75
4.4. Lentur dan Torsi pada Penampang Persegi
Suatu batang dengan penampang persegi yan tipis seperti pada gambar 4.5, yang mempunyai kontur lurus dan tanpa cabang. Karena simetri terhadap kedua
sumbunya, titik P, O berimpit pada titik berat batang tersebut. Maka fungsi ordinat dan nilainya adalah sebagai berikut :
tan kons
t R
S Q
Y S
X
= =
= =
Θ =
=
....................................................................................................... 4.30
Gambar 4.5. Penampang segi empat Fungsi warping kontur adalah :
∫
= =
Ω
S
dS R
…………………………………………………….…………. 4.23
Dan fungsi ketebalan warping adalah :
Universitas Sumatera Utara
76 nS
nQ −
= −
= Ω
………………………………………………….……..…….. 4.24 Untuk penampang persegi yang tipis, total warping
Ω menjadi sama dengan ketebalan warping, sehingga :
nS −
= Ω
…………………….……………………………………………….. 4.25 Fungsi warping seperti diperlihatkan gambar 4.4 untuk deformasi torsi :
Φ −
= Ω
w …………………….……………………………………………….... 4.6
X Φ
− w
Y 4
c
t
4
c
t −
4
c
t −
4
c
t
Gambar 4.6. Fungsi warping Ω dan displasmen w
Gambar 4.4 itu juga memperlihatkan harga negatif dari batang terwarp per satuan puntiran.
Universitas Sumatera Utara
77 Komponen warping dari gaya shell adalah :
= =
w w
zs z
N N
…………………….…………………………………………… 4.27
ΩΩ Ω
− =
I M
S t
M
w
z
12
3
…………………….……………………………………….. 4.28
ΩΩ Ω
− =
I M
S t
Q
w
z
3
12 …………………….………………………………………... 4.29
Dimana:
144 12
3 3
2 2
2 3
C t
dS S
t I
C C
= =
∫
− ΩΩ
…………………….………………………………....4.30
Dalam hal ini, hanya ketebalan shell yang ada selama warping.
Ω
M
C M
Ω
2 3
Ω
T
C M
2 3
Ω
3 2C
Gambar 4.7. Kesamaan momen warping dan torsi Seperti diperlihatkan gambar 4.7.a,
w z
M secara statika sebanding dengan dua momen lentur, dimana :
Ω
− =
=
∫
M C
dS M
M
C w
z
2 3
2
…………………….…………………………….. 4.31
Universitas Sumatera Utara
78 Yang bekerja pada arah berlawanan pada masing-masing setengah potongan.
Kesamaan antara momen warping dan dua momen lentur yang berlawanan adalah umum dan mencapai terminologi bimomen, yaitu dua momen. Seperti diperlihatkan
oleh gambar 4.7.b
w z
Q ekuivalen dengan dua gaya geser dan berlawanan.
2
2 3
M M
C dS
Q V
C w
z
= −
= =
Ω
∫
…………………….………………………… 4.32
Yang bekerja pada arah berlawanan pada masing-masing setengah potongan. Gaya geser ini merupakan kopel yang secara statika sama dengan minus torsi
Ω
M yang bekerja di sekitar sumbu z dan sama dengan torsi warping internal
Ω
− M . Ini menunjukkan bahwa
Ω
T
meningkat dari gaya geser yang berhubungan dengan dua komponen momen dari
Ω
M
. Ini adalah cara yang benar untuk menggambarkan hubungan antara
Ω
T
dan
Ω
M
. Komponen gaya shell St. Venant adalah :
= =
s z
s z
Q N
J T
t M
s s
zs
6
3
− =
…………………….………………………………………….. 4.33
J T
t P
s s
6
3
− =
…………………….……………………………………………. 4.34
Dimana konstanta tori St. Venant adalah :
3 3
1
3 2
2 3
C t
dS t
J
C C
= =
∫
−
…………………….……………………………………….4.35
Universitas Sumatera Utara
79 Hasil seperti yang diperlihatkan gambar 4.8 di bawah ini, dua gaya ujung
s
P sama besar satu sama lainnya sehingga tidak ada gaya kelebihan searah sumbu Y.
s
P dan
w zs
M memberikan kontribusi yang sama terhadap torsi T
s
. jika
s
P diinterpretasikan sebagai
σ
zy
, hasil ini adalah bentuk teorema umum tentang elastisitas yang menyatakan bahwa masing-masing dari
σ
zx
dan σ
zy
mempunyai kontribusi yang sama terhadap torsi St. Venant.
C T
s
2
C T
s
2
3
3 Ct
T
s
Gambar 4.6 a. Distribusi
s zs
M dan
s zs
σ
Universitas Sumatera Utara
80
C T
s
C T
s
L T
C T
s s
= C
T
s
Gambar 4.6 b. Torsi plat akibat gaya pada sudut
Universitas Sumatera Utara
81
BAB V METODE ELEMEN HINGGA
Kategori