81
BAB V METODE ELEMEN HINGGA
5.1 Constant Strain Triangle Element CST Element dan Element Segi Empat
CST-element adalah elemen yang paling sederhana, dimana matrix material adalah sbb:
[ ]
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
= 2
2 1
1 1
1
2
v v
v E
H
matrik ini diperoleh dari hubungan tegangan dan regangan dari Hukum Hooke dua dimensional. Sedangkan displacement adalah sbb :
{ } { }
a y
x N
a a
a a
a a
y x
y x
y x
v y
x u
v ,
1 1
, ,
6 5
4 3
2 1
=
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎪ ⎪
⎬ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎧
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
=
Universitas Sumatera Utara
82 v
3 u y3
y2 1
y1 x1 x2 x3
Pada elemen CST derajat kebebasan atau DOF untuk satu elemen adalah 6 dapat dilihat pada gambar diatas, sedangkan jumlah simpul adalah tiga dengan
penomoran berlawanan arah jarum jam. Pada persamaan displacement dapat dilihat bahwa hal itu adalah modifikasi dari metode Ritz.
{ } [ ]{ }
a A
a a
a a
a a
y x
y x
y x
y x
y x
y x
v u
v u
v u
de =
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎪ ⎪
⎬ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
⎪⎪ ⎪
⎪ ⎭
⎪⎪ ⎪
⎪ ⎬
⎫
⎪⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎪
⎪ ⎨
⎧
=
6 5
4 3
2 1
3 3
3 3
2 2
2 1
1 1
1 1
3 3
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
{ }
[ ]
{ }
de A
a .
1 −
=
Gambar 5.1. CST Elemen dengan 6 DOF 2
Universitas Sumatera Utara
83
[ ]
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
− −
− −
=
−
21 13
32 12
31 23
1 2
2 1
3 1
1 3
3 3
2 2
21 13
32 12
31 23
1 2
2 1
3 1
1 3
2 3
3 2
1
2 1
x x
x y
y y
x y
y x
y x
y x
y x
y x
x x
x y
y y
y x
y x
y x
y x
y x
y x
A A
1 2
1 3
1 3
1 2
2 y
y x
x y
y x
x A
y y
y x
x x
j i
ij j
i ij
− −
− −
− =
− =
− =
{ }
[ ][ ]
{ }
[ ]
{ }
de G
d A
N v
e
− =
−1
dimana,
[ ] [ ][ ]
1 −
= A
N G
{ }
[ ]
{ } { }
[ ][ ]
{ } { }
{ } { }
{ }
[ ][ ][ ]
{ } { }
[ ]
{ } { }
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ]
∫
= ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ =
− =
− =
− ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ =
− =
− =
−
A G
T G
G G
dA t
D H
D K
maka y
x y
x y
x x
x x
y y
y A
D demikian
Dengan e
de D
e de
A N
D e
e a
e a
N D
e v
D e
. .
. :
2 1
1 1
1 1
12 21
31 13
23 32
21 13
32 12
31 23
1
{ }
[ ] [ ]
{ } { }
e d
D H
S
e G
− =
Universitas Sumatera Utara
84 ⎪⎪
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎪ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎪
⎪ ⎨
⎧
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
− −
− −
− =
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪
⎩ ⎪
⎨ ⎧
3 3
2 2
1 1
12 21
31 13
23 32
21 12
13 31
32 23
21 12
13 31
32 23
2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
. .
. .
. .
