3. Jika terdapat baris-baris yang entrinya semuannya nol, maka baris-baris ini
berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol.
Definisi 2.11 Matriks Elementer
Suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks
elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer. 1.
Matriks elementer jenis 1 adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan dua baris dari I.
2. Matriks elementer jenis 2 adalah matriks yang diperoleh dengan
mengalikan satu baris dari I dengan konstanta bukan nol. 3.
Matriks elementer jenis 3 adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain.
Definisi 2.12 Ekivalen Baris Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan A jika terdapat matriks elementer
sehingga
B. Ruang Vektor
Definisi 2.13 Ruang Vektor
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong yang terdiri dari objek-objek di mana didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar
dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut
dipenuhi: 1.
2. 3.
Terdapat elemen sehingga 4.
sehingga 5.
untuk setiap skalar
6.
untuk setiap skalar
7.
untuk setiap skalar
8. 9.
Jika dan suatu skalar, 10.
Jika maka
Contoh 2.1
Misalkan dan
adalah vektor-vektor di . Penjumlahan
pada didefinisikan sebagai berikut:
2.7
dan operasi perkalian dengan skalar
di R didefinisikan sebagai berikut:
2.8
Tunjukkan bahwa merupakan ruang vektor.
Bukti:
Misalkan ,
, dan ,
1. Akan ditunjukkan
2. Akan ditunjukkan
3. Akan ditunjukkan terdapat elemen sehingga
4. Akan ditunjukkan sehingga
Invers dari adalah
sehingga
5. Akan ditunjukkan
6. Akan ditunjukkan
7. Akan ditunjukkan
8. Akan ditunjukkan
9. Akan ditunjukkan
Seperti pada persamaan 2.8 10.
Akan ditunjukkan
Seperti pada persamaan 2.7
Definisi 2.14 Ruang bagian subspace
Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat berikut:
a.
jika untuk sembarang skalar .
b. jika dan .
Maka S disebut ruang bagian dari V.
Contoh 2.2
Tunjukan apakah merupakan ruang
bagian dari atau tidak.
Bukti:
1. Akan dibuktikan jika untuk sembarang skalar .
dan karena
maka
karena maka
jadi .
2. Akan dibuktikan jika dan .
dan karena
dan maka dan
. Sehingga
karena dan
maka
ruang bagian dari
Definisi 2.15 Kombinasi linear
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V.
Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk 2.9
dimana adalah skalar-skalar disebut sebagai kombinasi linear
dari
Definisi 2.16 Merentang span
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V dan
jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor
merentang V.
Definisi 2.17 Bebas linear linearly independent
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
2.10 mengakibatkan semua skalar-skalar
sama dengan 0.
Definisi 2.18 Bergantung linear linearly dependent
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bergantung linear
jika terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga
2.11
Definisi 2.19 Basis
Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan
hanya jika: a.
bebas linear. b.
merentang V.
Definisi 2.20 Dimensi dari ruang vektor V adalah banyaknya vektor-vektor yang
membentuk basis untuk ruang vektor V. Selain itu, mendefinisikan ruang
vektor nol sebagai berdimensi nol.
Definisi 2.21
Misalkan matriks . Vektor-vektor dalam
, yaitu ,
, , yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan
vektor-vektor baris dari A dan vektor-vektor dalam , yaitu
,
, , yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A
dinamakan vektor-vektor kolom dari A.
Definisi 2.22
Jika A adalah matriks , maka ruang bagian dari
yang direntang
oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari
yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari
A. Ruang kolom dari A dapat di notasikan
Contoh 2.3:
Misalkan
Ruang baris dari A adalah himpunan ketiga tupel yang berbentuk
Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
Jadi ruang baris dari A adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan
ruang kolom dari A adalah .
Teorema 2.3
Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama.
Bukti:
Jika B ekivalen baris dengan A, maka B dapat dibentuk dari A dengan sebarisan operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi vektor-vektor baris
dari B harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A. Sebagai akibatnya, ruang baris dari B harus merupakan ruang bagian dari
ruang baris A. Karena A ekivalen baris dengan B, maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari A adalah ruang bagian dari ruang baris B.
