= π () x 0 , x 2 = π () , dan set erusnya. T unjukkan bahwa t erdapat

x 1 = π () x 0 , x 2 = π () x 1 , dan set erusnya. T unjukkan bahwa t erdapat

suat u bilangan k sedemikian sehingga xx 0 ,, 1 , x k semuanya berbeda

dan π () x k = x 0 . Catatan: Misalkan k adalah suat u bilangan bulat t erkecil sehingga π () x k = x k + 1 ∈ { xx 0 ,, 1 , x k } . T unjukkan bahwa

π () x k = x 0 . Untuk it u, bukt ikan bahwa asumsi π () x k = x l unt uk

beberapa l, 1 ≤≤ l k mengakibat kan kont radiksi.

3.14. Bukt ikan bahwa X 1 = { xx 0 ,, 1 , x k } dan X 2 = X \ X 1 kedua-duanya

invarian π .

BAB I V T EORI GRUP

A. Pendahuluan

G merupakan fungsi dari

Suatu Operasi at au perkalian pada suatu himpunan

G x G ke G. Suatu operasi yang menent ukan suatu at uran unt uk menggabungkan dua elemen

G untuk menghasilkan elemen G lainnya. Sebagai cont oh, operasi penjumlahan bilangan asli yang dinyatakan sebagai pasangan (

a, b) yaitu a + b. merupakan grup karena a + b menghasilkan bilangan asli. Cont oh lain adalah himpunan semua fungsi bernilai real dari variabel yang bernilai real, yait u semua fungsi f:

. (Fungsi) komposisi merupakan operasi pada himpunan t ersebut yang memiliki nilai pada pasangan ( f,g) adalah f g. Cont oh-cont oh yang t elah disebut kan di at as merupakan operasi yang memenuhi t iga sifat berikut : Hasil operasi bersifat assosiatif. T erdapat elemen ident it as e yang memiliki sifat bahwa operasi e dengan sebarang elemen lainnya, akan t et ap menghasilkan elemen t ersebut . Unt uk set iap elemen -1 a t erdapat elemen invers a sedemikian sehingga

memenuhi -1 aa = a a = e.

Cont oh-cont oh yang t elah dijelaskan di at as adalah sebagai berikut : Himpunan simet ri dari suat u bent uk geomet ri dengan operasi komposisi simet ri. Himpunan permut asi dari suat u himpunan berhingga, dengan operasi komposisi permut asi. Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.

n (bilangan bulat modulo n) dengan operasi penjumlahan. (Proposisi

4.1 menjelaskan bahwa (a), (b), dan (c) menunjukkan bahwa n bersifat assosiatif t erhadap penjumlahan, sert a memiliki sat u elemen 4.1 menjelaskan bahwa (a), (b), dan (c) menunjukkan bahwa n bersifat assosiatif t erhadap penjumlahan, sert a memiliki sat u elemen

Proposisi 4.1. Jika n adalah bilangan bulat modulo n, maka:

(a) Operasi penjumlahan pada n bersifat komut at if dan assosiat if; unt uk

semua [ a], [b], [c] n , [ a]+ [b] = [b]+ [a] dan ([ a]+ [b]) + [c] = [a]+ ([b]+ [c])

(b) [0] merupakan elemen ident it as untuk penjumlahan; untuk semua [ a] n [0] + [ a] = [a]

(c) Set iap elemen [ a] pada n memiliki invers jumlah [- a], yang memenuhi hubungan [ a]+ [-a] = [0]. (d) Operasi kali pada n bersifat komut at if dan assosiat if. Unt uk semua [ a], [ b], [c] n , berlaku [ a][b] = [b][a] dan ([ a][b])[c] = [a]([b][c])

(e) [1] adalah elemen identit as unt uk operasi perkalian. Untuk semua [ a] n berlaku [1][ a] = [a] (f) Unt uk semua [ a], [b], [c] n , berlaku hukum dist ributif. [ a]([b]+ [c]) = [a][b]+ [a][c]

