Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
=
…………………………………………………………………………….…. m
II.6.5 Syarat keseimbangan
Pada persamaan k banyaknya persamaan sesuai dengan banyaknya yang tidak diketahui. Untuk contoh Gambar 2.11, maka perpindahan displacement
adalah:
x1
=
y1
= w
z1
=
x3
=
y3
= w
z3
=
x4
=
y4
= w
z4
=
x6
=
y6
= w
z6
= 0 …... m
{ } =
; { } =
; { } =
; { } =
{ } = ; { } =
{ } = ; { } =
; { } = ; { } =
dimana vektor gaya-gaya dalam yang timbul pada simpul 1, 3, 4, 6 akibat pembebanan pada struktur simpul 2 belum diketahui. Dari persamaan m terdapat
18 bilangan anu tidak diketahui diantaranya 6 displacement perpindahan dan 12 gayamomen, lihat pada Gambar 2.13.
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Gambar 2.13 Reaksi Tumpuan dan Displacement pada Grid
Untuk Gambar 2.11, matriks keseluruhan 18 x 18 dapat dijadikan matriks 6 x 6. Dengan kondisi batas yang telah diketahui, maka baris ke 1 sd 3, 7 sd 9, 10 sd 12,
dan 16 sd 18 dapat dicoreng. Dengan THEORI – CHOLESKY,
{ } = { } ……………………………………………….…
n
Sehingga persamaan dapat diselesaikan.
Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan
-1 2
5
x2 y2
w
z2 x5
y5
w
z5
3
1 4
6 X
Y
Z
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
II.6.6 Beban Nodal Ekuivalen
Analisa struktur dengan metode elemen hingga mengharuskan struktur hanya memikul beban yang bekerja di titik kumpul. Akan tetapi, beban sebenarnya pada
struktur secara umum tidak memenuhi syarat tersebut. Sebaliknya, beban bisa bekerja si titk kumpul atau pada batang. Agar syarat di atas terpenuhi, beban pada
batang harus diganti denagn beban ekivalen di titik kumpul. Beban titik kumpul yang
ditentukan dari beban pada batng disebut beban titik kumpul ekivalen. Bila beban ini
dijumlahkan dengan beban titk kumpul sebenarnya, maka beban total yang dihasilkan disebut beban titik kumpul gabungan. Selanjutnya dtruktur dapat
dianalisa. Agar memudahkan analisa, beban titik kumpul gabungan harus demikian
besar hingga perpindahan struktur yang ditimbulkannya sama dengan perpindahan akibat beban sebenarnya. Hal ini tercapai bila beban ekivalen dihitung berdasarkan
gaya jepit ujung memperlihatkan balok ABC yang bertumpu di titik A dan B serta, memikul sejumlah beban. Beberapa di antara beban ini adalah beban titik kumpul
sebenarnya sedang beban lainnya bekerja pada. Untuk mengganti beban batang dengan beban titik kumpul ekivalen, titik kumpul struktur dikekang terhadap semua
perpindahan. Untuk balok terjepit. Bila balok terjepit ini memikul beban batang, maka akan timbul gaya jepit ujung. Disini gaya ujung ditunjukkan sebagai aksi
pengekang pada struktur terkekang. Jika aksi pengekang ini dibalikkan arahnya, aksi ini menjadi himpunan gaya dan kopel yang ekivalen dengan beban batang.
Penjumlahan beban titik kumpul ekivalen ini dengan beban titik kumpul ekivalen ini dengan beban titik kumpul semula menghasilkan beban titik gabungan.
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Umumnya beban titik kumpul gabungan untuk sembarang struktur dapat ditentukan dengan prosedur gambar. Langkah pertama ialah memisahkan beban titik
kumpul sebenarnya dari beban batang. Perpindahan titik kumpul struktur kemudian dikekang dengan memberikan pengekang titik kumpul yang sesuai. Selanjutnya, aksi
pengekang akibat beban batang pada struktur terkekang dihitung.
Beban-beban yang bekerja di antara nodal elemen merata, temperatur yang bekerja pada elemen harus ditransformasikan menjadi beban nodal sehingga sesuai
dengan tipe peralihan nodal yang didefinisikan. Dalam metode Beban Nodal Ekuivalen BNE, kita tetapkan kerja luar atau
kerja eksternal yang dihasilkan oleh beban nodal ekuivalen sama besarnya dengan kerja yang dihasilkan oleh beban yang bekerja di antara nodal elemen.
Beban titik nodal ekuivalen yang disebabkan oleh beban merata b
z
per satuan panjang seperti tampak pada Gambar 2.16 a dapat dihitung dari persamaan 2.4 –
14 dengan f mengacu pada persamaan f pada sub-bab 2.6.1 seperti berikut ini:
p
b
= dx =
dx = =
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
L
x 1
2
L
x 1
2
Gambar 2.16 Elemen Lentur Dengan Pembebanan Merata
Dengan cara yang sama, dapat diturunkan beban titik nodal ekuivalen untuk pembebanan segitiga Gambar 2.16 b seperti yang ditunjukkan oleh persamaan di
bawah ini:
p
b
= dx =
dx = =
Untuk pembebanan b
z
yang pada umumnya searah dengan gravitasi Karena
sistem koordinat pembebanan yang digunakan pada grid bekerja pada bidang x-z lokal, maka beban nodal ekuivalen menjadi berlawanan tanda dari persamaan di
atas. z
y b
z
b
z
z
y b
z
xL
q
1
q
2
q
3
q
4
q
1
q
2
q
3
q
4
a
b x
x
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Selanjutnya untuk beban titik nodal ekuivalen yang disebabkan oleh berbagai kondisi pembebanan disusun menurut tabel 2.3.
Tabel 2.3 Beban Nodal Ekuivalen BNE untuk Grid
z x
L -b
z
L a
= =
=
= -b
z
=
= =
L -b
z
=
-b
z
L =
=
= =
=
= =
=
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
-b
z
a a
b L
= =
= =
z x
L2 -P
L a
= =
=
= -P
= =
=
M =
= =
= =
L2
b
L2 L2
M =
=
= =
a b
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Keterangan: b
z
dan P adalah bilangan positif
Sumber: Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili
Tabel 2.3 Gaya Internal Ekuivalen GIE untuk Grid
-P
L3
=
= =
=
L3 L3
-P
z x
L -b
z
L a
= =
=
= -b
z
=
= =
L -b
z
=
= =
= =
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
-b
z
-b
z
L
a a
b L
=
= =
=
= =
= =
z x
L2 -P
L a
= =
=
= -P
= =
=
M =
= =
= =
L2
b
L2 L2
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
Keterangan: b
z
dan P adalah bilangan positif
Sumber: Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili
Dengan notasi matriks, gaya-gaya dalam pada grid element dapat ditulis sebagai persamaan keseimbangan elemen pada sistem koordinat lokal sebagai
berikut:
K
e
=
= [ ]
= [ ]
-P
L3
=
= =
= M
= =
= =
a b
L3 L3
-P
Toni M. Sitompul : Pemakaian Elemen Grid Balok Silang Untuk Menentukan Lendutan Pada Balok Studi Literatur, 2009.
USU Repository © 2009
=
II.7 Rasio Tegangan