Definisi 2.23 Ruang Nol Null Spaces
Misal adalah matriks . Misalkan menyatakan himpunan semua
penyelesaian dari sistem persamaan homogen
. Jadi
2.12
disebut sebagai ruang nol
Definisi 2.24 Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris dari A. Nulitas dari
matriks A adalah dimensi ruang nol dari A.
Untuk menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan mereduksikan matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris.
Teorema 2.4
Jika suatu matriks berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor
baris dengan 1 utama yaitu vektor-vektor baris taknol membentuk suatu basis untuk ruang baris dari
.
Bukti:
Misalkan matriks berada dalam bentuk eselon
baris, yakni
Akan dibuktikan vektor-vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari
. Ruang baris dari A dapat dibentuk sebagai berikut
Jadi ruang baris dari adalah himpunan matriks-matriks
.
Akan ditunjukkan bahwa baris 1 sampai baris m dari matriks membentuk
basis untuk ruang baris dari . Misalkan vektor-vektor baris dapat dinyakan
sebagai
.
Akan ditunjukkan membentuk basis.
1. Akan ditunjukkan
bebas linear Vektor
disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar
sama dengan nol. Perhatikan persamaan
, yakni
Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis
Dengan operasi baris elementer terhadap baris 2, yakni maka
akan diperoleh
Operasi baris elementer dilakukan sampai pada baris ke-m, yakni dengan operasi baris elementer
maka akan diperoleh
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
maka ,
. Karena , maka
bebas linear. 2.
Akan dibuktikan merentang ruang baris dari A.
dikatakan merentang jika masing-masing vektor pada ruang baris di ruang bagian dari
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari . Ambil sembarang vektor
pada ruang baris di ruang
bagian dari . Akan ditunjukkan untuk setiap
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
. Perhatikan persamaan
, yakni
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
Karena maka
merentang ruang baris dari A.
Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut
membentuk basis untuk ruang baris dari A.
Contoh 2.4
Misalkan
Dengan mereduksikan A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks
Akan dibuktikan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari U. Ruang baris dari U yakni
dapat dibentuk
Jadi ruang baris dari U adalah .
Akan ditunjukkan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U. Misalkan
, akan
ditunjukkan membentuk basis.
1. Akan dibuktikan
bebas linear
Vektor disebut bebas linear jika
mengakibatkan
semua skalar sama dengan nol.
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
maka ,
, . Karena
maka bebas linear.
2. Akan dibuktikan
merentang ruang baris dari U dikatakan merentang jika masing-masing vektor di
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear. Perhatikan persamaan dibawa ini
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
maka , , dan . Karena dan
maka merentang ruang baris dari U.
Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor
tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari U. Jelas bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang
baris dari U adalah , maka rank dari U adalah 2. Karena U dan A
ekivalen baris, maka matriks U dan A memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari A adalah 2.
Definisi 2.25 Variabel utama adalah variabel-variabel yang bersesuaian dengan 1 utama
pada matriks yang diperluas. Sedangkan variabel yang bukan 1 utama disebut
sebagai variabel bebas.
Teorema 2.5
Jika A adalah matriks , maka dimensi ruang baris dari A sama dengan
dimensi ruang kolom dari A.
