Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik a. Koordinat Natural Dari Elemen Strain Elemen – Matrik Displacement

87

5.2 Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik a. Koordinat Natural Dari Elemen

Elemen quadrilateral dengan empat buah node dilukiskan dalam gambar berikut ini. y x 1 4 3 2 t s Gambar 5.2. Elemen Quadrilateral Penomoran node ditentukan dalam arah lawan perputaran jarum jam CCW. Dua sumbu Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus. Dalam gambar diatas, akan ditentukan Koordinat Natural dari keempat node dari elemen tersebut. Untuk itu perhatikan Gambar 5.3. berikut ini. 4 1 2 3 -1,1 -1,-1 1,-1 1,1 t s Gambar 5.3. Koordinat Natural Untuk Elemen Quadrilateral Universitas Sumatera Utara 88 Dalam system koordinat natural, keempat node dari elemen dinyatakan dalam s,t seperti Nampak pada Gambar 5.3. diingatkan kembali bahwa kedua sumbu koordinat ini tidak harus tegak lurus. Fungsi interpolasi atau fungsi displacement dalam arah x dan y adalah us,t = N 1 u 1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 + N 4 u 4 vs,t = N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 + N 4 v 4 ………………………. 5.1 Untuk Koordinat Global : xs,t = N 1 x 1 + N 2 x 2 + N 3 x 3 + N 4 x 4 ys,t = N 1 y 1 + N 2 y 2 + N 3 y 3 + N 4 y 4 ………………………. 5.2 Besarnya Shape Function untuk setiap node diperoleh dari interpolasi Lagrange adalah …….. 5.3 Catatan : N 1 + N 2 + N 3 + N 4 = 1 Jumlah Shape Function dari suatu titik = 1

