2001 digitalized by USU digital libary
c. Menguraikan metode – metode yang akan digunakan untuk mendapatkan hasil yang optimal dari fungsi dua peubah z= fx,y.
d. Menggunakan diferensial parsial untuk menentukan luas atau volume yang optimal. e. Mencari besarnya hampiran penyimpangan yang terjadi pada luas atau volume yang
optimal.
1.5. Tinjauan Pustaka
1. Martono, K., KALKULUS DAN I LMU UKUR ANALI TI K 2, Penerbit Angkasa, Bandung, 1986. Dari buku ini ditinjau tentang nilai ekstrim dari fungsi dua peubah z= fx,y dan jenis
ekstrimnya. 2. Purcell, Edwin, J. dan Varberg, Dale, KALKULUS DAN GEOMETRI ANALI TI K, Penerbit
Erlangga, Jakarta, 1994, Edisi Kelima, Jilid 2. Dari buku ini ditinjau tentang maksimum dan minimum pengali Lagrange serta hampiran dari
fungsi dua peubah z= fx,y. 3. Sianipar, P., KALKULUS I I , Penerbit USU, Medan, 2000.
Dari buku ini ditinjau tentang fungsi dua peubah z= fx,y.
METODOLOGI 2.1. Fungsi Dua Peubah
Bila untuk setiap pasangan x,y dari harga – harga dua peubah bebas x dan y dari beberapa domain D, terdapat korespondensi harga – harga tertentu, maka dikatakan bahwa z
adalah fungsi dari dua peubah bebas x dan y yang tertentu di dalam domain D. Secara simbolis, fungsi dari dua variabel dituliskan dengan z= fx,y .
Kumpulan pasangan – pasangan x,y dari harga – harga x dan y untuk fungsi z= fx,y tertentu, disebut daerah asal atau domain D. Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, maka
diambil D yang berupa daerah asal mulanya natural domain, yakni himpunan semua titik x,y pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil.
2.2. Nilai Ekstrim
Nilai maksimum dari fungsi z= fx,y dicapai pada pasangan nilai variabel – variabel bebas x dan y adalah nilai terbesar dari fungsi fx,y dalam suatu lengkungan dari titik x
o
,y
o,
o dan nilai minimum dari z= fx,y adalah nilai terkecil di lengkungan dari titik x
1
,y
1,
o. Ada beberapa batasan yang harus kita perhatikan untuk mengetahui nilai ekstrim suatu fungsi,
yakni: 1. Fungsi z= fx,y mempunyai nilai maksimum di x
o,
y
o
jika terdapat bilangan – bilangan positif S
1
dan S
2
sehingga berlaku : ∀
x,y ∈
H = { x,y |
| x-x
o
| S
1,
x,y |
| y-y
o
| S
2
} berlaku fx
o,
y
o
≥ fx,y.
2. Fungsi z= fx,y mempunyai nilai minimum jika fx
o,
y
o
≤ fx,y.
3. Jika fungsi z= fx,y di x
o,
y
o
mencapai nilai minimum atau minimum maka fungsi z= fx,y mencapai nilai ekstrim dan titiknya disebut dengan titik ekstrim.
4. Misalkan z= fx,y merupakan suatu permukaan dan andaikan T adalah titik pada permukaan.
Jika berlaku dz dz
dx
T = 0
dan dy
T = 0
maka T disebut titik stasioner pada permukaan.
2.3. Jenis Ekstrim
Jenis ekstrim dapat ditentukan dengan turunan parsial tingkat dua, yakni dengan dalil :
Misalkan titik T x
o
,y
o,
z
o
adalah titik stasioner dari z
=
fx,y dengan dz dan dx
T = 0
2001 digitalized by USU digital libary
dz dy
T = 0
Diskriminan dari f :
∆ ∆
=
•
maka berlaku : 1. Jika di T berlaku
∆ 0 dan
∂
2
f
0 ,
atau ∂
2
f , maka T titik maksimum.
∂ x
2
∂ y
2
2. Jika di T berlaku ∆
0 dan ∂
2
f
0 ,
atau ∂
2
f , maka T titik minimum.
∂ x
2
∂ y
2
3. Jika di T berlaku ∆
0 maka T bukan titik ekstrim. 4. Jika di T berlaku
∆ = 0 maka tidak dapat ditarik kesimpulan apakah T titik maksimum
atau minimum.
2.4. Metode - Metode
Adapun metode – metode atau cara – cara menyelesaikan permasalahan yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai pengoptimalan fungsi dua peubah
diantaranya adalah : 1. Turunan parsial dari suatu fungsi dua peubah.