Proposisi 4.2. Misalkan K[x] adalah himpunan semua polinomial x dengan koefisien K , maka:

(a) Operasi penjumlahan K[x] bersifat komut at if dan assosiat if. Unt uk semua f, g, h K[x], f+g=g+f dan

f + (g + h) = (f + g) + h (b) 0 adalah elemen ident it as penjumlahan. Untuk semua f K[ x], berlaku 0+ f = f. (c) Set iap f K[ x] memiliki invers jumlah yait u f sehingga f + (-f) = 0. (d) Operasi kali pada K [ x] bersifat komut at if dan assosiat if. Untuk semua f,g,h K[ x], berlaku fg = gf dan f(gh) = (fg)h (e) 1 adalah elemen identit as untuk operasi kali. Unt uk semua f K[ x] berlaku hubungan 1 f = f. (f) Untuk semua f,g,h K[ x], berlaku hukum dist ribut if. f(g + h)= fg+ fh.

Dalam mat emat ika, grup adalah suatu himpunan, besert a sat u operasi biner, sepert i perkalian at au penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang diuraikan di bawah ini. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup t erhadap operasi penjumlahan. Cabang mat emat ika yang mempelajari grup disebut Teori Grup. A sal-usul t eori grup berawal dari karya Evarist e Galois (1830), yang berkait an dengan masalah persamaan aljabar yang diselesaikan cara menentukan akar-akar persamaan t ersebut . Sebelum Galois, grup lebih banyak dipelajari secara kongkrit dalam bentuk permut asi; beberapa aspek t eori grup abelian dikenal dalam t eori bent uk-bent ukkuadrat. Banyak sekali obyek yang dipelajari dalam mat emat ika t ernyat a berupa grup. Hal ini mencakup sist em bilangan, sepert i bilangan bulat , bilangan rasional, bilangan nyat a, dan bilangan kompleks t erhadap penjumlahan, at au bilangan rasional, bilangan nyat a, dan bilangan kompleks yang t ak-nol, masing-masing t erhadap perkalian.

A.1. Operasi Biner

Operasi Biner pada himpunan t ak kosong A adalah f:AxA a,b) A, ( AxA f(a, b) A.

A.2. Definisi Grup

Pengert ian mendasar dari himpunan, pemet aan, operasi biner, dan relasi biner t elah dipelajari pada bagian-bagian sebelumnya. Pengert ian-

pengert ian ini sangat pent ing untuk memahami suat u sist em aljabar. Struktur

aljabar, at au sistim aljabar, adalah suatu himpunan t ak kosong yang di dalamnya t erdapat set idak-t idaknya sat u relasi ekivalensi (kesamaan) dan sat u

at au lebih operasi biner yang t erdefinisi. St ruktur yang paling sederhana dapat t erjadi jika di dalam himpunan t ersebut t erdapat hanya sat u operasi biner, sepert i pada kasus sistim aljabar yang dikenal sebagai grup.

Grup adalah suatu himpunan (t ak kosong) dengan suat u operasi, yang memenuhi sifat -sifat sebagai berikut : (a) Operasi t ersebut bersifat assosiat if. Unt uk semua

a, b, c , berlaku hubungan ( ab)c = a(bc). (b) T erdapat satu elemen ident itas e di G sedemikian sehingga untuk set iap a berlaku ea = ae = a.

(c) Untuk set iap -1 a t erdapat elemen a sehingga aa = a a = e.

