H = { () , 132 . } T ent ukanlah himpunan t ersebut dan bukt ikan bahwa:

() 23 H = { ()() 23 , 132 . } T ent ukanlah himpunan t ersebut dan bukt ikan bahwa:

eH = () 12 H = H

() 23 H = () 132 H = { ()() 23 , 132 } () 13 H = () 123 H = { ()() 13 , 123 . }

Bila nilai π merupakan elemen-elemen S 3 , hanya t erdapat t iga himpunan π H yang berbeda, yang masing-masing muncul sebanak dua kali.

H adalah subgrup dari grup G. Suatu subset yang berbentuk gH dimana g ∈

Definisi 4.16. Misalkan

G, disebut koset kiri dari H di G. Suatu subset yang berbentuk Hg dimana g ∈

G, disebut koset kanan dari H di G.

Contoh 4.42. S 3 dapat diident ifikasi dengan suatu subgrup S 4 yang t erdiri at as permut asi-permut asi yang mempert ahankan 4 dan mempermut asikan { 1, 2,

3} . Unt uk set iap 24 dari elemen π∈ S 4 , dapat diperoleh himpunan π S 3 . Perhit ungan ini akan memerlukan usaha yang sedikit lebih giat . Jika diperlukan, mahasiswa dapat menggunakan perangkat lunak komput er unt uk menyelesaikan soal-soal secara berulang-ulang; sebagai cont oh, program komput asi dalam grup simet ri dapat diselesaikan melalui program mat emat ika

simbolik, yaitu Mathematica. Unt uk H = { σ ∈ S 4 : σ () 4 = 4, } diperoleh:

H = () 12 H = () 13 H = () 23 H = () 123 H = () 132 H = H

() 43 H = () 432 H = ( )( ) 21 43 H

= ( 2431 ) H = ( 4321 ) H = () 431 H

= ( 4231 ) H = ( 3421 ) H = ( )( ) 31 42 H

() 41 H = ( )( ) 41 32 H = () 241 H

= ( 2341 ) H = ( 3241 ) H = () 341 H

H. Sifat-Sifat Koset

Proposisi 4.26. Misalkan

H adalah suat u subgrup dari grup G dan a, b adalah elemen-elemen dari

G, maka syarat -syarat di bawah ini adalah ekivalen: (a). a bH (b). b aH (c). aH = bH

(d). -1 b aH (e). -1 a bH

Bukti.

Jika syarat (a) t erpenuhi, maka t erdapat elemen h H sedemikian sehingga a = bh; t et api kemudian b = ah -1 aH. Jadi (a) menyat akan (b), demikian pula (b)

menyat akan (a). Selanjut nya, andaikan (a) berlaku dan pilih h H sedemikian sehingga a = bh. Jadi unt uk semua h 1 H, maka ah 1 = bhh 1 bH; jadi aH bH. Dengan cara yang sama, (b) menyat akan bahwa bH aH, K arena (a) ekivalen dengan (b), maka keduanya menyat akan (c). K arena a aH dan b bH,maka (c) menyat akan (a) dan (b). Akhirnya, (d) dan (e) adalah ekivalen dengan

meangambil inversnya, dan -1 a = bh bH b a= h H, jadi (a) dan (d) ekivalen.

Proposisi 4.27. Misalkan

H adalah subgrup dari grup G.

(a) Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari G maka aH = bH maupun aH ∩ bH = . (b) Set iap koset kiri aH adalah himpunan t ak kosong dan gabungan koset - koset kiri adalah G.

Bukti: Jika aH ∩ bH , maka dapat diambil c aH ∩ bH. Menurut proposisi sebelumnya cH = aH dan cH = bH, sehingga aH = bH. Untuk set iap a

G, a

G, a aH;

Proposisi4.28. Misalkan

H adalah subgrup dari suat u grup G dan a,b G, maka -1 x ba x merupakan bijeksi antara aH dengan bH.

Bukti:

Pemet aan -1 x ba x bijeksi dari G (dengan invers y ab y). Bat asan t erhadap aH adalah bijeksi dari aH ont o bH.

