2.6 Keterbatasan Statistik Nonparametrik
Disamping keunggulan, statistik nonparametrik juga memiliki keterbatasan. Beberapa keterbatasan statistik nonparametrik antara lain:
1. Jika asumsi uji statistik parametrik terpenuhi, penggunaan uji nonparametrik
meskipun lebih cepat dan sederhana akan menyebabkan pemborosan informasi.
2. Jika jumlah sampel besar, tingkat efisiensi statistik nonparametrik relatif lebih
rendah dibandingkan dengan metode parametrik. 3.
Statistik nonparametrik tidak dapat digunakan untuk membuat prediksi peramalan.
2.7 Korelasi 2.7.1 Pengertian Korelasi
Korelasi adalah statistik yang menyatakan derajat hubungan antara dua variabel atau lebih tanpa memperlihatkan ada atau tidaknya hubungan kausal di antara variabel –
variabel tersebut.
Dalam korelasi akan dijumpai bahwa dua variabel bernilai positif, negatif danatau nol. Dua variabel dikatakan berkorelasi positif jika kenaikan pada satu
variabel diikuti oleh kenaikan variabel lainnya danatau penurunan pada satu variabel diikuti oleh penurunan variabel lainnya. Dengan kata lain dua variabel berkorelasi
positif jika variabel – variabelnya cenderung berubah secara bersama. Dua variabel dikatakan berkorelasi negatif jika kenaikan pada satu variabel diikuti oleh penurunan
pada variabel lainnya atau sebaliknya. Dengan kata lain variabel – variabelnya
Universitas Sumatera Utara
cenderung berubah dalam arah yang berlawan. Dua variabel dikatakan berkorelasi nol jika perubahan satu variabel tidak ada hubungannya dengan variabel lainnya. Dengan
kata lain dua variabel dikatakan tidak berkorelasi.
2.7.2 Koefisien Korelasi
Besarnya tingkat keeratan hubungan antara dua variabel dapat diketahui dengan mencari besarnya angka korelasi yang disebut koefisien korelasi. Koefisien korelasi
dinyatakan dengan lambang . Jika yang diukur adalah korelasi antara variabel x dengan variabel y dinotasikan dengan
.
Nilai dari koefisien korelasi berada diantara -1 dan +1. Jika dua variabel berkorelasi positif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati +1, jika dua variabel
berkorelasi negative maka nilai koefisien korelasi akan mendekati -1, jika dua variabel tidak berkorelasi maka nilai koefisien korelasi akan bernilai 0. Sehingga besarnya nilai
koefisien korelasi dapat ditulis dalam pertidaksamaan .
2.7.3 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi merupakan pangkat dua dari koefisien korelasi, dinotasikan dengan
. Koefisien determinasi yaitu koefisien yang menunjukkanmenentukan berapa besar peranan variabel x dalam menentukan besarnya y.
Apabila suatu variabel x mempunyai korelasi dengan variabel y dengan besarnya tingkat keeratan hubungan maka ditulis
. Dengan demikian koefisien
Universitas Sumatera Utara
determinasinya adalah yang menyatakan besarnya persentase x
menjelaskan y.
2.7.4 Koefisien Rank Korelasi
Untuk data ; i = 1, 2, 3, …, n yang berskala ordinal maka koefisien korelasi
antara x dan y dihitung berdasarkan statistika nonparametrik yang disebut dengan koefisien rank korelasi. Koefisien rank korelasi pada statistika nonparametrik antara
lain koefisien rank korelasi Spearman, Kendall, Somer, Crammer dan sebagainya.
2.7.5 Koefisien Korelasi Rank Kendall
Koefisien korelasi rank kendall mempunyai kegunaan untuk mengukur derajat hubungan dari dua peubah yang pengukurannya minimal dalam skala ordinal. Metode
ini dikemukakan untuk pertama kalinya oleh Maurice G. Kendall pada tahun 1938. Koefisien korelasi rank kendall dinotasikan dengan .
