terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum. Pada dasarnya inilah yang dicapai oleh algoritma Karmarkar.
A. Bentuk Kanonik Karmarkar
Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar digunakan bentuk umum masalah program linear berikut:
Meminimumkan 3.1
Dengan kendala 3.2
3.3 , i = 1, 2, … , n
3.4
di mana
A adalah matriks m × n,
dan 0
adalah vektor kolom nol yang berukuran m.
Untuk memperkenalkan bentuk kanonik Karmarkar dimulai dengan memisalkan
adalah vektor dalam dengan masing-masing
komponen adalah 1. Misalkan merupakan ruang nol null spaces dari A, maka
.
Definisi 3.1
Simpleks dalam adalah
, dan adalah vektor dalam
dengan masing-masing komponen adalah 1. Pusat dari simpleks
adalah maka
.
Berdasarkan Definisi 2.24 dan Definisi 3.1 bentuk kanonik Karmarkar dapat ditulis kembali menjadi
Meminimumkan 3.5
dengan kendala 3.6
Himpunan kendala himpunan layak dapat didefinikan sebagai
3.7
B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar
Algoritma Karmarkar dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah- masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar, dengan asumsi berikut:
a. Pusat
dari simpleks adalah suatu titik layak sehingga
. Asumsi ini tidak bersifat membatasi, artinya sembarang masalah program
linear yang memiliki suatu penyelesaian optimum dapat diubah kedalam bentuk Karmarkar sehingga memenuhi asumsi ini.
b. Nilai minimum dari fungsi sasaran terhadap himpunan layak adalah nol.
Asumsi ini untuk menentukan nilai yang memenuhi nilai
minimum dari fungsi sasaran, untuk menyelesaikan masalah-masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar.
c. Matriks
yang berukuran , mempunyai rank . Asumsi ini merupakan asumsi teknis yang diperlukan dalam implementasi
algoritma
C. Transformasi Proyeksi
Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa sembarang masalah program linear perlu diubah ke dalam suatu masalah yang ekuivalen dalam bentuk
kanonik Karmarkar. Ekuivalen diartikan bahwa penyelesaian dari masalah dalam bentuk yang baru dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian dari masalah
dalam bentuk standar atau sebaliknya. Telah diketahui bahwa sembarang masalah program linear dapat ditransformasikan ke masalah yang ekuivalen dalam bentuk
standar. Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa sembarang masalah program linear dalam bentuk standar dapat ditransformasikan ke suatu masalah ekuivalen
dalam bentuk kanonik Karmarkar. Dalam kenyataanya, transformasi yang
diberikan berikut akan selalu menjamin bahwa asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar dipenuhi.
Definisi 3.2
Misalkan
dimana
,dengan
. Misalkan
merupakan transformasi proyeksi yang memetakan positive orthant dari , yakni
ke simpleks , yang didefinisikan sebagai
dengan
3.8
Teorema 3.1
Untuk , maka T merupakan transformasi proyeksi yang memiliki sifat-sifat
berikut: 1.
T merupakan pemetaan satu-satu yaitu ,
untuk .
2.
T memetakan
pada , yaitu untuk
setiap , ada
sedemikian sehingga
.
3.
Transformasi invers dari T ada pada dan diberikan
sebagai dengan
.
4.
T
memetakan a
ke pusat
simpleks ,
yakni .
5.
Misalkan x memenuhi , dan . Misalkan
. Maka .
Bukti:
1.
T merupakan pemetaan satu-satu,yakni
Jika mengigat persamaan 3.8 dapat didefinisikan
3.9
Misalkan dengan
yakni
dengan Untuk
maka dapat disimpulkan 3.10
Untuk maka
3.11 Dari persamaan 3.10 dan persamaan 3.11 dapat disimpulkan bahwa
atau
sehingga dapat ditulis
atau
Jadi terbukti bahwa T adalah pemetaan satu-satu
2. Akan dibuktikan
Ambil sembarang , maka
dan dan akan ditunjukkan
Misalkan kolom ke i dari adalah
dikalikan kolom ke i dari ,
maka diperoleh
Akan dibuktikan
dimana
,yakni
3.12
Karena mengambil sembarang ,berarti
dengan dengan demikian
Jadi, dari persamaan 3.12 diperoleh
Karena
dipilih sembarang, maka .
Jadi terbukti
3. Berdasarkan sifat 1 dan sifat 2, karena
memenuhi sifat satu- satu dan pada maka
memiliki fungsi invers yang dapat ditulis dan diberikan sebagai
dengan .
Akan dibuktikan bahwa cukup ditunjukkan bahwa
Karena diketahui maka
Bila diambil maka diperoleh
Jadi terbukti memiliki fungsi invers dengan
4. Jika mengigat persamaan 3.8 dan diketahui
, dan diberikan
, maka diperoleh
Karena maka diperoleh
, yakni T memetakan a ke pusat dari
simpleks.
5. Ambil sembarang
, maka , dan
sehingga
Karena maka diperoleh
3.13
Karena x memenuhi maka persamaan 3.13 dapat di ubah
menjadi
Karena
maka diperoleh
Teorema 3.2 Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada Teorema 3.1 dan
diberikan matriks . Maka ada suatu matriks
sedemikian sehingga
jika dan hanya jika .
Bukti: T merupakan transformasi proyektif, dan
Akan dibuktikan
Ambil sembarang , maka
, dan akan
dibuktikan Misalkan kolom ke
dari adalah
dikalikan kolom ke dari , dan
kolom ke dari
adalah – , maka diperoleh
–
Akan dibuktikan dan karena
, maka diperoleh
3.14
Karena
maka persamaan 3.14 dapat di ubah menjadi
Ambil sembarang
, maka , dan akan
dibuktikan Misalkan kolom ke
dari adalah
dikalikan kolom ke dari , dan
kolom ke dari
adalah – , maka diperoleh
–
karena , dan
maka diperoleh
Teorema 3.3 Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada definisi 3.2 dan
diberikan vektor . Maka ada suatu vektor
sedemikian sehingga
jika dan hanya jika .
Bukti: T merupakan transformasi proyektif, dan
Akan dibuktikan Ambil sembarang
, maka , dan akan dibuktikan
Misalkan kolom ke dari
adalah dikalikan kolom ke
dari untuk
, dan kolom ke dari adalah
, maka diperoleh
karena , maka
3.15
Karena
, yakni
maka persamaan 3.15 dapat di ubah menjadi
Ambil sembarang , maka
, dan akan dibuktikan
Misalkan kolom ke dari
adalah dikalikan kolom ke
dari , dan kolom ke
dari adalah
, maka diperoleh
Karena , dan
maka
D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Standar ke Bentuk Kanonik
Karmarkar
Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan
Dengan kendala ,
3.16
Perhatikan bahwa sembarang masalah program linear dapat diubah ke bentuk seperti di atas. Masalah dual dari bentuk standar 3.16 di atas adalah
Maksimumkan Dengan kendala
, 3.17
Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menjelaskan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik
Karmarkar.
Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual
Bila masalah primal dalam persamaan 3.16 dan malasah dual dalam persamaan 3.17 dikombinasikan akan diperoleh sistem berikut ini:
3.18
Lemma 3.1 Misalkkan x dan
masing-masing adalah penyelesaian layak untuk masalah program linear primal dan dual, maka
.
Bukti :
Karena x dan
adalah penyelesaian layak, maka , , dan . Bila kedua sisi dari pertidaksamaan
dikalikan dengan maka dihasilkan
. Karena , maka atau