1 2
v u
v u
v u
y v
x v
y v
x v
y v
x v
x y
v x
y v
x y
v x
v y
x v
y x
v y
v A
E
xy y
x
τ σ
σ
Universitas Sumatera Utara
85
Tabel 5.1 Matrik Kekakuan CST column index row index
j 1 2 3 4 5 6 i
2 32
2 23
2 1
x v
y −
+
23 32
2 1
y x
v +
32 13
23 31
2 1
x x
v y
y +
+
31 32
23 13
2 1
y x
v y
vx −
+
32 21
23 12
2 1
x x
v y
y −
+
12 32
23 21
2 1
y x
v y
vx −
+ 1
23 32
2 1
y x
v +
2 23
2 32
2 1
y v
x −
+
23 13
31 32
2 1
y x
v y
vx −
+
31 23
32 13
2 1
y y
v x
x −
+
23 21
12 32
2 1
y x
v y
vx −
+
23 12
32 21
2 1
y y
v x
x −
+ 2
32 13
23 31
2 1
x x
v y
y +
+
23 13
31 32
2 1
y x
v y
vx −
+
2 13
2 31
2 1
x v
y −
+
31 13
2 1
y x
v +
21 13
31 12
2 1
x x
v y
y −
+
12 13
31 21
2 1
y x
v y
vx −
+ 3
31 32
23 13
2 1
y x
v y
vx −
+
31 23
32 13
2 1
y y
v x
x −
+
31 13
2 1
y x
v +
2 31
2 13
2 1
y v
x −
+
31 21
12 13
2 1
y x
v y
vx −
+
31 12
21 13
2 1
y y
v x
x −
+ 4
32 21
23 12
2 1
x x
v y
y −
+
23 21
12 32
2 1
y x
v y
vx −
+
21 13
31 12
2 1
x x
v y
y −
+
31 21
12 13
2 1
y x
v y
vx −
+
2 21
2 12
2 1
x v
y −
+
12 21
2 1
y x
v +
5
12 32
23 21
2 1
y x
v y
vx −
+
23 12
32 21
2 1
y y
v x
x −
+
12 13
31 21
2 1
y x
v y
vx −
+
31 12
21 13
2 1
y y
v x
x −
+
12 21
2 1
y x
v +
2 12
2 21
2 1
y v
x −
+ 6
j i
ij j
i ij
y y
y x
x x
v A
Et C
− =
− =
− =
, ,
1 4
2
Universitas Sumatera Utara
86
Tabel 5.2 Matrik Kekakuan Segi Empat column index row index
j 1 2 3 4 5 6 i β
v 21
4 β
− +
v 1
2 3
+ β
v 1
4 β
- −
+ 3v
- 1
2 3
− β
v 1
- 2
β -
− v
1 2
3 +
− β
v 21
- 2
β −
3v -
1 2
3 1
v 1
2 3
+ v
β 21
β 4
− +
3v -
1 2
3 v
β 21
β 2
− −
v 1
2 3
+ −
v β
1 β
2 −
− −
3v -
1 2
3 −
v β
1 β
4 −
+ −
2 β
v 1
4 β
- −
+ 3v
- 1
2 3
β v
21 4
β −
+ v
1 2
3 +
− β
v 21
- 2
β −
3v -
1 2
3 −
β v
1 -
2 β
- −
v 1
2 3
+ 3
3v -
1 2
3 −
v β
21 β
2 −
− v
1 2
3 +
− v
β 21
β 4
− +
3v -
1 2
3 v
β 1
β 4
− +
− v
1 2
3 +
v β
1 β
2 −
− −
4 β
v 1
- 2
β -
− v
1 2
3 +
− β
v 21
- 2
β −
3v -
1 2
3 −
β v
21 4
β −
+ v
1 2
3 +
β v
1 4
β -
− +
3v -
1 2
3 −
5 v
1 2
3 +
− v
β 1
β 2
− −
− 3v
- 1
2 3
− v
β 1
β 4
− +
− v
1 2
3 +
v β
21 β
4 −
+ 3v
- 1
2 3
v β
21 β
2 −
− 6
β v
21 -
2 β
− 3v
- 1
2 3
− β
v 1
- 2
β -
− v
1 2
3 +
β v
1 4
β -
− +
3v -
1 2
3 β
v 21
4 β
− +
v 1
2 3
+ −
7 3v
- 1
2 3
v β
1 β
4 −
+ −
v 1
2 3
+ v
β 1
β 2
− −
− 3v
- 1
2 3
− v
β 21
β 2
− −
v 1
2 3
+ −
v β
21 β
4 −
+ 8
a b
v Et
C =
− =
β ,
1 12
2
Universitas Sumatera Utara
87
5.2 Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik a. Koordinat Natural Dari Elemen
Kategori