2.7.6 Metode Perhitungan Koefisien Korelasi Rank Kendall
Koefisien korelasi rank kendall dapat diperoleh dengan cara membandingkan score actual dengan score maximum yang mungkin dicapai. Atau dengan kata lain score
actual adalah score +1 dan -1 yang sebenarnya. +1 diberikan untuk pasangan yang tersusun secara natural dan -1 diberikan untuk pasangan yang tidak tersusun secara
natural. Sedangkan score maksimum yang mungkin dicapai ditentukan oleh susunan
Universitas Sumatera Utara
yang dapat diuraikan menjadi . Sehingga koefisien korelasi rank
Kendall dapat dirumuskan :
Selanjutnya score actual diberi symbol S, dan score maksimum ditentukan oleh susunan
, dimana n adalah jumlah objek atau individu pada variabel random X dan Y. Secara matematis dapat ditulis:
Atau
Dimana : S = score actual jumlah score +1 dan -1 n = jumlah objek atau individu pada variabel random X dan Y
Ada kalanya pada variabel random X dan Y mempunyai objek yang sama atau sering disebut dengan rank kembar. Jika ada dua atau lebih nilai pengamatan baik
untuk variabel random X atau Y yang sama, maka nilai – nilai tersebut diberi rank rata – rata. Pengaruh dari nilai rank kembar tersebut adalah merubah besarnyanilai
penyebut pada rumus koefisien korelasi rank kendall . Dalam hal ini rumus koefisien korelasi rank kendall menjadi:
Universitas Sumatera Utara
Dimana : S = score actual jumlah score +1 dan -1 n = jumlah objek atau individu pada variabel random X dan Y
= ; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok
kembarnya untuk variabel X =
; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarannya untuk variabel Y
2.8 Graph Theory
2.8.1 Konsep Dasar Graph Defenisi 2.1 Graph
Suatu graph G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik – titik tidak kosong yang disebut dengan verteks yang disimbolkan dengan VG dan
himpunan garis – garis yang disebut dengan edge yang disimbolkan dengan EG.
Defenisi 2.2 Loop, Edge Paralel dan Simpel Graph
Sebuah edge yang menghubungkan pasangan verteks yang sama yakni disebut
loop. Dua edge yang berbeda yang menghubungkan verteks yang sama disebut edge paralel. Dan jika ada suatu graph yang tidak memuat loop dan edge paralel disebut
simple graph graph sederhana.
V
1
e
6
V
4
e
1
e
2
e
3
e
4
V
2
e
5
V
3
Gambar 2.1 Simple Graph
Universitas Sumatera Utara
Defenisi 2.3 incident dan adjacent
Suatu edge dalam suatu graph G dengan verteks – verteks ujung dan disebut
saling insiden dengan dan sedangkan
dan disebut dua buah verteks yang
saling adjacent. Dua buah edge dan
disebut saling adjacent jika kedua edge tersebut incident pada suatu verteks persekutuan. Sebagai contoh dapat dilihat pada
gambar 2.2. e
7
V
1
e
5
V
6
e
8
e
1
e
4
e
2
e
6
V
5
e
9
e
11
V
2
e
3
V
3
e
10
V
4
Gambar 2.2 Graph G6,11 Dari graph diatas dapat dilihat bahwa
dan adalah lima buah edge
yang incident dengan verteks . Sedangkan
dan merupakan dua buah edge
yang adjacent dan dengan
adalah dua buah verteks yang adjacent.
Defenisi 2.3 Degree
Degree dari sebuah verteks dalam graph G adalah jumlah edge yang incident dengan
, dengan loop dihitung dua kali. Degree dari sebuah verteks dinotasikan dengan
. Bila jumlah edge yang incident dengan jumlah verteks adalah n maka degree dari adalah n dan dinotasikan dengan
. Sebagai contoh, pada gambar 2.2dapat dilihat bahwa
= = 3,
= 5 , =
= 2, dan = 6
Jika pada suatu graph ada suatu verteks yang tidak incident dengan suatu edge atau dengan kata lain degree dari verteks tersebut sama dengan nol. Verteks itu
dinamakan isolated verteks verteks terasing.
Universitas Sumatera Utara
Defenisi 2.4 Graph Lengkap Complete Graph
Graph lengkap complete graph dengan n verteks disimbolkan dengan adalah
graph sederhana dengan n verteks, dimana setiap 2 verteks bebeda dihubungkan dengan suatu edge.
Teorema 2.4.1
Banyaknya edge dalam suatu graph lengkap dengan n verteks adalah atau
buah.