Bukti
Jika A adalah matriks dengan rank r, maka bentuk eselon baris
U dari A akan memiliki 1 utama sebanyak r. Kolom-kolom dari U yang berkorespondensi dengan 1 utama akan bebas linear. Akan tetapi, tidak
membentuk basis untuk ruang kolom dari A, karena pada umumnya A dan U akan memiliki ruang-ruang kolom yang berbeda. Misalkan
melambangkan matriks yang diperoleh dari
dengan menghapus semua kolom-kolom yang berkorespondesi dengan peubah-peubah bebas. Hapuskan kolom-kolom yang
sama dari A dan nyatakan matriks yang baru dengan . Matriks-matriks
dan adalah ekivalen baris. Jadi, jika x adalah penyelesaian dari
, maka x juga harus merupakan penyelesaian dari
. Karena kolom-
kolom dari bebas linear, x harus sama dengan
. Berdasarkan uraian
sebelumnya karena x sama dengan 0 maka kolom-kolom dari bebas
linear. Karena memiliki r kolom, maka dimensi ruang kolom dari A
satidaknya adalah r. Berdasarkan Definisi matriks transpos, baris-baris dari matriks A
merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Seperti yang telah dibuktikan bahwa untuk sembarang matriks dimensi ruang kolomnya lebih besar atau sama dengan dimensi ruang barisnya, sehingga
Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik merupakan
kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Jadi untuk sembarang matriks A, dimensi ruang barisnya harus sama dengan dimensi ruang kolomnya.
Teorema 2.6
Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka
Bukti
Karena A memiliki n kolom, maka sistem linear homogen
memiliki n
faktor yang tidak diketahui variabel. Variabel ini terbagi dalam dua kategori, variabel utama dan variabel bebas. Jadi
Tetapi banyaknya variabel utama adalah sama dengan banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris tereduksi dari A, dan banyaknya variabel satu
utama merupakan rank dari A. Jadi
Banyaknya variabel bebas adalah sama dengan nulitas dari A. Hal ini terjadi karena nulitas dari A adalah dimensi ruang solusi dari
, yang sama
dengan banyaknya parameter pada solusi umum yang sama dengan banyaknya variabel bebas. Jadi
Definisi 2.26 Ruang hasil kali dalam Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang
menunjuk setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah
bilangan real yang memenuhi syarat berikut:
a. , dan jika dan hanya jika .
b. , .
c. , dan .
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam.
Contoh 2.5
Ruang vektor . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:
2.13
adalah hasil kali dalam untuk . Persamaan 2.13 dapat juga ditulis
2.14 dengan
menyatakan transpose matriks x.
Penyelesaian:
Ambil sembarang vektor ,
, dan , dalam ruang
vektor dan sembarang skalar
a. Akan dibuktikan
, dan jika dan hanya jika .
Akan dibuktikan Diketahui
2.15 maka dari persamaan 2.15 dapat diperoleh
Jadi
Akan dibuktikan
Diketahui dan
maka diperoleh
Jadi b.
Akan dibuktikan , .
Jadi terbukti c.
Akan dibuktikan , dan
.
=
Jadi terbukti Dari a, b, dan c terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor
adalah hasil kali dalam skalar
Definisi 2.27 Panjang vektor atau norma Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam
,
panjang atau norma dari x didefinisikan
2.16
Teorema 2.7
Jika
adalah vektor pada
, maka: a.
b. jika dan hanya jika
Bukti:
a.
Misalkan adalah vektor pada
, akan dibuktikan atau dapat
ditulis
. ini jelas karena hasil dari akar
tidak akan bernilai negatif dan nilai dari kuadrat tidak akan bernilai negatif.
b. Akan dibuktikan jika dan hanya jika
Diketahui dan akan dibuktikan .
2.17 karena hasil dari
untuk setiap tidak akan bernilai
negatif maka untuk setiap . Sehingga persamaan
2.17 bernilai benar jika dan hanya jika , jadi
untuk setiap
atau .
.
Diketahui , dan akan dibuktikan .
Karena diketahui
, maka . Akibatnya
Teorema 2.8
.
Bukti: Misalkan x vektor sedemikian sehingga
. Maka , dan
yaitu . Oleh karena itu
. Sebaliknya, jika
x memenuhi relasi
, maka jelas . Dengan demikian
. Karena maka akibat dari Teorema 2.6,
dimana n adalah banyaknya kolom A. Oleh karena itu teorema tersebut terbukti.
Teorema 2.9
Jika A adalah suatu matriks sebarang, maka .