Definisi 4.1. Grup. Gilbert dan Gilbert mendefinisikan Grup sebagai berikut:

G adalah himpunan yang t idak kosong dan operasi biner * didefinisikan untuk elemen-elemen himpunan

. ( ,* ) adalah suatu grup apabila memenuhi aksioma-aksioma berikut , yait u :

1. Operasi * pada bersifat t ert ut up, berart i x, y , berlaku x*y

2. Operasi * pada bersifat asosiat if. Berart i untuk semua x, y, z berlaku x * (y * z) = (x * y) * z

3. memuat elemen ident it as. Ada e sedemikian sehingga x*e=e* x = x unt uk semua x

4. Set iap elemen di memiliki invers di . Unt uk set iap x , ada y sedemikian sehingga x*y=y* x=e K at a-kat a t erhadap operasi * harus diperhat ikan. Misalkan himpunan semua bilangan bulat , merupakan grup t erhadap operasi + t et api bukan merupakan grup t erhadap operasi × karena t idak memuat invers

selain ± 1 sedemikian sehingga ab * = ba * = e . Demikian juga, G = {} − 1, 1

adalah grup t erhadap operasi × t et api bukan grup t erhadap operasi + . Jadi operasi biner * yang mengakibat kan suat u operasi memenuhi syarat -syarat grup, t idak harus merupakan operasi + at au × tet api dapat juga merupakan kombinasi dari operasi-operasi t ert ent u.

A.3. Grup Abelian

Definisi 4.2. Grup Abelian. Misalkan

G adalah grup dengan operasi * , maka (

G, * ) disebut grup komut at if at au grup abelian, jika operasi * bersifat komut at if, yait u x * y = y * x unt uk semua x, y G.

Contoh 4.1. Diberikan yait u himpunan bilangan bulat , dan sebagai operasi penjumlahan st andar. Apakah ( ,+ ) merupakan grup? Jika ya, apakah

( , + ) merupakan grup abelian?

Jawab:

1. Memeriksa apakah operasi + pada bersifat t ertut up ? Ambil sebarang x, y

sehingga x+y

Jadi operasi + pada bersifat t ertut up

2. Memeriksa apakah operasi + pada z bersifat asosiat if? Ambil sebarang x,y,z

sehingga x + (y + z) = (x + y) + z Jadi operasi + pada bersifat asosiat if.

3. Memeriksa apakah memuat elemen ident it as? e= 0

, sedemikian sehingga untuk sebarang x berlaku x+ 0= 0 + x= x Jadi mempunyai elemen ident it as.

4. Memeriksa apakah set iap elemen di memuat invers di dalam ? Ambil sebarang x

sedemikian sehingga x + (-x) = 0 = (- x)+ x. K arena empat aksioma dalam Definisi 4.1. t erpenuhi maka ( ,+ ) adalah grup. Sekarang, ambil sebarang x,y

, y = -x

, sehingga x + y = y + x. Jadi operasi + bersifat komut at if, sehingga ( ,+ ) merupakan grup abelian.

Contoh 4.2. + Apakah himpunan bilangan real posit if, dengan operasi perkalian x, merupakan grup? Unt uk operasi penjumlahan st andar + apakah

merupakan grup?.

Jawab :

1. Memeriksa apakah operasix pada + bersifat t ert ut up ?

Ambil + sebarang a,b sehingga axb + Jadi operasi x pada bersifat t ert utup

2. Memeriksa apakah operasi x pada + bersifat asosiat if? Ambil + sebarang a, b, c sehingga a x (b x c) = (a x b) x c + Jadi operasi x pada bersifat asosiat if.

3. Memeriksa apakah + memuat elemen ident it as ?

e= 1 + , sehingga untuk sebarang a berlaku ax1 = 1xa = a. Jadi + mempunyai elemen ident it as.

4. Memeriksa apakah set iap elemen di + memiliki invers di dalam ?

Ambil sebarang a , ∃= b ∈ +

1 1 sehingga a x == 1 x a . a a a

Oleh karena empat aksioma t erpenuhi, maka ( + , x) adalah grup. Sekarang, ambil sebarang + a,b , sehingga

a x b = b x a. Jadi operasi x bersifat komut at if, sehingga ( + , x) merupakan grup abelian. Untuk operasi

penjumlahan + , pada + ,( , + ) bukanlah suatu grup, karena tidak ada e

sedemikian sehingga untuk sebarang + a berlaku a + e = e + a = a. Jadi + t idak mempunyai elemen ident it as t erhadap operasi penjumlahan. K arena + t idak mempunyai elemen ident it as t erhadap operasi penjumlahan, disimpulkan set iap elemen di + t idak mempunyai invers.

