70 dimana :
, s
nq s
n −
= ω
Dimana ω adalah fungsi waping dan
ω adalah ketebalan warping.
4.3 Torsi Pada Batang Penampang Dinding Tipis Tertutup
Core wall yang ditunjukkan dalam gambar 2.3 diperlakukan untuk distribusi gaya torsi yang seragam Ti dan sumbu aslinya diambil pada puncak core wall. Hal ini
juga diidealisasikan dalam potongan segi empat empat boom sebagaimana disebutkan pada bab 3.
Keseimbangan longitudinal elemen boom δ z dalam gambar 4.7 adalah,
δ δ
δ
Z b
Z a
F Z
Z F
F
q q
P P
d dP
− +
− +
= 0
= −
+
b a
Z F
q q
d dP
……………….…………………………………………… 4.21
Dimana, regangan langsung dwdz =
A P
f f
E
atau
A P
f
=
1
E
dwdz
Dan aliran geser
a
q =
a b
a a
a a
b
t at
bt a
T t
at bt
WGt +
+ +
− 4
b
q =
b b
a b
b a
a
t at
bt b
T t
at bt
WGt +
+ +
4
Menggantikan Pf, qa dan qb dalam persamaan 4.19 memberikan, ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− +
= +
− b
t a
t at
bt T
W at
bt t
Gt dZ
W d
E A
b a
b a
b a
a b
F
8
2 2
Universitas Sumatera Utara
71 W
dZ W
d
2 2
2
μ −
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
−
b a
b a
F
at bt
at bt
E abA
T
…………………………………………. 4.22
dimana,
b a
F a
b
at bt
E A
t Gt
+ =
8
2
μ
Gaya torsi pada potongan manapun dapat diperoleh dengan mengintegrasikan panjang z.
∫
= =
Z
TiZ TidZ
T
Jadi persamaan 4.20 dapat ditulis ulang
Z at
bt at
bt E
abA Ti
W dZ
W d
b a
b a
F
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
− =
−
2 2
2
μ …………………………....................... 4.23
misalkan:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
=
b a
b a
F
at bt
at bt
E abA
Ti
ϕ
Maka persamaan differensial menjadi:
x x
e A
e A
y m
m m
x y
dx y
d
μ μ
μ μ
μ ϕ
μ
− +
+ =
= −
+ =
− −
= −
2 1
2 2
2 2
2
Penyelesaian partikuler dari persamaan differensialnya adalah: c
bx ax
y +
+ =
2
Universitas Sumatera Utara
72
2 2
2 2
2 2
2 ;
2 ;
2 2
2
μ μ
ϕ μ
a c
c a
x x
c bx
ax a
a dx
y d
b ax
dx dy
= =
− =
− =
+ +
− =
+ =
x a
ax x
ax b
b x
2 2
2 2
2 2
; ;
; ;
μ ϕ
ϕ μ
ϕ μ
μ =
= −
= −
= =
=
Maka penyelesaian persamaan differensial secara keseluruhan menjadi:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ +
+ +
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ + +
+ =
+ +
+ =
+ +
+ =
+ +
+ +
=
− +
− +
− +
− +
− +
z z
e A
e A
y x
x e
A e
A y
x x
e A
e A
y a
x x
e A
e A
y c
bx ax
e A
e A
y
x x
x x
x x
x x
x x
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
2 2
1
2 2
2 2
μ μ
ϕ μ
μ ϕ
μ ϕ
μ μ
ϕ μ
μ ϕ
μ μ
μ μ
μ μ
μ μ
μ μ
Dimana harga z
2
2 μ
sangat kecil untuk bangunan tinggi dapat dianggap nilainya nol.
z e
A e
A w
z z
2 2
1
μ ϕ
μ μ
+ +
=
− +
Solusi umum persamaan 4.21 memberikan,
Z t
a t
b abG
Ti e
A e
A W
a b
z z
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ −
+ +
=
− +
8
2 1
μ μ
……………………………………… 4.24
Universitas Sumatera Utara
73 Untuk pendekatan engineering, memberikan penyelesaian umum persamaan
differensial,
Z t
a t
b abG
Ti Z
C Z
B W
a b
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ −
+ +
= 8
sinh cosh
μ μ
……………………………….. 4.25
Konstanta-konstanta tak dikenal B dan C dapat ditemukan dari kondisi batas Pertama, jika Z = 0 pada ujung bebas, regangan langsung dwdz = 0.
Kedua, jika Z = H pada ujung berikutnya, warping W = 0 juga. Oleh karena itu persamaan 4.23 memberikan,
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ − −
=
μ μ
μ μ
μ μ
μ
Z Z
H H
H Z
t a
t b
abG Ti
W
a b
sinh cosh
cosh sinh
8
…………... 4.26
Distribusi warping sepanjang tepi-tepi lainnya mengikuti rumus anti simetri. Distribusi tegangan langsung sepanjang FJ diberikan oleh
σ z = E dwdz Sedemikian sehingga dari persamaan 4.24,
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ − −
= Z
Z H
H H
t a
t b
abG ETi
a b
Z
μ μ
μ μ
μ σ
cosh sinh
cosh sinh
1 8
……………. 4.27
Distribusi tegangan geser τ a pada permukaan yang lebar adalah,
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
− −
= μ
μ μ
μ μ
μ μ
τ Z
Z H
H H
at bt
at bt
Z abt
Ti
b a
b a
a a
sinh cosh
cosh sinh
2 ………. 4.28
Dan distribusi tegangan geser τ b pada permukaan sempit adalah,
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
+ =
μ μ
μ μ
μ μ
μ τ
Z Z
H H
H at
bt at
bt Z
abt Ti
b a
b a
b b
sinh cosh
cosh sinh
2 ……........ 4.29
Universitas Sumatera Utara
74 Gambar 4.3. Distribusi Beban Torsi
Gambar 4.4. Torsi pada Elemen kecil
Universitas Sumatera Utara
75
4.4. Lentur dan Torsi pada Penampang Persegi
Kategori