Turunan parsial dari suatu fungsi z
=
fx,y terhadap x adalah turunan terhadap x dengan mengambil y konstan, dengan perkataan lain yaitu
∂ z dihitung dari z
=
fx,y ∂
x dengan menganggap y konstan.
Turunan parsial dari fungsi z
=
fx,y terhadap y adalah turunan terhadap y dengan menganggap x konstan, dengan perkataan lain yaitu
∂ z dihitung dari z
=
fx,y dengan ∂
y
menganggap x konstan. Kemudian dari hasil turunan parsial tersebut akan ditentukan jenis ekstrimnya dari dalil yang
telah diuraikan di atas. Tafsiran geometri dan fisisnya adalah dengan memandang permukaan yang persamaannya
z= fx,y. Bidang y= y
memotong permukaan ini pada kurva bidang QPR gambar 1 dan nilai dar i f
x
x
0,
y adalah kemiringan garis singgung pada kurva ini di Px
0,
y , f
x
0,
y . Serupa
dengan itu, bidang x= x memotong permukaan pada kurva bidang LPM gambar 2 dan f
y
x
0,
y adalah kemiringan garis singgung pada lengkungan ini
di titik P
. ∂
2
f ∂
x
2
∂
2
f ∂
y
2
∂
2
f ∂
x ∂
y
2001 digitalized by USU digital libary
Turunun parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan sesaat. Andaikan bahwa dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada bidang xz. Gambar 3
menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu tertentu t. Jika z
=
fx,t menyatakan tinggi dawai di P dengan absis x pada saat t, maka
∂ z adalah kemiringan dawai di P
∂ x
dan ∂
z adalah waktu laju perubahan ketinggian P sepanjang garis tegak yang ditun- ∂
t jukkan. Dengan perkataan lain,
∂ z adalah kecepatan vertikal dari P.
∂ t
z
GAMBAR 1
t R
P f
x
x
,
y = kemiringan t
y
x
0,
y
x Q
z
GAMBAR 2
t M
P
f
y
x
,
y = kemiringan t
y
x
0,
y L
x
z
GAMBAR 3
posisi dawai
2001 digitalized by USU digital libary
pada waktu t p=x,fx,t
x A
x B
2. Pengali Lagrange Lagrange Multipliers. Untuk mencari nilai minimum dari suatu fungsi adalah suatu masalah nilai ekstrim bebas,
sedangkan untuk mencari nilai minimum dari suatu fungsi terhadap suatu kondisi atau syarat tambahan adalah masalah nilai ekstrim terkendala. Banyak permasalahan di dunia nyata,
khususnya di bidang ekonomi termasuk ke masalah nilai ekstrim terkendala. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan tetapi dibatasi oleh banyaknya
bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya. Untuk mempermudah menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan metode pengali lagrange,
yang dinamai menurut penemunya Josefph Louis Lagrange. Metode pengali lagrange adalah suatu metode untuk mencari harga maksimum atau harga
minimum dari suatu fungsi dengan beberapa variabel, dimana variabel – variabel tersebut dikaitkan dengan satu atau lebih persamaan yang disebut syarat tambahan atau kekangan.
Dari metode ini , untuk memaksimumkan f terhadap kendala gx,y = 0 sama dengan
mencari kurva ketinggian fx,y = k k suatu konstanta dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva kendala di suatu titik P
o
x
o,
y
o
dan karenanya nilai maksimum f terhadap kendala gx,y = 0 adalah T
o
x
o,
y
o
. Titik singgung lainnya P
1
x
1
,y
1
memberikan nilai minimum T
1
x
1
,y
1
dari f terhadap kendala gx,y = 0. Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P
o
dan P
1.
Karena di titik – titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung yaitu,
mempunyai suatu garis singgung bersama, kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegaklurus bersama. Tetapi di seberang titik dari kurva ketinggian, vektor gradien
∇ f adalah
tegaklurus terhadap kurva ketinggian dan dengan cara serupa ∇
g adalah tegaklurus terhadap kurva kendala. Jadi
∇ f dan
∇ g sejajar di P
o
dan juga di P
1
yaitu : ∇
fP
o
= λ
o
.
∇ gP
o
dan ∇
fP
1
= λ
1
.
∇ gP
1
untuk suatu bilangan λ
o
dan λ
1
tak nol. Untuk memaksimumkan atau meminimumkan fx,y terhadap kendala gx,y = 0, selesaikan
persamaan ∇
fx,y = λ
.
∇ gx,y dan gx,y = 0
untuk x,y dan λ
. Tiap titik x,y yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala dan
λ yang berpadanan disebut pengali lagrange.