Bukti
Misalkan G adalah suatu graph lengkap dengan n verteks . Ambil
sembarang verteks sebutlah . Karena G merupakan graph lengkap, maka
dihubungkan dengan verteks lainnya
. Jadi ada buah
edge. Selanjutnya, ambil sembarang verteks kedua sebutlah
. Karena G adalah graph lengkap, maka
juga dihubungkan dengan semua verteks sisanya sehingga ada
buah edge yang berhubungan dengan . Salah satu edge
tersebut dihubungkan dengan
. Garis ini sudah diperhitungkan pada waktu menghitung banyaknya edge yang berhubungan dengan
. Jadi ada edge
yang belum diperhitungkan. Proses dilanjutkan dengan menghitung banyaknya edge yang berhubungan dengan
dan yang belum diperhitungkan sebelumnya. Banyak edge yang didapat berturut – turut adalah :
, , …, 3, 2, 1.
Jadi secara keseluruhan terdapat buah edge.
Universitas Sumatera Utara
Sebagai contoh dapat dilihat gambar 2.3 dibawah ini:
K
2
K
3
K
4
K
5
Gambar 2.3 complete graph
2.8.2 Graph Tak Berarah undirected Graph
Suatu graph tak berarah undirected graph merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang menghubungkan dua verteks yang disebut
edge. Secara matematis, sebuah graph G didefenisikan sebagai pasangan himpunan .
Dimana: = himpunan tak kosong dari verteks – verteks simpul atau titik =
= himpunan tak terurut dari edge sisi yang menghubungkan sepasang verteks.
Atau dapat dinotasikan dengan Defenisi diatas menyatakan bahwa
dimana V tidak boleh kosong, sedangkan E mungkin kosong sehingga sebuah graph dimungkinkan tidak mempunyai
edge satu buahpun tetapi harus memiliki verteks minimal satu.
Universitas Sumatera Utara
2.8.3 Representasi Graph Tidak Berarah Undirected graph dalam Matriks
Matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graph. Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graph dengan bantuan komputer maka graph tersebut dapat
disajikan dalam bentuk matriks. Matriks – matriks yang dapat menyajikan model graph tersebut antara lain:
1. Matriks Ruas
Matriks ruas adalah matriks yang berukuran atau
yang menyatakan ruas edge dari graph. Matriks ini tidak dapat mendeteksi adanya
verteks terpencil. 2.
Matriks adjacency Matriks adjacency merupakan matriks simetri. Matriks adjacency digunakan
untuk menyatakan graph dengan cara menyatakannya dalam jumlah edge yang menghubungkan verteks – verteksnya. Jumlah baris dan kolom matriks
adjacency sama dengan jumlah verteks dalam graph. Sehingga matriks hubungnya berbentuk matriks bujur sangkar.
Defenisi matriks adjacency: Misalkan G adalah graph tak berarah dengan verteks
n berhingga. Matriks hubung yang sesuai dengan graph G adalah matriks
dengan = jumlah edge yang menghubungkan verteks dengan
verteks ;
. Karena jumlah edge yang menghungkan verteks dengan verteks
selalu sama dengan jumlah edge yang menghubungkan dengan verteks
maka jelas bahwa matriks adjacency selalu merupakan matriks yang simetris
Notasi dari matiks adjacency yaitu:
1 jika ada edge dari verteks ke verteks
= jika tidak ada edge dari verteks ke verteks
Universitas Sumatera Utara
3. Matriks Incidence
Matriks incidence adalah matriks yang menghubungkan verteks dengan edge. Notasi dari matriks incidence yaitu:
1 jika verteks terhubung ke edge = 2 jika edge menghubungkan verteks ke verteks
dalam hal lain
4. Matriks Connection
Matriks connection dapat mendeteksi suatu graph terhubung atau tidak. Graph terhubung jika dan hanya jika matriks tidak mengandung elemen nol. Tetapi
matriks connection tidak ada mendeteksi adanya edge sejajar dan loop. Notasi dari matriks connection yaitu:
1 bila
atau ada edge dari verteks ke verteks =
Dalam hal lain
Sebagai contoh untuk graph seperti dibawah ini:
e
5
V
1
e
4
V
4
e
8
V
5
e
1
e
2
e
6
e
7
V
2
e
3
V
3
Gambar 2.4 graph G5,8
Universitas Sumatera Utara
Maka, Matriks ruas:
Atau
Matriks adjacency:
Universitas Sumatera Utara
Matriks Incidence:
Matriks connection:
2.8.4 Graph Berarah Directed Graph
Suatu graph berarah digraph D adalah merupakan suatu pasangan dari himpunan {VD, AD} dimana VD =
adalah himpunan berhingga yang tidak kosong yang elemennya disebut nodevertex dan AD =
adalah suatu himpunan pasangan berurut dengan elemen – elemen yang disebut dengan arc.