Catatan :

Apabi la suatu himpunan dengan operasi * bukan grup, maka harus ditunjukkan bahwa setidak-tidaknya satu dari empat aksioma grup tidak terpenuhi.

Contoh 4.3.

Diberikan operasi biner * pada . T ent ukan apakah merupakan grup t erhadap operasi * , jika operasi * didefinisikan sebagai x * y = x + y + 1. Apakah dengan operasi * grup abelian?

Jawab:

1. Memeriksa apakah operasi * pada bersifat t ert utup ? Ambil sebarang x,y

sehingga x*y= x+y+ 1

Jadi operasi * pada bersifat t ertut up

2. Memeriksa apakah operasi * pada bersifat asosiat if? Ambil sebarang x,y,z

sehingga

x* (y* z) = x + (y * z) + 1 = x + (y + z+ 1) + 1 = x + y + z+ 2 ( x* y)* z = (x* y) + z+ 1 = (x+ y+ 1) + z+ 1 = x + y + z+ 2 Disimpulkan x * (y * z) = x + y + z+ 2 = (x* y) * z Jadi operasi * pada bersifat asosiat if.

3. Memeriksa apakah memuat elemen ident it as ?

e = -1 ,sehingga untuk sebarang x berlaku x + (-1) + 1 = 0 = (-1) + x + 1 = x. Jadi mempunyai elemen ident it as.

Catatan :

Untuk mencari elemen ident it as, kit a memasukkan pada definisi sesuai dengan operasi yang diberikan. Pada cont oh ini misalkan elemen ident it asnya adalah e sehingga

Sehingga diperoleh e = -1

4. Memeriksa apakah set iap elemen di memiliki invers di dalam ? Ambil sebarang x

sedemikian sehingga x+ y = x + (- x 2) + 1= x x 2 + 1 = -1 y + x = (- x 2) + x + 1 = - x 2 + x + 1 = -1 Jadi set iap elemen di memiliki invers di

, y= -x 2

Oleh karena empat aksioma t erpenuhi, maka ( ,* ) merupakan grup. Sekarang perhat ikan bahwa unt uk sebarang x,y

berlaku

x* y= x+y+ 1=y+x+ 1=y* x

Jadi ( , * ) merupakan grup abelian.

Contoh 4.4. Diberikan operasi biner * pada . Apakah merupakan grup t erhadap operasi * , jika operasi * didefinisikan sebagai x * y = x + xy. Jawab: K arena x = 4, y = 2 sedemikian sehingga x * y = 4 + 4.2 = 4 + 8 = 12

y * x= 2 + 2.4 = 2 + 8 = 10 sehingga x * y = 12 10 = y * x Disimpulkan operasi * t idak bersifat asosiat if, sehingga disimpulkan ( ,*) bukan grup.

Contoh 4.5. Perkalian Mat rik 2 x 2

Didefinisikan G=   

  ab 

 |,,, abcd ∈ Q ad , − bc ≠ 0    dengan operasi* adalah

    cd  

perkalian mat riks. Selidiki apakah

G dengan operasi * merupakan grup? Jika ya, selidiki apakah (G, * ) merupakan grup abelian.

Jawab:

G bersifat t ertut up ? Ambil sebarang

1. Memeriksa apakah operasi * pada

a, b, c, d, e, f, g, h Q dengan ad bc 0 eh fg 0 sehingga

  ab  e f   abef                ae +

bg af + bh  

   G.

  cd     gh     cdgh       +  ce dg cf + dh  

Jadi operasi * pada bersifat t ertut up.

2. Memeriksa apakah operasi * pada

G bersifat asosiat if?

Ambil sebarang a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l Q dengan ad bc 0,

      i j      cdgh            

Perhat ikan juga bahwa

Jadi disimpulkan (G, * ) bersifat asosiat if.