3. Hampiran Andaikan z= fx,y dan f adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan andaikan dx dan
dy disebut diferensial – diferensial dari x dan y berupa peubah – peubah. Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis dfx,y, didefinisikan
oleh : dz = dfx,y = f
x
x,ydx + f
y
x,ydy. Pentingnya dz muncul dari kenyataan bahwa dx =
∆ x dan dy =
∆ y, masing – masing
mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran aproksimasi yang baik terhadap
∆ z, perubahan padanannya dalam z. Dalam hal ini penghampiran akan
semakin baik jika ∆
x dan ∆
y kesalahan semakin kecil.
PEMBAHASAN 3.1. Penerapan Masalah Maksimum dan Minimum
Dalam penerapan masalah maksimum dan minimum dapat menggunakan metode maksimum – minimum interval tertentu. Ketika menghadapi masalah tersebut, langkah pertama
2001 digitalized by USU digital libary
yamg penting adalah menentukan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Besaran ini menjadi peubah tak bebas di dalam analisis masalah.
Peubah tak bebas ini kemudian harus dinyatakan dalam peubah bebas yaitu yang mengontrol nilai – nilai peubah tak bebas. Apabila daerah asal nilai – nilai peubah bebasnya
adalah interval tertutup maka dapat diteruskan dengan metode maksimum – minimum interval tertutup. Rencana penyelesaian dapat dirangkum dalam langkah – langkah berikut ini :
1. Tentukan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Besaran ini akan menjadi peubah tak bebas yang berupa sebuah kata atau phrase singkat
dan diberi label dengan huruf yang bermakna. Karena merupakan peubah tak bebas, maka tergantung pada yang lain yaitu peubah bebas. Peubah bebasnya adalah x dan y.
2. Nyatakan peubah tak bebas ke dalam peubah bebas. Gunakan informasi di dalam masalah untuk menulis peubah tak bebas sebagai fx,y. Buatlah
gambar dan beri label peubah, biasanya ini merupakan antara peubah tak bebas dengan peubah bebas. Gunakan peubah pembantu jika diperlukan, tetapi jangan terlalu banyak.
Peubah pembantu ini akhirnya harus dihilangkan. Peubah tak bebas harus dinyatakan sebagai fungsi dari dua peubah bebas x dan y dan beberapa konstanta sebelum dihitung
turunannya. Temukan daerah asal fungsi dan juga rumusnya. Usahakan supaya daerah asalnya interval tertutup dan terbatas. Apabila daerah asalnya interval terbuka maka
masukkan kedua titik ujungnya.
3.
Terapkan kalkulus untuk menemukan titik – titik kritis. Hitunglah turunan f
′ dari f yang dihasilkan langkah dua. Gunakan turunan ini untuk
menemukan titik – titik kritis yaitu dimana ∂
z
= 0
dan ∂
z
= 0
. Apabila f dapat ∂
x ∂
y diturunkan dimana – mana maka titik – titik kritisnya terjadi hanya dengan
∂ z
= 0
∂ x
dan ∂
z
= 0.
∂ x
4. Tentukan nilai – nilai ektrim. Selidiki f pada setiap titik kritis di daerah asal beserta titik – titik ujungnya. Nilai – nilai yang
diperoleh akan menunjukkan nilai mana yang merupakan maksimum absolut dan minimum absolut. Tentu saja di setiap nilai ekstrim bisa terjadi lebih dari satu titik.
5. Jawablah pertanyaan pada persoalan awal. Dengan kata lain interpretasikan hasilnya. Jawaban untuk pertanyaan awal mungkin bukan
sekedar nilai terbesar atau terkecil dari f. Berikut ini akan dibahas beberapa contoh dalam permasalahan maksimum dan minimum
yaitu :
u u
Mencari ukuran kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang dapat dilingkupkan sekeliling bola dengan jari – jari 20 cm.
Pen
yelesaian :
Misalkan : x
=
jari – jari dasar kerucut. y
=
panjang AD
2001 digitalized by USU digital libary
Jadi tinggi kerucut
=
y + 20 cm. Dari setiga siku – siku AED dengan ED adalah jari – jari bola, maka :
Panjang AE
=
√ AD
2
+ ED
2
=
√ y
2
+ 20
2
=
√ y
2
+ 400
Permasalahan ini dapat digambarkan secara geometri sebagai berikut :
A
y
E
C
Dari segitiga siku – siku sebangun ABC dan AED, didapat: A
x = y + 20
20 √
y
2
- 400 x
2
= 20y + 20
2
√ y
2
- 400 = 400 y + 20
2
B C
y
2
- 400 A
= 400 y + 20
2
y + 20 . y – 20 = 400 y + 20
y – 20 E
D
B
x
20 D
20
2001 digitalized by USU digital libary
Volume kerucut : V =
π .
x
2
.y + 20 3
= 400.
π .
y + 20
2
3.y – 20
Fungsi volume diturunkan terhadap fungsi peubah bebas y : ∂
V = 400.