Universitas Sumatera Utara
Suatu vertex didalam digraph D disajikan dengan sebuah titik dan sebuah arc yang digambarkan berupa suatu penggalan garis dengan suatu anak panah dari vertex
ke vertex . Sebagai contoh, gambar dibawah ini menampilkan suatu digraph yang terdiri dari empat verteks dan enam arcs.
V
1
a
1
a
3
a
2
V
2
a
4
a
5
V
3
a
6
V
4
Gambar 2.5 digraph dengan 4 verteks dan 6 arcs
2.8.4.1 Representasi Graph Berarah Digraph dalam Matriks
Cara menyatakan graph berarah dalam matris sebenarnya tidaklah jauh berbeda dengan cara menyatakan graph tak berarah dalam suatu matriks. Perbedaannya hanya
terletak pada keikutsertaan informasi tentang arah garis yang terdapat dalam graph berarah. Sebuah graph berarah dapat juga dipersentasekan dalam matriks adjacency,
matriks incidence dan matriks sirkuit. Adapun reorentase matriks dalam graph berarah yang dibahas dalam tulisan ini adalah matriks adjacency.
Defenisi dari Matriks Adjacency tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan G adalah graph berarah yang terdiri dari n verteks tanpa arc paralel. Matriks
hubung yang sesuai dengan graph G adalah matriks bujursangkar dengan notasi
1 jika ada arc dari verteks ke verteks
= jika tidak ada arc dari verteks ke verteks
Universitas Sumatera Utara
2.8.4.2 Complete Digraph
Digraph disebut sebagai complete digraph graf berarah lengkap jika setiap pasang vertex dihubungkan oleh sebuah arc. Atau sebuah graph adalah komplit jika setiap
vertex terhubung ke setiap vertex yang lain. Pada gambar di bawah ini dapat dilihat suatu complete digraph.
V
1
a
1
a
2
a
3
a
4
V
2
a
5
V
3
a
6
a
7
a
8
a
9
V
5
a
10
V
4
Gambar 2.6 complete digraph
2.8.4.3 Asymmetric Digraph
Suatu digraph dikatakan sebagai asymmetric digraph jika pada digraph yang terbentuk memiliki paling banyak satu arc antara sepasang vertex tanpa loop. Dengan kata lain
tidak ada arc yang memiliki arc balik. Pada gambar dibawah ini dapat dilihat suatu asymmetric digraph.
V
1
a
1
a
2
V
2
V
3
a
3
a
4
V
4
Gambar 2.7 Asymmetric Digraph
Universitas Sumatera Utara
2.8.4.4 Complete Asymmetric Digraph
Complete asymmetric digraph adalah suatu asymmetric digraph dimana terdapat tepat satu antara setiap pasang vertex. Complete asymmetric digraph dengan vertices
mengandung arcs.
Bukti
Misalkan D adalah suatu complete asymmetric digraph dengan n verteks . Ambil sembarang verteks sebutlah
. Karena D merupakan complete asymmetric digraph, maka
dihubungkan dengan verteks lainnya
. Jadi ada buah arc.
Selanjutnya, ambil sembarang verteks kedua sebutlah . Karena D adalah complete
asymmetric digraph, maka juga dihubungkan dengan semua verteks sisanya
sehingga ada buah arc yang berhubungan dengan
. Proses dilanjutkan dengan menghitung banyaknya arc yang berhubungan dengan
dan yang belum diperhitungkan sebelumnya. Banyak arc yang didapat berturut – turut adalah :
, , …, 3, 2, 1.
Jadi secara keseluruhan terdapat buah arc
Pada gambar dibawah ini dapat dilihat suatu contoh dari complete asymmetric digraph.
