Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Gambar 2.4 Sistem Koordinat Lokal Elemen
Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili
II.6.1 Efek Lentur
Efek lentur akan terjadi terhadap sumbu y elemen, dan efek puntir terjadi terhadap sumbu x elemen. Peralihan nodal dan gaya batang dianggap positif bila
bekerja pada arah koordinat positif. Kita gunakan aturan tangan kanan unuk arah efek lentur dan torsi. Gambar 2.5 menunjukkan arah positif untuk gaya dan peralihan
elemen.
x1
,
y1
,
x2
, d an
y2
adalah rotasi, sedangkan w
1
dan w
2
adalah translasi pada arah z.
Gambar 2.5 Gaya dan Peralihan Elemen Positif
Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili
z
f
z1
,w
1
y M
x1
,
x1
x M
y2
,
y2
M
y1
,
y1
M
x2
,
x2
f
z2
,w
2
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Gambar 2.7 melukiskan elemen lentur flexural element lurus yang melendut pada bidang utama x-z. Dalam gambar ditentukan adanya sebuah peralihan umum w,
yaitu translasi dalam arah z. Jadi: u = w
Gaya tubuh yang ditinjau merupakan komponen tunggal b
z
gaya per satuan panjang yang bekerja dalam arah z.
Maka: b = b
z
Pada titik nodal 1 [lihat gambar 2.5 a]:
q
1
: translasi dalam arah z dan rotasi kecil dalam arah y mata panah tunggal
q
2 :
rotasi kecil dalam arah y mata panah ganda Hal yang sama juga berlaku untuk titik nodal 2 peralihan yang diberi nomor 3
dan 4 berturut-turut merupakan translasi dan rotasi yang kecil. Maka, vektor peralihan titik nodal akan menjadi:
q = {q
1
, q
2
, q
3
, q
4
} = {w
1
,
y1
, w
2
,
y2
}………………………….... a
dimana:
y1
=
y2
=
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Turunan putaran sudut ini dapat dianggap sebagai suatu rotasi yang kecil walaupun sebenarnya mempengaruhi perubahan translasi pada titik nodal tersebut.
Aksi titik nodal yang terjadi pada titik nodal 1 dan 2 adalah: p = {p
1
, p
2
, p
3
, p
4
} = {p
y1
, M
x1
, p
y2
, M
x2
} p
y1
dan p
y2
: gaya dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2 M
z1
dan M
z2
: momen dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2
Karena ada 4 peralihan titik nodal, fungsi peralihan lengkap untuk elemen lentur ini dapat diasumsikan sebagai berikut:
w = c
1
+ c
2
x + c
3
x
2
+ c
4
x
3
………………………………….……. a
Sumber: Bahan kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009 L
x q2
q1 v
q3 q4
y
z x
1 2
Gambar 2.6 Elemen Lentur dan Fungsi Bentuk
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
matriks translasi g menjadi: g = [ 1 x x
2
x
3
]………………………………………… b
Peralihan kedua rotasi pada setiap titik nodal memiliki hubungan diferensial
dengan peralihan yang pertama translasi. Matriks rotasi turunan pertama g
terhadap xadalah: 1
1 1
1 a
b
e c
d z
y x
w
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
= [0 1 2x 3x
2
]…………………………………………… c
Bentuk matriks h dari kedua nodal 1 x = 0 dan nodal 2 x = L:
h = =
………………………………. d
invers dari matriks h adalah:
h
-1
= …………………………..…
e
Dari mengalikan kembali h
-1
dengan g akan diperoleh matriks fungsi bentuk peralihan dalam matriks f sebagai berikut:
f = g h
-1
=
[
f
1
f
2
f
3
f
4
]
f =
[
1 x x
2
x
3
]
f =
[
2x
3
– 3x
2
L + L
3
x
3
L – 2x
2
L
2
+ xL
3
- 2x
3
+ 3x
2
L
x
3
L – x
2
L
2
]
……………………………………………….. f
dimana fungsi bentuk yang didapat adalah:
f
1
= translasi pada titik 1 terhadap sumbu-z elemen: w
z1
f
2
= rotasi pada titik 1 terhadap sumbu-
y elemen:
y1
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
f
3
= translasi pada titik 2 terhadap sumbu-z elemen: w
z2
f
4
= rotasi pada titik 2 terhadap sumbu-
y elemen:
y2
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Keempat fungsi bentuk ini dilukiskan dalam Gambar 2.5 b, c, d, dan e yaitu perubahan w sepanjang elemen akibat dari satu satuan peralihan titik nodal dari
keempat arah peralihan q
1
, q
2
, q
3
, dan q
4
. Hubungan regangan-peralihan dapat diturunkan untuk elemen lentur dengan
mengasumsikan bahwa penampang yang rata akan tetap rata selama deformasi seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.7. Translasi u dalam arah x pada setiap
titik dalam penampang adalah:
u = - y ………………………………………………………..
g
dengan menggunakan hubungan ini, kita dapat memperoleh persamaan regangan lentur:
x
= = - y
= - y
ø
…………………………………...……. h
dengan
ø
adalah kelengkungan.
ø
= …………………………………………………….……
i
Dari persamaan h dapat kita lihat bahwa operator diferensial linier d yang
menghubungkan
x
dengan w adalah:
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
d = - y …………………………………………………….....
j
Gambar 2.7 Deformasi Lentur Kemudian persamaan 2.4 – 8 akan memberikan matriks regangan-peralihan B
seperti di bawah ini:
B = d f =
[
12x - 6L 6xL - 4L
2
-12x + 6L 6xL - 2L
2
]
.. k
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Hubungan antara te gangan lentur
x
dan regangan lentur
x
dinyatakan dengan:
x
= E
x
………………………………………………………….. l
Maka:
E = E dan E B = E B………………………………………….... m
z, w
y, v x, u
dw dx
d
A
x
y
dx
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Kekakuan elemen dapat diperoleh dari persamaan 2.4 – 13 dan akan memberikan
hasil seperti berikut ini:
K =
K =
[
12x - 6L 6xL - 4L
2
-12x + 6L 6xL - 2L
2
]dA dx
Melalui perkalian dan integrasi dengan EI konstan akan dihasilkan:
K =
.....
dx
dimana: I
x
= dA menyatakan besarnya momen inersia penampang terhadap
garis netral.
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
K
=
........
K
=
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
II.6.2 Efek Torsi