T eorema 4.5. (T eorema Lagrange). Misalkan

G adalah suat u grup berhingga dan

H adalah suatu subgrup, maka kardinalit as H membagi kardinalit as G G

dengan adalah jumlah koset

H di G.

H Bukti: K oset -koset kiri yang berbeda dari

H adalah disjoin dengan Proposisi

2.5. 4 dan masing-masing memiliki ukuran yang sama (yait u| H|= |eH|) dengan Proposisi 2.5.5. K arena gabungan dari koset -koset kiri adalah

G, maka kardinalit as

G adalah kardinalit as H dikali dengan jumlah koset kiri yang berbeda di H.

Definisi 4.17. Unt uk suatu subgrup

H di G, indeks H di G adalah banyaknya koset kiri

H di G. Indeks dilambangkan dengan [G:H].

I . Relasi Ekivalensi dan Partisi Himpunan

Sehubungan dengan dat a suat u grup

G dan subgrup H, dapat didefinisikan suat u relasi biner pada

G dengan a b(mod H) at au a H b, jika dan hanya jika aH = bH. Menurut Proposisi 2.5.3., a -1

H b jika dan hanya jika b a H. Relasi ini memiliki sifat -sifat sebagai berikut :

1. a H a

2. a H b b H a

3. Jika a H b dan b H c, maka juga a H c.

Definisi 4.18. Suat u relasi ekivalensi pada suat u himpunan xmerupakan relasi biner dengan sifat -sifat sebagai berikut :

(a) Refleksi f : unt uk set iap x

X, x x

(b) Simetri: untuk x,y

X, x y

(c) T ransiti f : untuk x,y,z X, jika x y dan y z, maka x z

Jika dikait kan dengan informasi yang sama (suatu grup

G dan suat u subgrup H), maka diket ahui juga adanya kelompok koset kiri dari H di G. Masing- masing koset kiri adalah koset yang t ak kosong, koset kiri yang berbeda adalah disjoint , dan gabungan semua koset kiri adalah

G. Ini merupakan cont oh dari suatu part isi himpunan.

Definisi 4.19. Suat u partisi dari himpunan x adalah kumpulan himpunan subset t ak kosong yang disjoint , yang gabungannya membent uk X.

Relasi ekivalensi dan parisi himpunan adalah hal yang sangat umum dalam mat emat ika. Relasi ekivalensi dan partisi himpunan merupakan dua aspek yang berbeda dari suat u fenomena yang sama.

Contoh 4.43.

(a) Untuk sebarang himpunan x, kesamaan adalah relasi ekivalensi pada X . Dua elemen x,y X berelasi sat u sama lain jika dan hanya jika x = y. (b) Untuk sebarang himpunan x, nyat akan x y unt uk semua x,y

X . Ini merupakan relasi ekivalensi pada X. (c) Misalkan n adalah suatu bilangan asli. Perhat ikan bahwa relasi dari kongruensi modulo n yang t erdefinisi pada himpunan bilangan bulat dengan a b (mod n) jika dan hanya jika a b dapat dibagi dengan n. K ongruensi modulo n merupakan relasi ekivalensi pada himpunan bilangan-bilangan bulat . Fakt anya, ini merupakan kasus khusus darirelasi ekivalensi koset dengan grup dan subgrup n = { nd:d }.

(d) Misalkan

X danY adalah sebarang himpunan dan f: X Y adalah sebarang pemet aan. Suat u relasi pada x dengan x ′ ~ f x ′′ jika dan hanya

jika fx () ′ = fx () ′′ . Maka f merupakan relasi ekivalensi di X.

(e) Menurut geomet ri eucledian, kongruensi adalah relasi ekivalensi pada himpunan segit iga dalam bidang dat ar. Kesamaan adalah relasi ekivalensi lainnya pada himpunan segitiga di dalam bidang dat ar.

(f) Juga, menurut geomet ri eucledian, kesejajaran garis-garis merupakan relasi ekivalensi pada himpunan dari semua garis-garis di dalam bidang dat ar.