V
1
a
1
V
2
a
2
a
3
a
4
a
5
V
3
a
6
V
4
Gambar 2.8 Complete Asymmetric Digraph
Universitas Sumatera Utara
Complete asymmetric digraph dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks adjacency. Jumlah baris dan kolom adjacency matrix sama dengan jumlah vertex
dalam complete asymmetric digraph. Adjacency matrix yang sesuai adalah matrix bujur sangkar
, yaitu matriks A = dengan:
+1 jika ada arc dari titik ke dan
tersusun secara natural = -1
jika ada arc dari titik ke dan tidak tersusun secara natural
jika tidak ada arc titik ke
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Bentuk Graph Sebagai Suatu Adjacency Matriks dalam Penentuan Koefisien Korelasi Rank Kendall
Graph yang digunakan dalam penentuan koefisien korelasi rank kendall adalah graph yang berarah digraph, karena setiap objek pengamatan pada data yang
diberikan merupakan data berpasangan berurutan. Vertexnya adalah objek-objek dalam penelitian. Dalam metode korelasi rank Kendall, objek-objek pengamatan
dihubungkan kesetiap objek-objek berikutnya yaitu dari objek pertama ke objek kedua, kemudian dari objek pertama ke objek ke tiga, dan seterusnya sampai objek ke-
n. Setelah itu dilanjutkan dari objek kedua ke objek ketiga, objek kedua ke objek keempat, dan seterusnya sampai objek ke-n. Hal ini terus dilakukan sampai objek ke-
n-1 ke objek ke-n. Atau dengan kata lain, jika objek-objek pada penelitian adalah vertex dalam graph maka dari pengertian di atas dapat dituliskan:
v
i
,v
j
dengan i j ; i,j = 1,2,3,…,n. v
i
merupakan titik awal dan v
j
merupakan titik akhir, sehingga suatu arc dengan titik ujung v
i
,v
j
menyatakan garis dari titik i dan titik j. Karena v
i
,v
j
dihubungkan hanya sekali dengan i j ; i,j = 1,2,3,…,n sehingga tidak ada garis paralel dan tidak ada arc
dengan titik ujung v
i
,v
i
maka graph yang terbetuk adalah suatu asymetric digraph. Dan karena setiap pasang objek pada penelitian harus dihubungkan atau dengan kata
lain terdapat tepat satu arc antara setiap pasang vertex v
i
,v
j
dengan i j ; i,j = 1,2,3,…,n maka bentuk graph yang digunakan dalam perhitungan adalah suatu
complete asymmetric digraph. Complete asymmetric digraph yang terbentuk kemudian dituangkan ke dalam
adjacency matrix. Jumlah baris dan kolom adjacency matrix sama dengan jumlah
Universitas Sumatera Utara
vertex dalam complete asymmetric digraph. Adjacency matrix yang sesuai adalah matrix bujur sangkar
, yaitu matriks A = dengan:
+1 jika ada arc dari verteks ke dan tersusun secara natural
= -1 jika ada arc dari verteks ke dan tidak tersusun secara natural
1 jika tidak ada arc dari verteks ke
Sehingga terbentuk adjacency matrix-nya menjadi:
A=
Setelah adjacency matrix terbentuk dengan ketentuan seperti diatas, selanjutnya ditentukan score actual dengan cara menjumlahkan nilai +1 dan -1 yang
diperoleh dari adjacency matrix. Kemudian menentukan score maximum yang mungkin dicapai. Score maximum yang mungkin sama dengan banyaknya arcs dari
complete asymmetric digraph, sehingga score maximum dapat ditentukan dengan dimana n adalah jumlah vertex dari complete asymmetric digraph.
Dengan demikian koefisien korelasi rank kendall dengan pendekatan
melalui graph teory dapat ditentukan dengan rumus :
Universitas Sumatera Utara
Atau
Untuk koefisien korelasi rank kendall dengan rank kembar maka rumus yang digunakan adalah :
Dengan: S = score actual ; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya
untuk peubah x ; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya
untuk peubah y Selanjutnya kita dapat menyusun hipotesis nihil dan hipotesis alternative yang
nantinya dapat diuji dengan uji hipotesis menggunakan rumusan:
Dimana : Z = test statistik untuk kendall rank korelasi = koefisien korelasi rank kendall
= standar deviasi, dapat diperoleh dengan rumusan:
Universitas Sumatera Utara
3.2 Penggunaan Model
Kategori