3. Memeriksa apakah

G memiliki elemen ident it as ?

  10 e=    

 G, sedemikian sehingga unt uk sebarang mat riks 01      

 ab   M=  

 G berlaku   cd      10    ab    ab  e* M= 

   01     cd     cd  

  ab  10  ab

M * e=  cd    01   =  cd                 Jadi e* M= M*e= M

Disimpulkan

G memiliki elemen ident it as.

  ab

4. Ambil sebarang mat riks M =  

  cd   

G, maka

Jadi set iap elemen di

G memiliki invers di G.

K arena empat aksioma di at as t elah t erpenuhi, maka ( G,* ),

  G=  

     ab  

   cd    |,,, abcd ∈ Q ad , − bc ≠ 0  dengan operasi * yang didefinisikan

sebagai perkalian mat riks, adalah grup.

K arena M =  

   = N * M. Jadi (Z, * ) bukan grup abelian. 

Contoh 4.6. T abel Cayley Misalkan

G = { e,a, b, c} dengan perkalian sepert i didefinisikan pada t abel berikut .

x eabc eeabc aabce bbcea cceab

Dari t abel, kit a lihat bahwa :

1. G t ert ut up pada perkalian yang didefinisikan

2. Operasi x pada G bersifat Asosiat if.

3. e adalah elemen ident it as.

4. Set iap unsur di G memiliki invers. K arena memenuhi empat aksioma grup, maka (G,x) merupakan grup.

Bukt i operasi x bersifat assosiat if dapat dit unjukkan melalui t abel-t abel perkalian di bawah ini.

Contoh 4.7. T abel Cayley T abel di bawah ini menyat akan operasi biner * pada himpunan S = { A, B, C, D} .

Dari t abel pada Cont oh 4.7, dapat dilihat bahwa :

1. S t ert utup pada operasi * . Unt uk semua a, b S, a* b S.

2. C merupakan elemen ident it as. K arena A * C = A = C * A , B * C =

B = C * B, C * C = C, D * C = D = C * D.

3. K arena ada D S, dan tidak ada nilai a yang dapat memenuhi Da =

C, disimpulkan D t idak mempunyai invers. Jadi, S dengan operasi * bukan grup.

Definisi 4.3. Grup Berhingga, Grup T ak Hingga, Orde Grup. Jika suat u grup

G memiliki elemen yang berhingga banyaknya, maka

G adalah grup berhingga, at au grup orde berhingga . Banyaknya elemen G dinamakan orde dari

G dan dilambangkan dengan |G| at au O ( G). Jika G memiliki elemen yang t ak hingga banyaknya, maka

G disebut grup tak hingga . Grup

G yang didefinisikan dengan G = ,, 2 { e ρρσγδ ,,, } memiliki orde

G) = 6 jadi G adalah grup berhingga. Sedangkan grup yang memiliki orde O ( )= n adalah grup t ak hingga.

A.4. Subgrup

Definisi 4.4. Subgrup. Misalkan (G, ∗ ) adalah suat u grup, maka

H disebut subgrup dari

G jika:

H kompleks dari G, yaitu H ⊆ G dan H ≠∅ ( H, ∗ ) merupakan suat u grup. Catatan : K arena H ⊆ G dan pada G berlaku sifat assosiatif, maka kit a dapat

mengabaikan syarat assosiat if pada H.

Jenis-jenis subgrup:

1. Subgrup t rivial. (H, ∗ ) disebut dengan subgrup t rivial dari (G, ∗ ) jika

a) H = { e} at au himpunan yang beranggot akan elemen ident it as, at au

b) H = G

Contoh 4.8. Himpunan bilangan bulat adalah grup t erhadap operasi penjumlahan at au ditulis ( ,+ ) adalah grup. ({ 0} , + ) dan(H = , + ) adalah subgrup t rivial dari ( ,+ ).

