …………………………………... 6
Dari 3 dan 4 dieliminasikan: 3 : xz =
λ .x + 2.
λ .z .2
4 : xy = 2. λ
.x + 2 λ
.y .1 3 : 2xz = 2.
λ .x + 4.
λ .z
4 : xy = 2. λ
.x + 2 λ
.y - 2xz – xy = 4.
λ .z + 2
λ .y
x2z – y = 2. λ
.2z – y x = 2.
λ …………………………………… 7
Substitusikan 5,6,7 ke 1 : x.y + 2.x.z + 2.y.z – 48 = 0
2. λ
.2. λ
+ 2. 2. λ
. λ
+ 2. 2. λ
. λ
– 48 = 0 4.
λ
2
+ 4. λ
2
+ 4. λ
2
= 48 12.
λ
2
= 48 λ
2
= 4 λ
= 2 Substitusikan
λ = 2 ke 5,6,7 :
5 : z = λ
= 2 6 : y = 2.
λ = 2.2
= 4 7 : x = 2.
λ = 2.2
= 4 Jadi ukuran kotak tersebut adalah :
v panjang = 4 cm
v lebar = 4 cm
v tinggi = 2 cm
3.3. Penerapan Masalah Hampiran