(g) Misalkan x adalah sebarang himpunan, dan T :X

X adalah pemet aan bijekt if dari x. Semua pangkat bilangan bulat dari T t erdefinisi dan

untuk bilangan bulat n+ m m,n didapat kan T T = T . Fakt anya, T adalah elemen dari grup semua pemet aan bijekt if di

X dan pangkat dari T didefinisikan sebagai elemen dari grup ini.

Untuk x,y

X, nyat akan x y jika t erdapat suat u bilangan bulat n sedemikian

T sehingga n () x = y . Jadi adalah suatu relasi ekivalensi pada

X. Fakt anya, untuk semua x

X, x

x karena T 0 () x = x . Jika x,y

X dan x y, maka

T n () x = y untuk suat u bilangan bulat n; maka T − () y = x , sehingga y x.

Akhirnya, misalkan bahwa x,y,z X, x y, dan y z. Dengan demikian t erdapat

bilangan bulat m n,m sedemikian sehingga T () x = y dan T () y = z . T et api,

T nm + x

() n = T

( T () x ) maka = () = z.

Suatu relasi ekivalensi pada himpunan xselalu menghasilkan kelompok subset dari x yang berbeda.

Definisi 4.20. Jika adalah suatu relasi ekivalensi di

X, maka unt uk set iap x

X, kelas ekivalensi dari X adalah himpunan [x] = { y X : x y} .

Perhat ikan bahwa x [x] karena sifat refleksif, yait u bahwa kelas-kelas ekivalensi merupakan subset -subset t ak kosong dari X.

Proposisi 4.29. Misalkan adalah suat u relasi ekivalensi pada

X. Unt uk x,y

X, maka x y jika dan hanya jika [x] = [y].

Bukti. Jika [ x] = [y] maka x [ X] = [y] sehingga x y. Unt uk sebaliknya, anggap bahwa x

y (dan karena it u y x, berdasarkan sifat simet ri relasi ekivalensi). Jika z [x], maka z x. Selanjut nya berdasarkan asumsi, x

y, maka sifat t ransit ivit as dari relasi ekivalensi menyat akan bahwa z y (yait u bahwa z [y]). Hal ini menunjukkan bahwa [x] [y]. Demikian juga, [y] [ x]. Oleh karena it u [ x] = [y].

Corollary 4.12. Misalkan adalah relasi ekivalensi di x, dan x,y

X maka [x] ∩ [ y] =

at au [ x] = [y].

Bukti. Akan ditunjukkan bahwa jika [ x] ∩ [ y] , maka [ x] = [y]. T et api jika t ernyat a z [x] ∩ [ y] maka [x] = [y] = [z].

X . K elas-kelas ekivalensi dari adalah himpunan t ak kosong, dan memiliki himpunan gabungan yang sama dengan

Perhat ikan suat u relasi ekivalensi pada

X, karena untuk set iap x X, x [ x]. Selanjut nya, kelas-kelas ekivalensi bersifat saling lepas ( mutually disjoint). Hal ini menunjukkan bahwa untuk sebarang dua kelas ekivalensi yang berbeda, t idak memiliki anggot a himpunan irisan. Jadi koleksi dari kelas ekivalensi merupakan partisi dari himpunan x.

Untuk sebarang relasi ekivalensi pada himpunan xakan membentuk suatu partisi dari x dengan kelas-kelas ekivalensi. Sebaliknya, jika diberikan suat u part isi P dari X,dapat didefinisikan suat u relasi di X dengan pernyat aan x P y jika dan hanya jika x dan y berada di dalam subset yang sama dari part isi t ersebut . Dapat diperiksa bahwa ini merupakan suat u relasi ekivlensi. Dengan menuliskan P sebagai { x i : i

unt uk semua i I, dan x i x j =

I } diperoleh X i

jika i j, dan iI x i = x. Definisi relasi adalah x P y jika dan hanya jika t erdapat i I sedemikian sehingga x maupun y adalah elemen dari X .

