Ruang Vektor RUANG VEKTOR DAN MASALAH PROGRAM LINEAR

3. Jika terdapat baris-baris yang entrinya semuannya nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol. Definisi 2.11 Matriks Elementer Suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer. 1. Matriks elementer jenis 1 adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan dua baris dari I. 2. Matriks elementer jenis 2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris dari I dengan konstanta bukan nol. 3. Matriks elementer jenis 3 adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain. Definisi 2.12 Ekivalen Baris Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan A jika terdapat matriks elementer sehingga

B. Ruang Vektor

Definisi 2.13 Ruang Vektor Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong yang terdiri dari objek-objek di mana didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi: 1. 2. 3. Terdapat elemen sehingga 4. sehingga 5. untuk setiap skalar 6. untuk setiap skalar 7. untuk setiap skalar 8. 9. Jika dan suatu skalar, 10. Jika maka Contoh 2.1 Misalkan dan adalah vektor-vektor di . Penjumlahan pada didefinisikan sebagai berikut: 2.7 dan operasi perkalian dengan skalar di R didefinisikan sebagai berikut: 2.8 Tunjukkan bahwa merupakan ruang vektor. Bukti: Misalkan , , dan , 1. Akan ditunjukkan 2. Akan ditunjukkan 3. Akan ditunjukkan terdapat elemen sehingga 4. Akan ditunjukkan sehingga Invers dari adalah sehingga 5. Akan ditunjukkan 6. Akan ditunjukkan 7. Akan ditunjukkan 8. Akan ditunjukkan 9. Akan ditunjukkan Seperti pada persamaan 2.8 10. Akan ditunjukkan Seperti pada persamaan 2.7 Definisi 2.14 Ruang bagian subspace Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat berikut: a. jika untuk sembarang skalar . b. jika dan . Maka S disebut ruang bagian dari V. Contoh 2.2 Tunjukan apakah merupakan ruang bagian dari atau tidak. Bukti: 1. Akan dibuktikan jika untuk sembarang skalar . dan karena maka karena maka jadi . 2. Akan dibuktikan jika dan . dan karena dan maka dan . Sehingga karena dan maka ruang bagian dari Definisi 2.15 Kombinasi linear Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V. Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk 2.9 dimana adalah skalar-skalar disebut sebagai kombinasi linear dari Definisi 2.16 Merentang span Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor merentang V. Definisi 2.17 Bebas linear linearly independent Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika 2.10 mengakibatkan semua skalar-skalar sama dengan 0. Definisi 2.18 Bergantung linear linearly dependent Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga 2.11 Definisi 2.19 Basis Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika: a. bebas linear. b. merentang V. Definisi 2.20 Dimensi dari ruang vektor V adalah banyaknya vektor-vektor yang membentuk basis untuk ruang vektor V. Selain itu, mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol. Definisi 2.21 Misalkan matriks . Vektor-vektor dalam , yaitu , , , yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A dan vektor-vektor dalam , yaitu , , , yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A dinamakan vektor-vektor kolom dari A. Definisi 2.22 Jika A adalah matriks , maka ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang kolom dari A dapat di notasikan Contoh 2.3: Misalkan Ruang baris dari A adalah himpunan ketiga tupel yang berbentuk Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk Jadi ruang baris dari A adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan ruang kolom dari A adalah . Teorema 2.3 Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama. Bukti: Jika B ekivalen baris dengan A, maka B dapat dibentuk dari A dengan sebarisan operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi vektor-vektor baris dari B harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A. Sebagai akibatnya, ruang baris dari B harus merupakan ruang bagian dari ruang baris A. Karena A ekivalen baris dengan B, maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari A adalah ruang bagian dari ruang baris B. Definisi 2.23 Ruang Nol Null Spaces Misal adalah matriks . Misalkan menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen . Jadi 2.12 disebut sebagai ruang nol Definisi 2.24 Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris dari A. Nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang nol dari A. Untuk menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan mereduksikan matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris. Teorema 2.4 Jika suatu matriks berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan 1 utama yaitu vektor-vektor baris taknol membentuk suatu basis untuk ruang baris dari . Bukti: Misalkan matriks berada dalam bentuk eselon baris, yakni Akan dibuktikan vektor-vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari . Ruang baris dari A dapat dibentuk sebagai berikut Jadi ruang baris dari adalah himpunan matriks-matriks . Akan ditunjukkan bahwa baris 1 sampai baris m dari matriks membentuk basis untuk ruang baris dari . Misalkan vektor-vektor baris dapat dinyakan sebagai . Akan ditunjukkan membentuk basis. 