Bukti:
Misalkan A sembarang matrik. Menurut Definisi rank maka
Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik A merupakan kolom-kolom dari matrik
sehingga dapat ditulis
Berdasarkan Teorema 2.5, maka
Definisi 2.28 Ortogonal Dua vektor x dan y dalam
dikatakan ortogonal, jika
2.18 dan dilambangkan dengan
Definisi 2.29 Subruang yang ortogonal
Dua ruang bagian X dan Y dalam dikatakan ortogonal, jika
2.19 Jika X dan Y saling ortogonal , dapat dilambangkan dengan
Definisi 2.30 Komplemen Ortogonal
Misalkan Y adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di
dalam yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan
. Jadi
Himpunan disebut komplemen ortogonal dari Y.
Teorema 2.10
1. Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari
, maka .
2. Jika Y adalah ruang bagian dari
, maka juga merupakan ruang
bagian dari .
Bukti:
1. Misalkan dan , akan ditunjukkan . Karena
berdasarkan definisi ortogonal maka , akibat dari teorema
2.7 b
.
2. Misalkan
dan adalah bilangan skalar, maka untuk setiap ,
Oleh karena itu, . Misalkan
adalah elemen-elemen dari , maka
Untuk setiap . Maka diperoleh
adalah ruang bagian dari
.
Definisi 2.31 Rank Penuh
Jika A adalah matriks dengan rank , maka dapat
dikatakan bahwa matriks tersebut memiliki rank penuh.
Teorema 2.11
Misalkan
matriks berukuran . Misalkan matriks mempunyai rank
penuh m. Misalkan
menyatakan ruang nol dan
menyatakan ruang kolom dari
maka
dan merupakan subruang yang saling
orthogonal.
Bukti:
Misalkan dan
Akan dibuktikan Berarti cukup dibuktikan
, artinya ,
Perhatikan bahwa dan
Maka 2.20
Karena maka persamaan 2.20 dapat di ubah menjadi
atau Dengan demikian
Jadi
Gambar 2.1.
–
Dari Teorema 2.11 telah diperlihatkan bahwa dan
adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan dan
dan –
.
Maka dapat juga ditulis
–
2.21 Karena
, maka persamaan 2.21 dapat di ubah menjadi
– 2.22
Kalikan kedua ruas dengan
, maka didapatkan
–
Diketahui bahwa
, maka didapatkan
–
atau
–
Dengan demikian –
2.23 Subsitusikan persamaan 2.23 ke persamaan 2.22, maka didapatkan
– –
– –
– 2.24
dengan 2.25
Definisi 2.32 Matriks proyeksi ortogonal Matriks P berukuran
, dengan disebut matriks
proyeksi ortogonal atau matriks proyeksi ruang nol dari
.
Teorema 2.12
Jika A adalah sebuah matriks , maka
dan
Bukti:
Sebelumnya telah diketahui bahwa dan ini mengimplikasikan
bahwa . Di lain pihak, misalkan
adalah sembarang vektor
dari , maka
ortogonal pada setiap vektor-vektor kolom dari
dan akibatnya
. Jadi x merupakan elemen dari . Karena
dan maka
. Secara khusus, dapat dimisalkan matriks
. Jadi
Teorema 2.13
Jika S adalah ruang bagian dari , maka
.
Bukti:
Jika
, maka ortogonal pada setiap di dalam
. Oleh karena itu, , sehingga
. Di lain pihak, misalkan bahwa z adalah
sembarang elemen dari . Misalkan z sebagai penjumlaha
, dimana
dan . Karena
, maka
ortogonal pada dan . Sehingga
dan mengakibatkan, . Oleh karena itu, dan
.
Teorema 2.14
Sistem persamaan linear homogen memiliki penyelesaian taktrivial jika
.
Bukti:
Sistem homogen selalu konsisten. Bentuk eselon baris dari matriks yang bersangkutan memiliki paling banyak m baris bukan nol. Jadi terdapat paling
banyak m peubah utama. Karena semuanya secara keseluruhan terdapat n
peubah dan , maka harus terdapat beberapa peubah bebas. Peubah-
peubah bebas ini dapat diberi sembarang nilai. Untuk setiap pemberian nilai ke peubah-peubah bebas ini terdapat satu penyelesaian bagi sistem yang
bersangkutan.
