Jika A adalah subgrup normal di G, tunjukkan bahwa ϕ () A

H. Jika A adalah subgrup normal di G, tunjukkan bahwa ϕ () A

merupakan subgrup normal di H.

Definisi 4.14. Elemen-elemen a dan b di grup G dikat akan conjugate jika t erdapat suat u elemen -1 g G sedemikian sehingga a = gbg .

4.31. Lat ihan-latihan berikut ini bertujuan untuk menentukan kapan dua elemen dari S n dikat akan conjugate.

(c) T unjukkan bahwa untuk sebarang

k cycle

( aaa 1 ,, 2 3 , , a k ) ∈ S n , dan unt uk sebarang permut asi π∈ S n

maka berlaku

π aa ,, a − ( 1 1 2 , k ) π = ( π ()()() a 1 , π a 2 , π a 3 , , π () a k ) .

Cat at an: Sepert i biasanya, carilah beberapa cont oh untuk n dan kyang kecil. Ruas kiri dan ruas kanan merupakan permut asi-permut asi (yait u pemet aan bijekt if yang t erdefinisi pada { 1, 2, . . . , n} . Tunjukkan bahwa permut asi-permut asi t ersebut adalah pemet aan yang sama.

(d) T unjukkan bahwa unt uk sebarang dua cycle-k, ( aa 1 ,, 2 , a k ) dan ( bb 1 ,, 2 , b k ) di S n t erdapat suat u permut asi S n

sedemikian sehingga π ( aa − 1 1 ,, 2 , a k ) π = ( bb 1 ,, 2 , b k ) .

(e) Misalkan α dan β adalah elemen-elemen dari S n dan β = gag -1 unt uk beberapa gS

n . T unjukkan bahwa jika α dan β dinyat akan sebagai perkalian dari cycle-cycle yang disjoin, maka α dan β memiliki jumlah cycle yang t epat sama pada masing-masing panjang cycle (Misalnya jika α

S 10 adalah perkalian dari dua cycle 3, sat u cycle 2, dan empat cycle 1, maka β juga demikian). Dalam hal ini α dan β memiliki struktur cycle yang sama.

(f) Sebaliknya, misalkan α dan β adalah elemen-elemen dari S n dan keduanya memiliki st rukt ur cycle yang sama. T unjukkanlah bahwa t erdapat elemen g ∈ S n sedemikian sehingga 1 − β = gag .

Hasil dari soal lat ihan ini adalah sebagai berikut : Dua elemen S n adalah konjugat jika dan hanya jika kedua elemen t ersebut memiliki st rukt ur cycle yang sama.

4.32. T unjukkan bahwa adalah homomorfisme unik dan ont o dari S n ke { 1,

-1} . Cat at an: Misalkan ϕ : S n →± {} 1 adalah homomorfisme. Jika

ϕ () () 12 =− 1 t unjukkan dengan menggunakan hasil dari soal 2.4.14, bahwa ϕ= . Jika ϕ () () 12 =+ 1, t unjukkan bahwa ϕ adalah

homomorfisme t rivial, yait u bahwa ϕπ= () 1 unt uk semua π .

4.33. Untuk m< n, dapat dikatakan bahwa S m adalah suat u subgrup dari S n . Pada kasus ini, S m adalah subgrup dari S n yang mempert ahankan m+

1 menjadi sama dengan n. Parit as dari suatu elemen S m dapat dit entukan dengan dua cara: sebagai salah sat u elemen dari S m at au sebagai salah satu elemen dari S n . T unjukkan bahwa kedua jawaban t ersebut selalu t erpenuhi.

Definisi yang diberikan berikut ini digunakan unt uk menyelesaikan soal-soal selanjut nya.

Definisi 4.15. Suatu automor fisme dari suatu grup G adalah isomorfisme yang ont o dari

G ke G.

4.34. Diberikan elemen g sebagai elemen dari grup G. T unjukkan bahwa

c : G G ca gag − pemet aan 1 g → yang didefinisikan sebagai g () =

merupakan aut omorfisme dari

G. (T ipe aut omorfisme sepert i ini disebut aut omorfisme dalam).

4.35. T unjukkan bahwa konjugasi elemen-elemen dari S n memiliki parit as yang sama. Secara umum, jika φ : S n → S n adalah suat u aut omorfisme, maka φ mempert ahankan parit asnya.

4.36. Untuk A ∈ GL n

() n ,

dan b ∈ , didefinisikan suat u t ransformasi

Ab , : n →

, dengan T Ab , () x = Ax + b . T unjukkanlah bahwa himpunan

semua t ransformasi sepert i it u akan membent uk suat u grup G.

  Ab 

b ∈  , 

4.37. n Perhat ikan himpunan mat riks    , dimana A ∈ GL n , dan

dengan 0 menyat akan mat riks 0 berukuran 1 x n. T unjukkan bahwa  Ab

   merupakan subgrup dari GL( n + 1,  ), dan bahwa mat riks 01  

t ersebut isomorfis dengan grup yang digambarkan pada bagian (a).

G ke GL(n, ), dan bahwa kernel K dari homomorfisme ini adalah isomorfis dengan

4.38. T unjukkan bahwa T Ab , → A adalah homomorfisme dari

n , dapat dipandang sebagai grup abelian dengan operasi penjumlahan vekt or.

4.39. Misalkan

G adalah grup abelian. Unt uk sebarang bilangan bulat n> 0, t unjukkan bahwa pemet aan n ϕ : a a adalah homomorfisme dari

G ke

G. Perhatikan sifat kernel ϕ . T unjukkan bahwa jika n prima relatif dengan orde

G, maka ϕ adalah suat u isomorfisme; dengan demikian unt uk set iap elemen g G t erdapat a G yang unik sedemikian

sehingga n g = a .

G. Koset dan T eorema Lagrange

Perhat ikan subgrup

H = { e,(12)} S 3. Unt uk set iap enam elemen dari

π∈ S 3 dapat dit ent ukan himpunan π H = { πσ σ : ∈ H } . Sebagai cont oh,