b. Strain Elemen – Matrik Displacement

Gunakan kembali persamaan 5.1 dan 5.2 untuk menghitung Strain dari Elemen Quadrilateral. s y y u s x x u s u δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ + = 4 1 . 1 1 t s N − − = 4 1 . 1 2 t s N − + = 4 1 . 1 3 t s N + + = 4 1 . 1 4 t s N + − = Universitas Sumatera Utara 89 t y y u t x x u t u δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ + = …………………………………………. 5.4 Kedua persamaan yang terdapat pada persamaan 5.4 dalam bentuk matrik ditulis ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ y u x u t y t x s y s x t u s u δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ ……………………………………… 5.4a Maka : ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ t u s u s x t x s y t y J y u x u δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 1 ………………………………. 5.4b Dimana : │J│ = Determinan Jacobian = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ s y t x t y s x δ δ δ δ δ δ δ δ Diferensialkan persamaan 5.2 terhadap s: 4 4 3 3 2 2 1 1 x s N x s N x s N x s N s x δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ + + + = ∑ = = 4 1 i i i x s N s x δ δ δ δ ……………………………….…. 5.5 Demikian pula untuk s y δ δ , t x δ δ dan t y δ δ ∑ = = 4 1 i i i y s N s y δ δ δ δ ……………………………….…. 5.5a Universitas Sumatera Utara 90 ∑ = = 4 1 i i i x t N t x δ δ δ δ ……………………………….… 5.5b ∑ = = 4 1 i i i y t N t y δ δ δ δ ……………………………….… 5.5c Turunan dari masing-masing Shape Function terhadap s dan t menghasilkan persamaan-persamaan berikut ini: 1 4 1 , 1 4 1 1 1 t s N t s N − − = − − = δ δ δ δ 1 4 1 , 1 4 1 2 2 s t N t s N − − = − = δ δ δ δ 1 4 1 , 1 4 1 3 3 s t N t s N + = + = δ δ δ δ 1 4 1 , 1 4 1 4 4 s t N t s N − = + − = δ δ δ δ …………………………… 5.6 Determinan Jacobian │J│dihitung sebagai berikut: │J│ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ s y t x t y s x δ δ δ δ δ δ δ δ = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = − 4 1 4 1 4 1 4 1 i i i i i i i i i i i i y s N x t N y t N x s N δ δ δ δ δ δ δ δ = } { 4 4 j i i i j i i i x t N s N s N t N y ∑∑ − δ δ δ δ δ δ δ δ ………………………… 5.7 Dalam bentuk matrik, persamaan 5.7 ditulis sebagai Universitas Sumatera Utara 91 [ ][ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x a y y y y J …………………………….. 5.7a Dimana [a] adalah matrik yang elemen-elemennya memenuhi persamaan t N s N s N t N a j i j i ij δ δ δ δ δ δ δ δ − = ………………………….. 5.7b Dalam bentuk yang lebih terperinci, elemen matrik [a] masing-masing adalah 1 1 1 1 11 = − = t N s N s N t N a δ δ δ δ δ δ δ δ 2 1 2 1 12 t N s N s N t N a δ δ δ δ δ δ δ δ − = } 1 4 1 }{ 1 4 1 { } 1 4 1 }{ 1 4 1 { s t t s + − − − − − − − = 1 8 1 t − − = 8 1 3 1 3 1 13 s t t N s N s N t N a − − = − = δ δ δ δ δ δ δ δ 1 8 1 4 1 4 1 14 − − = − = s t N s N s N t N a δ δ δ δ δ δ δ δ Demikian seterusnya untuk semua elemen matrik [a]. disimpulkan matrik [a] adalah ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + + − − + − + − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 ] [ t t s s t s t s s t s t s s t t a …………………….….. 5.8 Universitas Sumatera Utara 92 Lihat kembali persamaan 5.4b. dari persamaan tersebut, tinjau pada bagian: ] [ 1 t u s y s u t y J x u δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ − = ……………………..………….….. 5.9 Dari persamaan 5.1 dapat ditentukan ∑ = = 4 1 i i i u s N s u δ δ δ δ , ∑ = = 4 1 i i i u t N t u δ δ δ δ , sedangkan t y δ δ dan s y δ δ diperoleh dari persamaan 5.5a dan persamaan 5.5c. Substitusikan: s u δ δ , t u δ δ , t y δ δ , s y δ δ ke persamaan 5.9 diperoleh: } { 1 4 1 4 1 j i j i i j i i u t N s N s N t N y J x u ∑∑ = = − = δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Dalam bentuk matrik ditulis: [ ][ ] x u u u u a y y y y J x u =∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = 4 3 2 1 4 3 2 1 1 δ δ ………………..…………...….. 5.10 1x4 4x4 Bagian kedua dari persamaan 5.4b adalah y u δ δ ] [ 1 t u s x t u t x J δ δ δ δ δ δ δ δ − − = } { 1 4 1 4 1 j i j i j j i i u t N s N s N t N x J ∑∑ = = − − = δ δ δ δ δ δ δ δ Dalam bentuk matrik, persamaan terakhir ini ditulis sebagai Universitas Sumatera Utara 93 [ ][ ] x u u u u a x x x x J y u =∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ − = 4 3 2 1 4 3 2 1 1 δ δ ………………..…………...….. 5.11 Untuk displacement kearah vertical = v , persamaan 5.4b diubah menjadi Ganti semua u dengan v ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ t v s v s x t x s y t y J y v x v δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 1 ……………..…………...….. 5.12 Dari persamaan tersebut, ditulis: x v δ δ ] [ 1 t v s y s v t y J δ δ δ δ δ δ δ δ − = [ ][ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = 4 3 2 1 4 3 2 1 1 v v v v a y y y y J ……………..…………..……...….. 5.13 Dari persamaan 5.4b juga diperoleh: y v δ δ ] [ 1 t v s x s v t x J δ δ δ δ δ δ δ δ − − = [ ][ ] y v v v v a x x x x J =∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ − = 4 3 2 1 4 3 2 1 1 ………..…………..……...….. 5.14 Diingatkan kembali tentang defenisi dari Strain Є: Universitas Sumatera Utara 94 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ∈ ∈ ∈= xy y x γ dimana x v y u xy δ δ δ δ γ + = Ambil y u δ δ dari persamaan 5.11 dan ambil x v δ δ dari persamaan 5.13 kemudian jumlahkan, maka didapatkan: xy γ x v y u δ δ δ δ + = [ ][ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ − = 4 3 2 1 4 3 2 1 1 u u u u a x x x x J + [ ][ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ 4 3 2 1 4 3 2 1 1 v v v v a y y y y J Sehingga: [ ] [ ] } { q B v u v u v u B xy y x = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ∈ ∈ ∈= 4 4 2 2 1 1 ... ... γ ………..…………..……...….. 5.15 8x1 3x8 Dari persamaan 5.10 berikut ini akan dihitung berapakah harga dari B ij . ∑ = − = 4 1 1 2 , 1 1 i ij i j a y J B , j = 1, 2, 3, 4 ………..…………..……....... 5.16a , 1 = j B untuk j = 2, 4, 6, 8 ………..…………..….. 5.16b Universitas Sumatera Utara 95 Dengan kata lain ; B 1,genap = 0. ∑ = − = 4 1 2 , 2 1 i ij i j a x J B , j = 1, 2, 3, 4 ….……..…………..……....... 5.16c , 2 = j B untuk j = 1, 3, 5, 7 ………..…………..….. 5.16d Dengan kata lain ; B 2,gasal = 0. Dari persamaan 5.11 dan 5.13 diperoleh: B 3,j = B 2,j+1 untuk j = 1, 3, 5, 7 ………..…………..….. 5.16e = B 1,j-1 untuk j = 2, 4, 6, 8 ………..…………..….. 5.16f Agar penulisan lebih sederhana, diadakan peringkasan sebagai berikut: x m,n = x m – x n dan y m,n = y m – y n maka elemen-elemen matrik [B] dinyatakan sebagai berikut: y t y s y J 8 1 B B 32 43 24 32 11 + − = = y t y s y J 8 1 B B 14 34 31 34 13 + + = = y t y y J 8 1 B B 23 21 42 36 15 + + = = y t y s y J 8 1 B B 23 21 13 38 17 + + = = t x x s x J 8 1 B B 23 34 42 31 22 + + = = Universitas Sumatera Utara 96 t x x s x J 8 1 B B 41 43 13 33 24 + + = = t x x s x J 8 1 B B 14 21 24 35 26 + + = = t x x s x J 8 1 B B 32 12 31 37 28 + + = = ..…………....….. 5.16g dimana, [ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + + − − + − + − − − − = 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 y y y y t t s s t s t s s t s t s s t t x x x x J ... 5.16h Universitas Sumatera Utara 97

BAB VI APLIKASI