Teorema 2.15
Misalkan A matriks . Hal-hal berikut adalah ekivalen:
a. A taksingular
b. hanya mempunyai penyelesaian trivial
Bukti:
Misalkan A taksingular. Akan dibuktikan hanya mempunyai penyelesaian trivial
.
Misalkan A taksingular dan
merupakan penyelesaian dari , maka
Karena
merupakan penyelesaian dari , maka
Jadi hanya mempunyai penyelesaian trivial.
Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Akan dibuktikan A taksingular.
Misalkan
hanya mempunyai penyelesaian trivial . Dengan
menggunakan operasi-operasi baris elementer, sistem tersebut dapat ditransformasikan menjadi bentuk
, dimana U berbentuk eselon
baris. Jika salah satu elemen diagonal dari U adalah 0, maka baris terakhir dari U seluruhnya terdiri dari 0. Tetapi kemudian
akan ekivalen dengan suatu sistem dengan lebih banyak peubah daripada banyaknya
persamaan dan dengan demikian berdasarkan Teorema 2.14 sistem
akan memiliki penyelesaian taktrivial. Jadi U haruslah
merupakan matriks segitiga dengan elemen-elemen diagonal semuanya sama dengan 1. Sebagai akibatnya maka I adalah bentuk eselon baris
tereduksi dari A sehingga A ekivalen baris dengan I. Karena A ekivalen baris dengan I, maka terdapat matriks-matriks
elementer sehingga
tetapi karena dapat dibalik,
maka hasil kali juga dapat dibalik. Jadi A taksingular dan
Teorema 2.16
Matriks adalah matriks bujur sangkar yang berorde
nonsingular jika dan hanya jika
.
Bukti:
Akan dibuktikan
Misalkan adalah nonsingular. Untuk membuktikan ini, misalkan z
sebagai penyelesaian untuk
yakni
2.26 Berdasarkan Teorema 2.15,
hanya mempunyai penyelesaian
trivial maka . Sebagai akibatnya
hanya mempunyai
penyelesaian trivial dan vektor-vektor kolom dari adalah bebas
linear, maka mempunyai rank
. Akan dibuktikan
adalah nonsingular
Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk
persamaan 2.26. Kemudian Jelas bahwa,
. Karena , maka akibatnya
. Jika
mempunyai , maka vektor-vektor kolom dari
adalah bebas linear dan sebagai akibatnya
hanya mempunyai
penyelesaian trivial. Jadi
dan persamaan 2.26 hanya mempunyai
penyelesaian trivial. Oleh karena itu berdasarkan Teorema 2.15 adalah nonsingular.
Definisi 2.33 Persekitaran Persekitaran dari titik
adalah himpunan dari titik-titik , dengan
2.27
Definisi 2.34 Titik Interior
Suatu titik dikatakan titik interior dari himpunan S jika ada persekitaran
dari sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari
juga berada dalam S, yakni
2.28
Definisi 2.35 Transformasi Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau
fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x
di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi ini ditulis
Ruang vekror V disebut daerah asal T. Nilai transformasi T untuk elemen
ditulis yang merupakan elemen di W. Elemen disebut peta
dari x. Maka transformasi T dari V ke W jika dan hanya jika
Definisi 2.36
Misalkan transformasi pada S, maka adalah invers dari jika
dan , untuk setiap yaitu komposisi dari dan adalah transformasi identitas pada S. Notasi yang umum untuk
invers adalah .
Teorema 2.17
Misalkan , maka
.
Bukti:
Misalkan adalah transformasi dari
. Akan dibuktikan .
i. Misalkan ini berarti bahwa
, maka dan
. Karena adalah
transformasi, sehingga dan .
ii. Misalkan , karena
berarti ada sehingga . Maka
berarti maka
. Misalkan .
Akan dibuktikan adalah transformasi dari
atau dan jika
dan maka
. Misalkan
karena , berarti ada sedemikian sehingga
atau maka maka
. Misalkan dan
, maka dan , tetapi berarti dan
adalah sebuah transformasi.
C. Masalah Program Linear