1. Akan ditunjukkan bebas linear Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar sama dengan nol. Perhatikan persamaan , yakni Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis Dengan operasi baris elementer terhadap baris 2, yakni maka akan diperoleh Operasi baris elementer dilakukan sampai pada baris ke-m, yakni dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh maka , . Karena , maka bebas linear. 2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari A. dikatakan merentang jika masing-masing vektor pada ruang baris di ruang bagian dari dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari . Ambil sembarang vektor pada ruang baris di ruang bagian dari . Akan ditunjukkan untuk setiap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear . Perhatikan persamaan , yakni atau dapat ditulis dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh Karena maka merentang ruang baris dari A. Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari A. Contoh 2.4 Misalkan Dengan mereduksikan A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks Akan dibuktikan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari U. Ruang baris dari U yakni dapat dibentuk Jadi ruang baris dari U adalah . Akan ditunjukkan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U. Misalkan , akan ditunjukkan membentuk basis. 1. Akan dibuktikan bebas linear Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar sama dengan nol. atau dapat ditulis dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh maka , , . Karena maka bebas linear. 2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari U dikatakan merentang jika masing-masing vektor di dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear. Perhatikan persamaan dibawa ini atau dapat ditulis dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh maka , , dan . Karena dan maka merentang ruang baris dari U. Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari U. Jelas bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U adalah , maka rank dari U adalah 2. Karena U dan A ekivalen baris, maka matriks U dan A memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari A adalah 2. Definisi 2.25 Variabel utama adalah variabel-variabel yang bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperluas. Sedangkan variabel yang bukan 1 utama disebut sebagai variabel bebas. Teorema 2.5 Jika A adalah matriks , maka dimensi ruang baris dari A sama dengan dimensi ruang kolom dari A. Bukti Jika A adalah matriks dengan rank r, maka bentuk eselon baris U dari A akan memiliki 1 utama sebanyak r. Kolom-kolom dari U yang berkorespondensi dengan 1 utama akan bebas linear. Akan tetapi, tidak membentuk basis untuk ruang kolom dari A, karena pada umumnya A dan U akan memiliki ruang-ruang kolom yang berbeda. Misalkan melambangkan matriks yang diperoleh dari dengan menghapus semua kolom-kolom yang berkorespondesi dengan peubah-peubah bebas. Hapuskan kolom-kolom yang sama dari A dan nyatakan matriks yang baru dengan . Matriks-matriks dan adalah ekivalen baris. Jadi, jika x adalah penyelesaian dari , maka x juga harus merupakan penyelesaian dari . Karena kolom- kolom dari bebas linear, x harus sama dengan . Berdasarkan uraian sebelumnya karena x sama dengan 0 maka kolom-kolom dari bebas linear. Karena memiliki r kolom, maka dimensi ruang kolom dari A satidaknya adalah r. Berdasarkan Definisi matriks transpos, baris-baris dari matriks A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis Seperti yang telah dibuktikan bahwa untuk sembarang matriks dimensi ruang kolomnya lebih besar atau sama dengan dimensi ruang barisnya, sehingga Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis Jadi untuk sembarang matriks A, dimensi ruang barisnya harus sama dengan dimensi ruang kolomnya. Teorema 2.6 Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka Bukti Karena A memiliki n kolom, maka sistem linear homogen memiliki n faktor yang tidak diketahui variabel. Variabel ini terbagi dalam dua kategori, variabel utama dan variabel bebas. Jadi Tetapi banyaknya variabel utama adalah sama dengan banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris tereduksi dari A, dan banyaknya variabel satu utama merupakan rank dari A. Jadi Banyaknya variabel bebas adalah sama dengan nulitas dari A. Hal ini terjadi karena nulitas dari A adalah dimensi ruang solusi dari , yang sama dengan banyaknya parameter pada solusi umum yang sama dengan banyaknya variabel bebas. Jadi Definisi 2.26 Ruang hasil kali dalam Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan real yang memenuhi syarat berikut: a. , dan jika dan hanya jika . b. , . c. , dan . Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam. Contoh 2.5 Ruang vektor . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan: 2.13 adalah hasil kali dalam untuk . Persamaan 2.13 dapat juga ditulis 2.14 dengan menyatakan transpose matriks x. Penyelesaian: Ambil sembarang vektor , , dan , dalam ruang vektor dan sembarang skalar a. Akan dibuktikan , dan jika dan hanya jika . Akan dibuktikan Diketahui 2.15 maka dari persamaan 2.15 dapat diperoleh Jadi Akan dibuktikan Diketahui dan maka diperoleh Jadi b. Akan dibuktikan , . Jadi terbukti c. Akan dibuktikan , dan . = Jadi terbukti Dari a, b, dan c terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor adalah hasil kali dalam skalar Definisi 2.27 Panjang vektor atau norma Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , panjang atau norma dari x didefinisikan 2.16 Teorema 2.7 Jika adalah vektor pada , maka: a. b. jika dan hanya jika Bukti: a. Misalkan adalah vektor pada , akan dibuktikan atau dapat ditulis . ini jelas karena hasil dari akar tidak akan bernilai negatif dan nilai dari kuadrat tidak akan bernilai negatif. b. Akan dibuktikan jika dan hanya jika Diketahui dan akan dibuktikan . 2.17 karena hasil dari untuk setiap tidak akan bernilai negatif maka untuk setiap . Sehingga persamaan 2.17 bernilai benar jika dan hanya jika , jadi untuk setiap atau . . Diketahui , dan akan dibuktikan . Karena diketahui , maka . Akibatnya Teorema 2.8 . Bukti: Misalkan x vektor sedemikian sehingga . Maka , dan yaitu . Oleh karena itu . Sebaliknya, jika x memenuhi relasi , maka jelas . Dengan demikian . Karena maka akibat dari Teorema 2.6, dimana n adalah banyaknya kolom A. Oleh karena itu teorema tersebut terbukti. Teorema 2.9 Jika A adalah suatu matriks sebarang, maka . Bukti: Misalkan A sembarang matrik. Menurut Definisi rank maka Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis Berdasarkan Teorema 2.5, maka Definisi 2.28 Ortogonal Dua vektor x dan y dalam dikatakan ortogonal, jika 2.18 dan dilambangkan dengan Definisi 2.29 Subruang yang ortogonal Dua ruang bagian X dan Y dalam dikatakan ortogonal, jika 2.19 Jika X dan Y saling ortogonal , dapat dilambangkan dengan Definisi 2.30 Komplemen Ortogonal Misalkan Y adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di dalam yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan . Jadi Himpunan disebut komplemen ortogonal dari Y. Teorema 2.10 1. Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari , maka . 2. Jika Y adalah ruang bagian dari , maka juga merupakan ruang bagian dari . Bukti: 1. Misalkan dan , akan ditunjukkan . Karena berdasarkan definisi ortogonal maka , akibat dari teorema 2.7 b . 2. Misalkan dan adalah bilangan skalar, maka untuk setiap , Oleh karena itu, . Misalkan adalah elemen-elemen dari , maka Untuk setiap . Maka diperoleh adalah ruang bagian dari . Definisi 2.31 Rank Penuh Jika A adalah matriks dengan rank , maka dapat dikatakan bahwa matriks tersebut memiliki rank penuh. Teorema 2.11 Misalkan matriks berukuran . Misalkan matriks mempunyai rank penuh m. Misalkan menyatakan ruang nol dan menyatakan ruang kolom dari maka dan merupakan subruang yang saling orthogonal. Bukti: Misalkan dan Akan dibuktikan Berarti cukup dibuktikan , artinya , Perhatikan bahwa dan Maka 2.20 Karena maka persamaan 2.20 dapat di ubah menjadi atau Dengan demikian Jadi Gambar 2.1. – Dari Teorema 2.11 telah diperlihatkan bahwa dan adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan dan dan – . Maka dapat juga ditulis – 2.21 Karena , maka persamaan 2.21 dapat di ubah menjadi – 2.22 Kalikan kedua ruas dengan , maka didapatkan – Diketahui bahwa , maka didapatkan – atau – Dengan demikian – 2.23 Subsitusikan persamaan 2.23 ke persamaan 2.22, maka didapatkan – – – – – 2.24 dengan 2.25 Definisi 2.32 Matriks proyeksi ortogonal Matriks P berukuran , dengan disebut matriks proyeksi ortogonal atau matriks proyeksi ruang nol dari . Teorema 2.12 Jika A adalah sebuah matriks , maka dan Bukti: Sebelumnya telah diketahui bahwa dan ini mengimplikasikan bahwa . Di lain pihak, misalkan adalah sembarang vektor dari , maka ortogonal pada setiap vektor-vektor kolom dari dan akibatnya . Jadi x merupakan elemen dari . Karena dan maka . Secara khusus, dapat dimisalkan matriks . Jadi Teorema 2.13 Jika S adalah ruang bagian dari , maka . Bukti: Jika , maka ortogonal pada setiap di dalam . Oleh karena itu, , sehingga . Di lain pihak, misalkan bahwa z adalah sembarang elemen dari . Misalkan z sebagai penjumlaha , dimana dan . Karena , maka ortogonal pada dan . Sehingga dan mengakibatkan, . Oleh karena itu, dan . Teorema 2.14 Sistem persamaan linear homogen memiliki penyelesaian taktrivial jika . Bukti: Sistem homogen selalu konsisten. Bentuk eselon baris dari matriks yang bersangkutan memiliki paling banyak m baris bukan nol. Jadi terdapat paling banyak m peubah utama. Karena semuanya secara keseluruhan terdapat n peubah dan , maka harus terdapat beberapa peubah bebas. Peubah- peubah bebas ini dapat diberi sembarang nilai. Untuk setiap pemberian nilai ke peubah-peubah bebas ini terdapat satu penyelesaian bagi sistem yang bersangkutan. Teorema 2.15 Misalkan A matriks . Hal-hal berikut adalah ekivalen: a. A taksingular b. hanya mempunyai penyelesaian trivial Bukti:  Misalkan A taksingular. Akan dibuktikan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Misalkan A taksingular dan merupakan penyelesaian dari , maka Karena merupakan penyelesaian dari , maka Jadi hanya mempunyai penyelesaian trivial.  Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Akan dibuktikan A taksingular. Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Dengan menggunakan operasi-operasi baris elementer, sistem tersebut dapat ditransformasikan menjadi bentuk , dimana U berbentuk eselon baris. Jika salah satu elemen diagonal dari U adalah 0, maka baris terakhir dari U seluruhnya terdiri dari 0. Tetapi kemudian akan ekivalen dengan suatu sistem dengan lebih banyak peubah daripada banyaknya persamaan dan dengan demikian berdasarkan Teorema 2.14 sistem akan memiliki penyelesaian taktrivial. Jadi U haruslah merupakan matriks segitiga dengan elemen-elemen diagonal semuanya sama dengan 1. Sebagai akibatnya maka I adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A sehingga A ekivalen baris dengan I. Karena A ekivalen baris dengan I, maka terdapat matriks-matriks elementer sehingga tetapi karena dapat dibalik, maka hasil kali juga dapat dibalik. Jadi A taksingular dan Teorema 2.16 Matriks adalah matriks bujur sangkar yang berorde nonsingular jika dan hanya jika . Bukti: Akan dibuktikan Misalkan adalah nonsingular. Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk yakni 2.26 Berdasarkan Teorema 2.15, hanya mempunyai penyelesaian trivial maka . Sebagai akibatnya hanya mempunyai penyelesaian trivial dan vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear, maka mempunyai rank . Akan dibuktikan adalah nonsingular Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk persamaan 2.26. Kemudian Jelas bahwa, . Karena , maka akibatnya . Jika mempunyai , maka vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear dan sebagai akibatnya hanya mempunyai penyelesaian trivial. Jadi dan persamaan 2.26 hanya mempunyai penyelesaian trivial. Oleh karena itu berdasarkan Teorema 2.15 adalah nonsingular. Definisi 2.33 Persekitaran Persekitaran dari titik adalah himpunan dari titik-titik , dengan 2.27 Definisi 2.34 Titik Interior Suatu titik dikatakan titik interior dari himpunan S jika ada persekitaran dari sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari juga berada dalam S, yakni 2.28 Definisi 2.35 Transformasi Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi ini ditulis Ruang vekror V disebut daerah asal T. Nilai transformasi T untuk elemen ditulis yang merupakan elemen di W. Elemen disebut peta dari x. Maka transformasi T dari V ke W jika dan hanya jika Definisi 2.36 Misalkan transformasi pada S, maka adalah invers dari jika dan , untuk setiap yaitu komposisi dari dan adalah transformasi identitas pada S. Notasi yang umum untuk invers adalah . Teorema 2.17 Misalkan , maka . Bukti: Misalkan adalah transformasi dari . Akan dibuktikan . i. Misalkan ini berarti bahwa , maka dan . Karena adalah transformasi, sehingga dan . ii. Misalkan , karena berarti ada sehingga . Maka berarti maka . Misalkan . Akan dibuktikan adalah transformasi dari atau dan jika dan maka . Misalkan karena , berarti ada sedemikian sehingga atau maka maka . Misalkan dan , maka dan , tetapi berarti dan adalah sebuah transformasi.

C. Masalah Program Linear