π .
y +20.y – 60 = 0 ∂
y 3.y – 20
2
400.
π .
y +20.y – 60 = 0 y +20.y – 60 = 0
y – 60 = 0 y = 60
Harga kritis yang bersangkutan adalah y
=
60 Maka tinggi kerucut = y + 20
= 60 + 20 = 80 cm.
Jari - jari dasar = x = 20.y + 20 √
y
2
– 400 = 20.60 + 20
√ 60
2
– 400 = 1600
40. √
2 = 20.
√ 2 cm.
u u
Sehelai kertas untuk poster luasnya 2 m
2
. Garis tepi dibagian atas dan bawah adalah 21 cm dan pada sisinya adalah 14 cm. Berapakan ukuran panjang poster bila luas bagian
yang dicetak adalah maksimum ?
Penyelesaian :
2001 digitalized by USU digital libary
Misalkan : panjang poster
=
x meter, maka lebar poster
=
2x meter
x m
0,14 0,14
21cm = 0,21m
2x – 0.42m 21 cm = 0,21 m
Luas daerah yang dicetak dalam meter persegi adalah : A
=
x – 0,28.2x – 0,42 Fungsi luas diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x :
∂ A
=
2x – 0,42 + -2x
2
.x – 0,28 ∂
x
=
2x – 0,42 – 2x – 0,56x
2
=
0,56x
2
– 0,42 ∂
A = 0 ∂
x 0,56x
2
– 0,42 = 0 0,56x
2
= 0,42 x
2
= 0,42 0,56
x = 2. √
3 3
Jadi ukuran poster : v panjang
=
x
=
2. √
3 meter 3
v lebar = 2 x =
√ 3 meter
u u
Sebuah talang terbuka yang penampangnya suatu trapesium sama kaki akan dibuat dari selembar panjang logam dengan lebar 12 inci dengan cara menekuk untuk membuat sisi –
sisinya. Tentukanlah sudut talang itu dan lebar kedua sisinya agar muatan talang maksimum.
Penyelesaian :
2001 digitalized by USU digital libary
Misalkan : Alas talang = y
Lebar sisi – sisi talang = x Maka :
2x + y = 12 inci y = 12 – 2x ……………………………….
1
Bentuk talang dilihat dari samping dapat digambar secara geometri sebagai berikut :
x.sin θ
x.cos θ
x θ
90 y
Agar luas talang maksimum, luas trapesium harus maksimum : L = ½ .[ y + y + 2x.sin
θ ] .x.cos
θ = ½ . 2y + 2x.sin
θ .x.cos
θ = y + x.sin
θ .x.cos
θ = xy.cos
θ + x
2
.sin θ
.cos θ
= x.12 – 2x.cos θ
+ ½ .x
2
.sin2 θ
= 12x.cos θ
– 2.x
2
.cos θ
+ ½ .x
2
.sin2 θ
Fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : ∂
L = 12.cos θ
– 4x.cos θ
+ x.sin2 θ
= 0 ∂
x 12.cos
θ – 4x.cos
θ + 2x.sin
θ .cos
θ = 0
cos θ
.12 – 4x + 2x.sin θ
= 0 12 – 4x + 2x.sin
θ = 0
12 – 2x.2 –sin θ
= 0 2x.2 – sin
θ = 12
x = 12 2.2 – sin
θ x = 6
2 – sin θ
………….2 Fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah
θ :
∂ L = -12.x.sin
θ + 2x
2
sin θ
+ x
2
cos2 θ
= 0 ∂θ
x.-12.sin θ
+ 2xsin θ
+ xcos2 θ
= 0 -12.sin
θ + 2xsin
θ + xcos2
θ = 0
2001 digitalized by USU digital libary
-12.sin θ
+ 2.6.sin θ
+ 6.cos2 θ
= 0 2 – sin
θ 2 – sin
θ -12.sin
θ . 2 – sin
θ + 2.6.sin
θ + 6.1 – 2.sin
2
θ = 0
2 – sin θ
-24.sin θ
+ 12sin
2
θ + 12sin
θ + 6 – 12.sin
2
θ = 0
-12sin θ
+ 6 = 0 12sin
θ = 6
sin θ
= ½ θ
= 30 Substitusikan
θ = 30
ke 2 : x = 6
2 – sin 30 x = 6
1½ x = 4 inci
Substitusikan x = 4 ke 1 : y = 12 – 24
y = 12 – 8 y = 4 inci
Jadi sudut alas talang = 90 +
θ = 90
+ 30 = 120
Jadi ukuran talang tersebut adalah : v
Lebar kedua sisi talang = 4 inci v
Alas talang = 4 inci
3.2. Penerapan Masalah Pengali Lagrange
