Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
dimana
K = …………………………………………...
2.4 – 13
dan
p
b
= ……………………………………………...
2.4 – 14
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Matriks K dalam persamaan 2.4 – 13 adalah matriks kekakuan
elemen, yaitu gaya yang terjadi pada titik nodal akibat adanya satu satuan peralihan
titik nodal. Sedangkan vektor p
b
pada persamaan 2.4 – 14 menunjukkan gaya nodal
ekuivalen akibat bekerjanya gaya tubuh dalam vektor b.
Tegangan dan regangan yang diturunkan di atas hanya bergantung pada peralihan titik nodal. Bila terjadi regangan awal
, maka regangan total dapat dituliskan sebagai berikut:
= + C ………………………………………………….
2.4 – 15 dimana C adalah matriks hubungan regangan – tegangan. Dari persamaan 2.3 – 4
telah kita dapatkan:
C =
-1
………………………………………………………... 2.4 – 16
Dengan menyelesaikan vektor tegangan pada persamaan 2.4 – 15 akan diperoleh:
= E – ………………………………………………….
2.4 – 17 Bila persamaan ini digunakan untuk mengganti dalam persamaan h, maka
akhirnya rumus tersebut akan menghasilkan:
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
K q = p + p
b
+ p ……………………………………………..
2.4 – 18 dimana
p =
…………………………………………. 2.4 – 19
Kita dapat menganggap vektor p merupakan beban titik nodal ekuivalen akibat
regangan awal, sama halnya dengan yang ditimbulkan oleh perubahan temperatur.
II.5 Fungsi Bentuk Dan Peralihan Umum Dalam Bentuk Operasi Matriks
Asumsikan bahwa fungsi peralihan dinyatakan sebagai perkalian antara
matriks geometri q dengan vektor dari konstanta sembarang c sebagai berikut: u = g c…………………………………………………………
2.5 – 1 Kemudian dicari operator g untuk setiap titik nodal sehingga:
q = h c………………………………………………………… 2.5 – 2
Di mana, h = { g
i
}i = 1,2,...,n
en
…………………………………………. a
dan g
1
menunjukkan matriks g yang dihitung pada titik nodal ke i. Dengan mengasumsikan bahwa matriks h adalah matriks bujur sangkar dan nonsingular,
carilah konstanta c dalam persamaan 2.5 – 2: c = h
-1
q………………………………………………………... 2.5 – 3
Substitusikan persamaan 2.5 – 3 ke dalam 2.5 – 1 untuk memperoleh:
u = g h
-1
q.................................................................................... b f = g h
-1
………………………………………………………... 2.5 – 4
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Sebagai contoh, untuk elemen aksial 1 dimensi asumsikan bahwa peralihan u di sembarang titik pada elemen merupakan fungsi linier dari x, seperti berikut ini:
u = c
1
+ c
2
x fungsi peralihan………………………….… c
L
x q2
q1 x
1 2
1
1
f1
f2
a
b
c
Gambar 2.2 Elemen aksial
dalam bentuk matriks:
u = [1 x] ………………………………………………….
d
dari persamaan 2.5 – 1 diperoleh:
g = [1 x]......................................................................... e
q
1
q
2
u x
L
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
fungsi peralihan ini dapat dinyatakan dalam fungsi bentuk peralihan dengan mencari kedua konstantanya, yaitu c
1
dan c
2
. Pada x = 0, didapat c
1
= q
1
; untuk x = L akan diperoleh q
2
= c
1
+ c
2
L Jadi c
2
= q
2
– q
1
L. Bila konstanta ini disubstitusikan ke dalam persamaan c akan diperoleh:
u = q
1
+ x………………………………………………...
f Persamaan ini bukan lagi merupakan fungsi konstanta, melainkan fungsi dari
peralihan titik nodal. Bila persamaan f digabungkan dengan 2.4 – 5 maka akan dapat dituliskan kembali menjadi:
u = = f q……………………………….….
g
dimana fungsi bentuk yang didapat dalam bentuk matriks sebagai berikut:
f = [ f
1
f
2
] =
Kedua fungsi bentuk peralihan ini diperlihatkan dalam Gambar 2.3 b dan c. Fungsi bentuk peralihan shape function bisa juga diperoleh dengan menghitung
matriks g pada titik nodal 1 dan 2 [lihat persamaan 2.5 – 2]:
= ……………………………………..…….
h
sehingga diperoleh:
h = =
……………………………………………. i
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
invers dari matriks h adalah:
h
-1
= …………………………………………….……
j
kemudian dari persamaan 2.5 – 4 diperoleh:
f = g h
-1
=
,
yang sama dengan persamaan g. Hubungan regangan peralihan untuk elemen aksial hanya terdiri dari satu turunan
saja sesuai persamaan b dalam sub-bab 2.3:
=
x
= d u = =
= B q
maka: B =
=
[-1 1]
Dengan cara yang sama, didapat hubungan tegangan – regangan [persamaan 2.4 – 9 dan 2.4 – 10] sebagai berikut:
=
x
= E = E
x
= EB q
Jadi: E = E dan E B =
[-1 1]
………………………… k
Dengan mengasumsikan luas penampang A besarnya konstan, maka kekakuan elemen dapat dihitung dari persamaan 2.4. – 13 seperti berikut ini:
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
K = =
[-1 1]
K =
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
II.6 Grid Element