Untuk semua x x, x P x karena t erdapat i I sehingga x X i . Definisi x P y j elas simet ri dalam x dan y. Akhirnya jika x P y dan y P z,maka t erdapat i I sedemikian sehingga x maupun y adalah elemen dari X i dan juga t erdapat j I sdemikian sehingga y maupun z adalah elemen dari X j . Sekarang,

i harus sama dengan j karena y adalah elemen dari X i maupun X j dan X i ∩ X j =

jika dan hanya jika i j . T et api x dan z adalah elemen dari X i , yang mengakibat kan x P z. Setiap partisi dari himpunan x akan membentuk relasi ekivalensi dengan X. Misalkan bahwa kit a mulai dengan relasi ekivalensi pada suat u himpunan

X, yang membent uk part isi X menjadi kelas-kelas ekivalensi, dan membent uk relasi ekivalensi yang berkait an dengan part isi ini. Dengan demikian kit a akan kembali kepada kelas ekivalensi di mana kit a mulai. Fakt anya, misalkan adalah relasi ekivalensi pada

X, misalkan P = { [x]:x x} adalah partisi X yang bersesuaian dengan kelas ekivalensi, dan misalkan P menyat akan relasi ekivalensi yang diturunkan dari P. Maka, x y [ x] = [y]

t erdapat [ z] P sedemikian sehingga x maupun y adalah elemen-elemen dari [ z]

x P y. Sebaliknya, misalkan bahwa kit a mulai dengan part isi dari himpunan x, membent uk relasi ekivalensi yang bersesuaian, dan kemudian membentuk part isi x yang t erdiri at as kelas-kelas ekivalensi unt uk relasi ekivalensi t ersebut . K emudian berhenti t epat pada part isi dimana kit a mulai. Fakt anya, misalkan P adalah part isi dari x, dan P adalah relasi ekivalensi yang bersesuaian, dan P ′ adalah kelompok dari kelas ekivalensi P . Dapat dibukt ikan bahwa P= P ′

Misalkan a X, dan [a] adalah elemen unik dari P ′ yang memuat a, dan misalkan

A adalah elemen unik dari P yang memuat a. Dengan demikian b [ a] b P a jika dan hanya jika t erdapat B P sedemikian sehingga a maupun

b adalah elemen-elemen dari B. T et api karena a A, maka syarat B P t erpenuhi jika dan hanya jika a dan b adalah elemen-elemen dari A yait u [a] =

A. T et api hal ini menunjukkan bahwa P dan P ′ memiliki subset -subset dari X yang t epat sama. Proposisi di bawah ini menjelaskan hal t ersebut .

Proposisi 4.30. Misalkan

X adalah sebarang himpunan, maka t erdapat suat u korespondensi sat u sat u antara relasi ekivalensi di

X dengan partisi himpunan dari X.

Catatan. Proposisi ini, dan penjelasan-penjelasan yang disebut kan sebelumnya, adalah valid (t et api secara keseluruhan t idak pent ing) jika

X adalah himpunan kosong. T erdapat t epat sat u relasi ekivalensi pada himpunan kosong t ersebut , yang dinamakan relasi kosong, dan t erdapat t epat sat u part isi pada himpunan kosong, yait u kumpulan kosong dari subset -subset t ak kosong.

Contoh 4.44. Misalkan suatu grup

G dengan suat u subgrup H. Berdasarkan informasi-informasi t ersebut , diperoleh kelompok koset kiri H di G. Selanjut nya, menurut Proposisi 2.5. 4, kelompok koset kiri

H di G membent uk suat u part isi dari G. Relasi ekivalensi H yang dinyat akan dengan part isi ini, yait u a H b, jika dan hanya jika aH = bH. K elas ekivalensi dari H adalah koset -koset kiri dari

H di G, karena a H b aH = bH

a bH.

Contoh 4.45.

(a) K elas ekivalensi unt uk relasi ekivalensi dari kesamaan pada suatu himpunan xadalah singlet on { x} unt uk x X. (b) Relasi ekivalensi x y unt uk semua x,y

X memiliki hanya sat u kelas ekivalensi, yait u X. (c) K elas ekivalensi unt uk relasi kongruensi modulo n di adalah { [0], [1], ...,[ n-1]} . (d) Misalkan

f: X Y adalah suatu pemet aan. Didefinisikan x ′ f x ′′ jika

dan hanya jika fx () ′ = fx () ′′ . K elas ekivalensi unt uk relasi ekivalensi f

adalah -1 serat dari f, yait u himpunan-himpunan f (y) unt uk y dalam range f.