2. Subgrup nont rivial Yang t ermasuk subgrup nont rivial adalah semua subgrup selain subgrup

t rivial. Contoh 4.9. Himpunan semua bilangan bulat

adalah suat u grup t erhadap operasi penjumlahan, himpunan E adalah himpunan bilangan bulat yang genap. E adalah subgrup nont rivial dari .

Jawab: Diberikan E = { x ∈ x = 2, mm ∃∈ } . Akan ditunjukkan bahwa E

adalah kompleks dari

E adalah subset dari yait u �� x E x , jelas dari definisi

E ≠∅ karena ∃= 0 2.0 ∈ E

E adalah kompleks dari Akan ditunjukkan bahwa Eadalah grup t erhadap operasi biner yang sama

∴ Jadi,

yang didefinisikan pada grup yait u operasi penjumlahan. T ert ut up

∀= x 2, my = 2 n ∈∋+= E x y 2 m + 2 n = 2( m + n ) ∈ E , ∃ mn , ∈

Eksist ensi elemen ident it as

∃∈ 0 E , ∀= x 2 m ∈∋+= E x 0 2 m +=+ 0 0 2 m =+= 0 x x , ∃∈ m

Eksist ensi elemen invers

∀= x 2 m ∈∃−=− E , x 2( m ) ∈∋ E

x +− () x = 2 m +− 2( m ) = 2( m +− ( m )) = 2.0 = 0 , ∃∈ m

() −+=− x x 2( m ) + 2) m = 2(( − m ) + m ) = 2.0 = 0

∴ Jadi, (E, + ) adalah subgrup dari ( ,+ ).

karena ∃∈ 7 t et api 7 ∉ E

E ≠∅ karena ∃∈ 4 E t et api 4 ∉ {} 0

K arena E ≠ dan E ≠∅ maka (E, + ) subgrup nont rivial dari ( ,+ ).

Contoh 4.10.

-{ 0} , Himpunan semua bilangan kompleks t ak nol, adalah suat u grup t erhadap perkalian, dan

G = { 1, -1, i, -i} adalah suat u subgrup nont rivial dari grup t ersebut.

Jawab: Akan ditunjukkan

G adalah kompleks dari -{ 0} .

G adalah subset dari -{ 0} karena ∀∈⇒∈− x G x { 0}

G ≠∅ karena ∃∈ 1 G

G adalah kompleks dari -{ 0} Sekarang, akan dit unjukkan bahwa G adalah adalah grup t erhadap operasi

∴ Jadi,

yang sama yang didefinisikan pada -{ 0} yait u operasi perkalian. Perhat ikan T abel Cayley berikut ini:

T abel Cayley di at as menunjukkan bahwa:

T ert ut up, karena ∀ xy , ∈ G mengakibat kan x ×∈ y G

Eksist ensi elemen ident it as, ∃∈ 1 G , ∀∈∋×=×= x G x 1 1 x x Eksist ensi elemen invers, ∀∈ x G , ∃∈∋× x ′ G x x ′ = x ′ ×= x 1

∴ Jadi, () G , × adalah subgrup dari ( -{ 0} ,x)

− {} 0 karena ∃∈− 2 {} 0 t et api 2 ∉ G

G ≠∅ karena ∃−∈ 1 G t et api −∉ 1 {} 1

K arena G ≠

− {} 0 dan G ≠∅ sehingga () G , × adalah subgrup nontrivial

dari ( − {} 0, × ) .

Contoh 4.11. Unt uk suat u bilangan asli m dan n yang t et ap, masing-masing merupakan grup t erhadap operasi penjumlahan dalam susunan berikut :

M mn × () ⊆ M mn × () ⊆ M mn × () ⊆ M mn × ()

Contoh 4.12. T unjukkan bahwa    a  

M 21 × () ⊆ M 21 × () ⊆ M

21 × () =    ab , ∈ 

dengan M

 adalah  b     

grup t erhadap operasi penjumlahan.

   a    

21 × () =      ab , ∈      b        

Akan dit unjukkan M

21 × ()   ab , ∈     .     b      

adalah subgrup nont rivial dari M

Jawab: