Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
dimana
C =
………… 2.3 – 2
Matriks C
merupakan operator yang menghubungkan vektor regangan dengan vektor tegangan . Dan dengan meng-invers persamaan 2.3 – 1 didapatkan
hubungan tegangan – regangan seperti berikut ini:
= E ………………………………………………………… 2.3 – 3
dimana
E = C
-1
=
2.3 – 4
Matriks E adalah operator yang menghubungkan vektor tegangan dengan vektor
regangan .
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
II.4 Finite Element Method
Dalam pembahasan ini, persamaan-persamaan metode elemen hingga akan diturunkan dengan menggunakan prinsip usaha virtual. Sebuah elemen hingga tiga
dimensi yang terletak pada salib sumbu cartesius dengan koordinat x, y, dan z. •
Peralihan umum general displacement yang terjadi pada sembarang titik
dalam elemen dinyatakan dengan vektor kolom u:
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
u = ……………………………………………………...
2.4 – 1
dimana u, v, dan w berturut-turut merupakan translasi dalam arah x, y, dan z. •
Gaya tubuh body forces yang bekerja pada elemen, gaya-gaya ini akan
dimasukkan ke dalam vektor b, seperti berikut:
b = ……………………………………………………...
2.4 – 2
Notasi b
x
, b
y
, dan b
z
mewakili komponen-komponen gaya persatuan voume, luas atau panjang yang bekerja pada sembarang titik sesuai dengan arah x, y,
dan z. •
Peralihan titik nodal nodal displacement q yang diperhitungkan hanyalah
berupa translasi dalam arah x, y, dan z. Bila n
en
= jumlah titik nodal elemen, maka:
q = {q
i
} i = 1,2,...,n
en
……………………………………... 2.4 – 3
dimana:
q
i
= =
……………………………………………... a
•
Gaya titik nodal nodal actions p diambil dalam arah x, y, dan z: p = {p
i
} i = 1,2,...,n
en
……………………………………... 2.4 – 4
dimana:
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
pi = ………………………………………………………
b
Hubungan antara peralihan umum dan peralihan titik nodal dinyatakan oleh fungsi bentuk peralihan displacement shape function sebagai berikut:
u = f q…………………………………………………………. 2.4 – 5
Dalam persamaan ini notasi f adalah matriks segiempat yang menunjukkan bahwa u sepenuhnya tergantung pada q.
Hubungan regangan-peralihan diperoleh dengan menurunkan matriks
peralihan umum. Proses ini ditunjukkan dalam pembentukan matriks d yang disebut
operator diferensial linier dan dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks:
= d u………………………………………………………….
2.4 – 6
Dalam persamaan ini operator d
menyatakan hubungan antara vektor regangan dengan vektor peralihan umum vektor u. Dengan substitusi persamaan 2.4 – 5 ke
dalam 2.4 – 6 diperoleh:
= B q…………………………………………………………. 2.4 – 7
dimana:
B = d f…………………………………………………………. 2.4 – 8
Matriks B menunjukkan regangan yang terjadi pada sembarang titik dalam elemen
akibat satu satuan peralihan titik nodal. Dari persamaan 2.3 – 3 telah diperoleh hubungan tegangan – regangan
dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
= E ………………………………………………………… 2.4 – 9
dimana E adalah matriks yang menghubungkan tegangan dan regangan . Dengan
mensubstitusikan persamaan 2.4 – 7 ke dalam 2.4 – 9 diperoleh:
= E B q………………………………………………………
2.4 – 10
dimana perkalian E B menunjukkan tegangan pada sembarang titik bila terjadi satu
satuan peralihan titik nodal.
Prinsip usaha virtual: Bila ada suatu struktur dalam keadaan seimbang,
dikerjakan suatu peralihan virtual yang kecil dalam batas-batas deformasi yang masih dapat diterima, maka usaha virtual dari beban luar tadi sama denan energi
regangan virtual dari tegangan dalamnya. Bila prinsip di atas kita terapkan pada elemen hingga, akan diperoleh:
U
e
= W
e
…………………………………………………..... 2.4 – 11
dimana
U
adalah energi regangan virtual dari tegangan dalam dan
W
merupakan usaha virtual beban luar yang bekerja pada elemen. Untuk memperoleh kedua nilai tersebut, diasumsikan adanya peralihan virtual kecil yang dinyatakan
dalam vektor
q. Jadi, q = { q
i
}i = 1,2,...,n
en
...………………………………...….. c
Kemudian peralihan umum virtual akan menjadi:
u = f q………………………………………………………..
d
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Dengan menggunakan hubungan regangan peralihan dalam persamaan 2.4 – 7, kita dapatkan:
= B q………………………………………………….…….
e Energi regangan virtual dalam
U
dapat dituliskan sebagai berikut:
U
e
= ………………………………………….…..
f Usaha virtual luar dari gaya titik nodal dan gaya tubuh menjadi:
W
e
= ………………………………….
g Dengan substitusi persamaan f dan g ke dalam persamaan 2.4 – 11 akan
dihasilkan:
= ………………………...
h
Kemudian substitusi persamaan 2.4 – 9 untuk mengganti , dan dengan
menggunakan transpose dari persamaan d dan e akan diperoleh:
= ……………….
i
Selanjutnya, substitusi persamaan 2.4 – 7 untuk nilai serta bagilah ruas kiri dan kanan dengan
sehingga persamaan i akan menjadi:
= ………………………… j
Persamaan j dapat dituliskan kembali menjadi:
K q = p + p
b
………………………………………..……… 2.4 – 12
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
dimana
K = …………………………………………...
2.4 – 13