(e) Misalkan

x adalah suat u pemet aan bijekt if dari

X adalah sebarang himpunan, dan T :X

X, nyat akan x y jika t erdapat suat u bilangan bulat n n sedemikian sehingga T ( x) = y. K elas ekivalensi

X. Unt uk x,y X. Unt uk x,y

} untuk x X.

J. Relasi Ekivalensi dan Pemetaan Surjektif.

Ada aspek ket iga dari masalah relasi ekivalensi dan part isi. T elah diket ahui bahwa unt uk pemet aan f dari suatu himpunan x ke suat u himpunan lainnya, misalnya Y, maka relasi ekivalensi dapat didefinisikan pada

X yait u x ′ f x ′′ jika f( x ′ ) = f( x ′′ ). Dapat juga diasumsikan bahwa f bersifat surjekt if,

apabila Y digant i dengan range f t anpa mengubah relasi ekivlensi. K elas-kelas ekivalensi dari -1

f adalah serat f (y) unt uk y Y.

Sebaliknya, suat u relasi ekivalensi yang diket ahui pada X, didefinisikan X/ sebagai himpunan kelas-kelas ekivalensi dari

dan definisikan suatu surjeksi dari

X t erhadap X/ dengan (x) = [x]. Jika kit a membent uk relasi ekivalensi

yang berhubungan dengan pemet aan surjekt if ini, maka akan dit emukan relasi ekivalensi asli. Untuk x ′ , x ′′

X, akan diperoleh x ′ x ′′ [ x ′ ]= [ x ′′ ]

( x ′ )= ( x ′′ ) x ′ x ′′ .

Proposisi 4.31. Misalkan adalah suatu relasi ekivalensi pada suat u himpunan x,maka t erdapat suatu himpunan y dan suat u pemet aan surjekt if : X Y sedemikian sehingga sama dengan relasi ekivalensi . K apankah dua pemet aan surjekt if

f: X Y dan f ′ : X Y ′ menyat akan relasi ekivalensi yang sama pada x?

Definisi 4.21. Dua pemet aan surjekt if

f: X Y dan f ′ : X Y ′ adalah sama

jika t erdapat suat u bijeksi s: Y Y ′ sehingga f ′ = s f .

Proposisi 4.32. Dua pemet aan surjekt if

f: X Y dan f ′ : X Y ′ menyat akan relasi ekivalensi

X yang sama jika dan hanya jika f dan f ′ adalah pemet aan yang sama.

Bukti: Cukup mudah membukt ikan bahwa jika f dan f ′ adalah pemet aan surjekt if yang sama, maka kedua-duanya menyat akan relasi ekivalensi yang sama pada X.

Misalkan sebaliknya, bahwa f: X Y dan f ′ : X Y ′ adalah pemet aan surjekt if yang menyat akan relasi ekivalensi yang sama pada

X. Akan ditunjukkan suat u pemet aan s :Y Y ′ sehingga f ′ = s f . Misalkan y Y, dan

− pilih sebarang 1 x f () y

unt uk menunjukkan bahwa s( y) = f ′ () x sehingga

s((f(x)) = s(y) = f ′ ( x). Meskipun demikian harus selidiki dengan cermat − bahwa 1 s(y) memang hanya bergant ung pada y, bukan pada pilihan x f ( y).

− K enyat aannya, jika 1 x adalah salah satu elemen lain dari f ( y), maka x

sehingga x f ′ x berdasarkan hipot esis, akibat nya f ′ ( x) = f ′ ( x ). Dengan pemet aan s: Y Y ′ sedemikian sehingga f ′ = s f . Hal ini t et ap menyat akan bahwa s adalah pemet aan yang bijekt if. Dengan cara yang sama dalam mendefinisikan s, dapat pula didefinisikan pemet aan

: Y ′ Y sehingga f = s ′ f ′ . K arena s dan s ′ adalah pemet aan-pemet aan yang t erbalikkan, maka kedua-duanya bijekt if. Fakt anya, f = s ′ f ′ = s ′ sf , maka

fx () = ssfx ′ ( () () ) untuk semua x

X. Misalkan y Y. Pilih x

X sedemikian

sehingga y = f(x). Dengan mensubtit usi y unt uk f(x) diperoleh y = ssy ′ () () . Dengan cara yang sama, ssy ( ′ () ) = y ′ unt uk semua y ′ ∈ Y. ′ T erbukt i bahwa s bijekt if.

Definisi 4.22. Himpunan koset kiri dari

H di dalam G dinyat akan dengan H|G.

a) = aH dinamakan proyeksi kanonik at au pemet aan hasilbagi dari G ke G|H.

Pemet aan surjekt if : G G|H yang dit uliskan dengan (

Proposisi 4.33. Serat -serat proyeksi kanonik : G G|H merupakan koset kiri dari

H di G. Relasi ekivalensi

G yang dit ent ukan oleh adalah relasi ekivalensi H .

pada

Bukti:

Diket ahui bahwa -1 ( aH) = { b G: bH = aH} = aH. Selanjut nya a b aH = bH a H b.

K. Konjugasi

Salah satu bent uk relasi ekivalensi yang memiliki peran yang sangat berguna dalam mempelajari st rukt ur grup adalah konjugasi.

Definisi 4.23. Konjugasi

Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari grup G, maka b dikat akan konjugat dari a jika t erdapat g G sehingga b = gag -1 .

Definisi 4.24. K elas-kelas ekivalensi unt uk konjugasi disebut kelas konjugasi.

Cent er grup berkait an dengan pengert ian konjugasi dengan cara sebagai berikut : cent er grup t erdiri at as semua elemen yang memiliki klas konjugasi

adalah suatu singlet on. Jadi g (G)

klas konjugasi g adalah { g} .

L. Soal-Soal

4.1. Bukt ikanlah bahwa koset -koset kiri dari subgrup K = { e,(123), (132)} di dalam S 3 adalah eK = (123)K = (132)K = K (12) K = (13)K = (23)K = { (12), (13), (230)} dan bahwa masing-masing t erjadi tiga kali dalam daft ar () gK gS ∈ .

Perhat ikan bahwa K adalah subgrup dari permut asi-permut asi genap dan koset -koset K yang lain adalah himpunan permut asi ganjil.

4.2. Misalkan K

H G adalah subgrup dan h 1 K,. . . ,h R K adalah daft ar koset -koset K yang berbeda di dalam H, dan g 1 H,. . . ,g S

H adalah daftar koset -koset

H yang berbeda di dalam G. T unjukkan bahwa

{ ghH sr :1 ≤≤ s S ,1 ≤≤ r R } adalah himpunan koset -koset

H yang berbeda di dalam

G. (Ada dua hal yang akan ditunjukkan. Pertama,

t unjukkan bahwa jika ()() rs , ≠ rs ′′ , , maka ghK sr ≠ ghK s ′ r ′ . Kedua, t unjukkan bahwa jika g ∈ G , maka unt uk suat u () r s gK , , = ghK sr .

4.3. Perhat ikanlah grup S 3.

(a) Carilah semua koset kiri dan semua koset kanan dari subgrup H= { e,(12)} dari S 3 , dan selidikilah bahwa t idak set iap koset kiri merupakan koset kanan. (b) Carilah semua koset kiri dan semua koset kanan dari subgrup K= ( e,(123), (132)} dari S 3 , dan selidikilah bahwa set iap koset kiri merupakan koset kanan. (c) Misalkan

H adalah suat u subgrup dari suatu grup G. Bukt ikan bahwa -1 aH Ha menyat akan bijeksi ant ara koset kiri dari

H di

G dan koset kanan dari H di G.

4.4. Unt uk suat u subgrup N dari grup G, bukt ikan bahwa pernyat aan- pernyat aan di bawah ini adalah ekivalen.

(a) N adalah normal. (b) Set iap koset kiri dari N juga merupakan koset kanan, yait u bahwa

untuk set iap a G, t erdapat b G sedemikian sehingga aN = Nb. (c) Untuk set iap a G, maka aN = Na.

4.5. Untuk dua subgrup

H dan K dari grup G dan suat u elemen a G, koset ganda HaK adalah himpunan semua hasil perkalian hak,dimana h K. T unjukkan bahwa dua koset ganda HaK dan HbK adalah koset -koset yang sama at au koset -koset yang disjoin.

4.6. T unjukkan bahwa cent er dari grup

G merupakan subgrup normal dari

G.

4.7. T ent ukanlah cent er dari grup S 3 .

4.8. T ent ukanlah cent er dari grup D 4 dari simet ri-simet ri dari persegi.

4.9. T ent ukanlah cent er dari grup dihedral D n .

4.10. Misalkan t erdapat suat u pemet aan surjekt if f dari suat u himpunan X ke himpunan lainnya, yait u Y. K it a dapat menet apkan suat u relasi pada x dengan x 1 x 2 jika f(x 1 ) = f(x 2 ). Periksalah apakah relasi ini merupakan relasi ekivalensi. Tunjukkan bahwa partisi dari -1 x merupakan part isi f ( y) untuk y Y.

4.11. T unjukkan bahwa konjugasi dari elemen grup merupakan relasi ekivalensi.

4.12. T ent ukanlah kelas konjugasi di S 3 .

4.13. T ent ukan kelas konjugasi dalam grup simet ri pada persegi D 4 .

4.14. T ent ukan kelas konjugasi pada grup dihedral D 5 .

4.15. T unjukkan bahwa suatu subgrup adalah grup normal jika dan hanya jika subgrup t ersebut merupakan gabungan dari kelas-kelas konjugasi.

DAFTAR RUJUKAN

Badawi, A yman, 2004, nd Abstract Algebra Manual 2 Edition, Problem and Solut ion, New York: Nova Science Publisher, Inc.

Beachy, John A., dan Blair, William D., 2006, Abstract Algebra: a Study Guide for Beginners, I llinois: Waveland Press, Inc. Bogopolski, Oleg, 2008.

I ntroduction to Grup T heory, Swit zerland: European Mat hemat ical Societ y. Dummit , David S. dan Foot e, Richard M., 2004. rd Abstract Algebra, 3 Edit ion, Denver, Massacuccet s: John Wiley and Sons, Inc. Gallian, Joseph A., th Contemporary Abstract Algebra, 7 Edition, California: Brooks/ Cole Cengage Learning. Gilbert , Linda dan Gilbert , Jimmie, 2009. th Elements of Modern Algebra, 7 Edit ion, California: Brooks/ Cole Cengage Learning. Golden Mat h Series, 2005, Modern Algebra, Daryaganj, New Delhi: Laxmi Publications (P) Ltd. Goodman, Frederick M., 2006. Algebra: Abstract and Concrete, Edition 2.5, Iowa Cit y: Semisimple Press. Herst ein, I. N., 1996. rd Abstract Algebra, 3 Edit ion, Simon & Schust er/ A Viacom Company, Prent ice-Hall. K leiner, Israel, 2007,

A History of Abstract Algebra, T oront o, Canada: Birkhauser. Ledermann, W. 1979.

I ntroduction to Grup Theory, London: Longman Grup Limit ed. Menini, Claudia dan V an Oyst aeyen, Freddy, 2004, Abstract Algebra a Comprehensive T reatment, USA : Marcel Dekker, I nc. Redfield, Robert H. 2001, Abstract Algebra: A Concrete I ntroduction, USA: Addison Wesley Longman, Inc. T ahmir, Suradi, 2007, Teori Grup, Makassar: Andira Publisher.

Aljabar Abstrak

Buku ini menjelaskan t opik-topik yang bersifat abst rak kepada mahasiswa dengan pendekatan realist ik. Karena it u dalam buku ini dit ambahkan mat eri Simet ri, yang jarang diuraikan dalam buku Aljabar Abst rak lainnya. Penjelasan Simetri akan memudahkan mahasiswa memahami t abel perkalian Cayley dan Permut asi. Selanjut nya mahasiswa dapat mengembangkan konsep t ersebut dan menerapkannya pada Teori Grup.